特征值和特征向量

1、关于特征值与特征向量第一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定义5.1.1 设A为n阶方阵, 是一个数,若存在非零列向量x, 使得 Ax = x （1） 则称为 A 的一个特征值，非零向量x 称为矩阵 A 的对应于 特征值的特征向量，简称为 A 的特征向量.一、 矩阵的特征值与特征向量的定义与求法第一节 矩阵的特征值与特征向量例如：= 2第二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 为A的特征方程.齐次线性方程组 矩阵A的对应于的特征向量就是方程组(3)或(2)的非零解.Ax = x (1)x -Ax = O(I -A)x = O (2)(3)IA为A的特征矩阵,|I-A|(的n次多项

2、式)称为A的特征多项式.特征方程的根叫做A的特征根，即A的特征值.定义5.1.2第三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月总结：已知n阶方阵A，求A的特征值归结为求特征方程的根；求A的特征向量等价于求齐次线性方程组(I-A)x = O的非零解.求矩阵A的特征值与特征向量的步骤：第一步，求A的特征多项式 | I-A|；第二步，令 | I-A|=0，得到A的n个特征值(重根按重数计)；第三步，对应于每个特征值i，求方程组 (i I-A)x = O的非零解， 即是矩阵A的对应于特征值i的特征向量.第四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解： 矩阵A的特征多项式为例1-2 -2-3-1令|

3、I-A|=0得A的特征值为：3I-A=1 -10 00 -1令x3=1得基础解系.是属于1=3的一个特征向量.对应于特征值1=3的全部特征向量：第五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月令x3=1得方程组的基础解系为：-3I-A=是属于2=3 =-3的一个特征向量.则对应于2=3 =-3的全部特征向量为：c2v2=第六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解：A的特征多项式：例2求A的特征值与特征向量.| I-A|=令| I-A|=0，得A的特征值：对于求方程组(I-A)x = O的非零解.I-A=0 -1 1得基础解系为：对应于1=1的全部特征向量：第七张，PPT共四十六页，创作于2

4、022年6月对于求方程组(2I-A)x = O的非零解.2I-A=x1= -x2+x3同解方程组：令得到方程组的基础解系：每个都是A的特征向量.对应于2=3=2的全部特征向量：c1v21+c2v22其中，c1, c2不全为零.第八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月命题2证：命题1 任一 n 阶方阵在复数域内都有 n 个特征根.若x是A的对应于特征值的特征向量，则kx(k0)也是A的对应于的特征向量；若x，y都是A的对应于特征值的特征向量，则非零线性组合k1x+k2y(k1,k2不全为零)也是A的对应于的特征向量； (kx0)所以，kx(k0)也是A的对应于的特征向量；因为k1, k2不

5、全为零，所以所以，k1x+k2y (k1,k2不全为零)是A的对应于的特征向量.注：同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.简言之1.一个特征值对应有无穷多个特征向量.2.一个特征向量只属于一个特征值.第九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解：练习：对于基础解系：全部特征向量：c1,c2不全为零.基础解系：全部特征向量：第十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月练习：教材P133例9求A的特征值和全部特征向量.解：(-1)A的特征值为：基础解系：不全为0)基础解系：第十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理5.1.1二、特征值与特征向量的性质注： A与A

6、T 不一定有相同的特征向量.方阵A与其转置矩阵AT 有相同的特征值. 证：需证A与AT有相同的特征多项式.因为，所以，A与AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.定理5.1.2 设 1，2，n 是n阶方阵A的所有特征值，则 tr(A)= 1+2+n ；|A|= 1 2 n 相当重要！迹验证：设 1, 2 是A的特征值,则=|A|第十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 |A|= 1 2 n 推论 A可逆的充要条件是A的所有特征值 都不等于零.特征值的其他简单性质：1. 若是矩阵A的一个特征值，则 (1) k是矩阵kA的一个特征值； (2) k是矩阵Ak的一个特征值； (3) +1

7、是矩阵A+I的一个特征值.(证明提示：利用定义)设是方阵A的特征值, 则 f ()是f(A)的特征值.一般地,定理5.1.32.矩阵A可逆, 其特征值是1, 2, n,则x =第十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月例1 三阶方阵A的特征值为-1，2，3，求： (1) 2A的特征值；(2) A2的特征值；(3) |A|； (4)A是否可逆? 解： (1) 2A的特征值为-2，4，6；(2) A2的特征值1，4，9；(3) |A|=(-1)23=-6；(4) A可逆.再求: (6) 矩阵 A2-2A+3I 的特征值.问题：A-1的特征值？-1，1/2，1/3.2-2 +3：6，3，6.

8、(7) 伴随矩阵 A* 的特征值.= 6，-3，-2第十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月例2 P133例8 求下列特殊矩阵的特征值.(1) Am = O (m是正整数); (2) A2 = I. A叫作幂零矩阵 A叫作对合矩阵解：设为A的任一特征值，对应的特征向量为x, 即Ax = x Am x = m x A2 x = 2 x(1) 因为Am = O, 所以，m x = O, 而x O, 故m = 0, 即 = 0. (2) 因为A2= I, 所以，x = 2 x, 即 (2 -1)x = O, 而x O, 所以， 2 -1= 0, 即 =1. 简言之， 幂零矩阵的特征值为零；对

9、合矩阵的特征值为1.第十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理5.1.4不同特征值对应的特征向量线性无关.对应特征向量：则线性无关.简言之：推论设 1 ， 2 ， ， m 是A的互异特征值， 线性无关特征向量：则线性无关.如矩阵A的特征值1=1， 2=2，对应于1=1的线性无关的特征向量为对应于2=2的线性无关的特征向量为则 v11, v21, v22 线性无关.第十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 本节基本要求：1. 理解矩阵的特征值与特征向量的定义，会用定义解决问题；2. 了解特征矩阵、特征多项式、特征方程、特征根；3. 掌握特征值与特征向量的性质，能灵活运用性质解题

10、；4. 熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的求法.第十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月一、相似矩阵的定义与性质定义5.2.1注：矩阵的相似关系有以下性质：相似与等价是矩阵的两大关系，二者既有区别又有联系：第二节 方阵的相似变换设A，B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得1. 矩阵相似的定义 P-1AP = B则称矩阵A与B相似，或A与B是相似矩阵，(1) 自反性：A A因为：I-1AI = A(2) 对称性：若AB，则B A.由P-1AP = BA = PBP-1= (P-1)-1 BP-1(3) 传递性：若AB，B C，则 A C.A与B等价区别：PAQ=B (P,Q可逆)A与B相

11、似 P-1AP = B联系：若AB，则 A B.反之不然.第十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月2.相似矩阵的性质性质1若AB，则 |A| = |B|.相似矩阵的行列式的值相等. P-1AP = B |P-1| |A| |P| = |B| |A| = |B|性质2若AB，则 r(A) = r(B).相似矩阵的秩相等. P-1AP = B初等变换不改变矩阵的秩.性质3若AB，则 A, B或者都可逆，或者都不可逆.且A, B可逆时，有A-1 B-1.由性质1易得. P-1AP = B性质4若AB，则 Ak Bk (k是正整数) . P-1AP = B (P-1AP )k= Bk P-1A

12、kP = Bk第十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月10 Th4.2.1逆命题不成立.即若A与B有相同的特征值,A与B未必相似.性质5若AB, 则 A与B有相同的特征值.相似矩阵的特征值相同.=P138定理5.2.1证：因为AB，即： P-1AP = B|I-B|=| I-P-1AP | = | P-1IP -P-1AP |= | P-1(I A)P |= |P-1| |I A| |P|= |I A|从而矩阵A，B有相同的特征值.注：如：有相同特征值：1= 2=1.但不相似.20 相似 矩阵有相同的特征值, 不保证有相同的特征向量.那么特征向量之间有何关系？性质6若AB，则 tr(A

13、) = tr(B).由性质5易得.第二十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月二、矩阵可对角化的条件定理5.2.2n阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证:必要性若矩阵A相似于对角矩阵则存在可逆矩阵P，满足即：将矩阵P按列分块，令有可逆线性无关是A的n个线性无关的特征向量.如果n阶方阵A相似于对角形矩阵,即 ,则称矩阵A可对角化.为矩阵A的相似标准形.第二十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理5.2.2n阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.充分性若矩阵A有n个线性无关的特征向量其对应的特征值分别为：则有即PP可逆说

14、明: (1)的顺序与相对应一致.(2) 定理的证明过程给出了A相似于对角矩阵时，可逆矩阵P及对角矩阵 的构成.第二十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月推论1即A有n个互异特征值是A可对角化的充分条件，而不是必要条件.定理5.2.2n阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.若n 阶方阵A有n个互异的特征值则反之不然.线性无关.第二十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月已知n阶方阵A，既能判定A是否可以对角化，同时可求出可逆矩阵P及对角矩阵.例1已知矩阵问A能否对角化？若能，求出可逆矩阵P及对角矩阵.解：| I-A|=A的特征值：对于求(I-A)x =

15、 O的基础解系.I-A=对于求(2I-A)x = O的基础解系.2I-A=x1= -x2+x3A可对角化.且注 P及并不唯一.第二十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解：例2问A能否对角化？若能，求出可逆矩阵P及对角矩阵.A的特征值：基础解系：基础解系：所以，A可对角化.或第二十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月解：A的特征值为：由于三阶方阵A只有两个线性无关的特征向量v1，v2,所以，A不与对角形矩阵相似，即A不能对角化.例3试判断A可否对角化？练习之求的基础解系：求的基础解系：练习：P144例6第二十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 本节基本要求：1. 理解

16、相似矩阵的定义与性质，灵活运用性质解题；2. 理解矩阵与对角矩阵相似的充要条件及充分条件；3. 熟练掌握矩阵A可对角化的判别方法.第二十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月第三节 向量内积和正交矩阵一、向量的内积1. 向量内积的定义与性质定义5.3.1 设n维向量= (a1, a2, an)，= (b1, b2, , bn)，称实数为向量与 的内积.( , ) =记= T若列向量：则内积(, )=T 例1 =(1, 2, 3), =(0, -3, 5)，则( , ) =10+2(-3)+35= 9例2 =(-1, -3,-2, 7), =(4,-2, 1, 0)，则( , ) =-4+

17、6-2+0=0第二十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月向量的内积运算具有如下性质：(1) (, )= ( , ) (2) (k, )=k (, ) (3) (+ , )= ( , ) + ( , ) (4) (, ) 0,当且仅当 = O时，有(, )0 .2. 向量的长度与性质 向量的夹角定义5.3.2 设n维向量= (a1, a2, an)，称实数为向量 的长度，或范数或模，记向量的长度具有如下性质：(1)当且仅当 = O时，| |=0. (2) |k| = |k| | | (3) |(, )| | | |Cauchy-Schwarz不等式. (4) |+ | |+ | |三角不

18、等式.第二十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月将向量单位化长度为1的向量称为单位向量.如：1=(1, 0), 2=(0, 1)都是单位向量.例3 求向量 =(1,2,-1)的长度，并将其单位化.解：练习：求向量 =(2, -1, 1, 3)的长度.第三十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月任意两个向量i与j都正交(ij)，称其两两正交.定义5.3.3 设，是任意两个向量，若(, )= 0则称向量与正交或垂直，记作.显然，零向量与任意向量正交.n维初始单位向量组：定义5.3.4 若n维向量组1，2，s中任意两个向量都正交，且jO，j=1,2,s.则称1，2，s是正交向量组.定义5

19、.3.5 如果一个正交向量组又是单位向量组，则称其为单位正交向量组或标准正交向量组.标准正交向量组1，2，s是标准正交向量组由定义知：3. 正交向量组第三十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理5.3.1 正交向量组必是线性无关的向量组.若1，2，s是正交向量组单位化则1，2，s是标准正交向量组.则=0=0注：线性无关组未必是正交向量组.第三十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月施密特(Schmidt)正交化方法化线性无关组为正交向量组.施密特正交化方法:可以证明，正交第三十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月例4解：=4=12=-32可进一步将1，2，3单位化，得到

20、标准正交向量组.第三十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月练习：解：先正交化标准正交化.=-1=1=3/2再单位化标准正交组第三十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月二、 正交矩阵正交矩阵的性质：定义5.3.6= AIAT= I(5)若A是n阶正交矩阵， , 是n维列向量，则(A, A)= (, )= I= (, )第三十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理5.3.3 设 A为 n 阶实方阵，A 为正交矩阵的充分必要条件 是其列(行)向量组为标准正交向量组.正交矩阵与标准正交向量组之间的关系：1 2 3两两正交，且长度为1.第三十七张，PPT共四十六页，创作于202

21、2年6月第四节 实对称矩阵的相似标准形一、 实对称矩阵的特征值与特征向量的特殊性质定理5.4.1 n阶实对称矩阵A有n个实特征值,且其特征向量是实向量.定理5.4.2 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交.证：设 1，2是n阶实对称矩阵A的两个特征值，且 1 2.特征向量：x1x2 Ax1 = 1x1 Ax2 = 2x2( x1 O, x2 O ) ( Ax1 , x2)=因为( 1x1, x2 )= 1 ( x1, x2 )(1) ( Ax1 , x2)= ( Ax1 )T x2 = x1T AT x2 = x1T A x2 = 2 x1T x2= 2 ( x1, x2 )(2)由(

22、1)、(2)得：1 ( x1, x2 ) = 2 ( x1, x2 )(1-2) ( x1, x2 ) = 01 2(x1, x2)=0 x1, x2正交.第三十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月定理5.4.3(对称矩阵基本定理)n 阶实对称矩阵A个，必存在n阶正交矩阵P，使得 任一n阶实对称矩阵A必正交相似于对角形矩阵.定义4.3.5 设A，B为n阶方阵，如果存在一个正交矩阵P，使得P-1AP = B则称矩阵A与B正交相似.PTAP = B若A与B正交相似，且A是对称矩阵，则B也是对称矩阵.因BT=(PTAP)T=PTATP=PTAP= B第三十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量正交，所以，可以求出A的标准正交特征向量组，构成正交矩阵，使得实对称矩阵A可以正交相似于对角矩阵.定理5.4.7 实对称矩阵与对角矩阵正交相似