线性代数基础讲义线性方程组

1、第四章线性方求解线性方被认为是数学中最重要之一。统计表明，在科学及其工程应用中，有超过75%会涉及线性方程组，更有大量复杂的数学模型是靠化简为线性方来解决的。在这一章中，前面已建立起来的矩阵和向量理论作为数学工具，讨论线性方的求解方法，并介绍解的结构。4.1线性方的基本概念4.1.1线性方的一般形式含m 个方程，n个未知量的线性方的一般形式为： a12 x 2 a1 n x n b1a11 x1x a ax bax（4.1）2112222 nn2 a m 1 x1a m 2 x 2 a mn x n bmn为未知量，a ij 和bi为常数.称（4.1）其中.为m n型线性方如果bi 0, i

2、1,2, , m，则称（4.1）为线性方线性方；若存在。，则称（4.1）为非bi 0例1（1）下列方程都是线性方0 1 3（2）x 40033 2 234x 4 x 123（3）3x 2 x 3 4 03 x3其中，（1）和（3）是非线性方,（2）是线性方。型线性方的解是由n个数组成的m nn 元向量个方程。T，它满足方中的 m2 , , xn例222型线性方的一般形式为： a11 x1 a12 a 21 x1 a 22x 2 b1x 2 b 2其中每一个方程都表示平面上一条直线，一个2 2 型线性方下列三种情形：两直线相交于一点，则相交点就是方的唯一解；平行，则该方程无解；重合，则直线上任何

3、一个点都是方程组的解。中两直线在平面上的位置有例333型线性方的一般形式为： a11 x1 a12 a13 x 3x 20 ax ax ax00,211222233 ax ax ax311322333其中每一个方程都表示一个以向量T a i1 , a i 2 , a i 3 i为法矢量，过原点的平面，而且第i 个方程可用(, X ) 0内积表示为：，其中T。, x23i因此3 3型的线性方的解是一个与向量 1 , 2 , 3 均正交的向量 X 。（1）若 1 , 2 , 3 不共面，则方只有零解；（2）若 1 , 3 共面但不共线，则垂直于 1 , 2 , 2 , 3的向量均是解，这些解彼此平

4、行；3 共线，则以（3）若 1 , i 为法向量的平面上2 , 的所有向量都是解，即解向量组成一个平面。在实际中，有许多方在形式上不相同，但解都是一样的，如例2中，两直线重合时，一条直线所给出的方与两条直线给出的方形式不同，但解一样 。定义4.1设有m n 型线性方（I）和型线（II），若（I）和（II）的解向量集合性方相等，则称（I）和（II）为等价的线性方。4.1.2线性方的矩阵表示用矩阵乘法，m n 型线性方（4.1）可表示为（4.2）Am nnl bm lX称Am n为线性方（4.1）的系数矩阵；( A b )为（4.1）的增广矩阵.线性方（4.1）的解是使矩阵等式（4.2）成立的n维

5、向量X.矩阵的初等变换是使矩阵得以化简的基本运算，它对方定理4.1的影响在于：设矩阵Am n和矩阵B m n 是初等变换下等价的矩阵，即存在可逆矩阵P，使PAm m B则线性方组.证b 和BXb 是等价的线性方程AX设向量X 是方b的任一个解，AX有AXb ，两边矩阵P，则有BX Pb的一个解.即 X也是 BX Pb反之， 任取BX的一个解，两边 PbP 1.所以X 是AXb的一个解.则有Pb，即 AX b和 BXb 1 BX因此，AX。同解，故为等价的线性Pb方对n n型的线性方 b ，当A为可逆矩An nX阵时，可借助于矩阵运算求解：XA 1 b4.1.3线性方的向量表示设矩阵 A=aij

6、mn是线性方系数矩阵，用Ai记 A 的第 i 列，即（4.1）的TAi a i ,型线性方i ,2, , n,i , ,mi则可表示为x1 A1 x2 A2 （4.3）式是线性方xn An b .（4.3）的向量表示.（4.3）揭示了线性方（4.1）的解是组合系数T，方有解则等价于b 是的列向量 xAn的线性组合，从而向量组 A , ,n 和向量组n , b等价。更重要的，它在理论上可以 A , ,得到如下结果：定理4.2 设则有型线性方为，AX b（1）AX b有解的充要条件是增广矩阵的秩A.和系数矩阵的秩相等，即 r ( A ) （2）AX b有唯一解的充要条件是r ( A b ) r (

7、 A ) n .证（1）必要性：已知AX b 有解，则由（4.3）式b 是A 的列向量的线性组合，从而A的列向量组n 等价于向量组, ,n , b， A ,。 A , A , ,) 故两者的秩相等，即r ( A A充分性：已知r ( A A，即秩, ,n ) =秩, A , ,n , b又 A1 , A2 , , An ， A1 , A2 , , An , b所以 A1 , A2 , , An 的极大线性无关组是 A1 , A2 , , An , b的极大线性无关组。故b 是 A1 , A2 , , An 的线性组合，即AXb 有解。（2） 必要性：已知AXb有唯一解，则由（1）r ( A b

8、 ) r ( A )，且有唯一解向量Tn.，使b x1 A1 x 2 A2 xn An反之r ( A ) n，则向量组 A1 , A2 , , An 线性相关，存在不全为0的数k1 , k 2 , , k n，使 k1 A1k 2 A2 k n An 0。 k 2 A2 k n An从而b x1 A1 x 2 A2 xn An k1 A1 ( x1 k1 ) A1 ( x 2 k 2 ) A2 ( xn k n ) An，故向量 x1k1 , x 2 k 2 , x n k n 也是 AXT b 的解，与.AX b故的解惟一r ( A b ) r ( A ) n.充分性：r ( A b ) r

9、 ( A ) n 时，方AX b有, b线性相关，而 A1 , A2 , , An 线解，故 A, A , , A12n性无关。由定理3.2 , 可由A1 , A2 , , An 惟一的线性表示，从而AXb有唯一解。4.2Gauss消Gauss消是求解型线性方的实用而有效的方法，让首先看看Gauss消元法的基本。在中学代数中，已学过用加减消解二元或三元一次方，现在把它推广到求解一中去。般型线性方Gauss消的基本是对线性方进行初等变换，简化未知量的系数，把其变形为与原方定义4.2同解且易直接求解的阶梯形方。对线性方施行的下列三种变换：互换两个方程的位置；用一个非零数乘某一个方程；把某个方程的若

10、干倍加到另外一个方.称为线性方的初等变换，用上述三种初等变换将一个线性方化成增广矩阵是阶梯形的线性方的过程称为Gauss消。用矩阵表示Gauss消，则为：对线性行行初等变换化为方b 的增广矩阵( A b施)AX行初等变换(C d ) ，即( A b ) (C d )行阶梯形或行（行阶梯形或行），则由定理4.1，方程而CX=d作为增广组AXb 等价于方CX d .矩阵的行阶梯形，特别是行，它对应的线性方是很容易求解的。例4 用Gauss消求解下列非其次线性方：xx 112xx 3（1）（2）122 x 2x12x 4 x 5 23（3）2 x2 x2 x3 x 3 2345345解把Gauss消

11、步骤直接作用到增广矩阵上作初等变换，111 12( A b ) （1） 1b这时可以看到故线性方3，但，即r ( A ( b ) ) A(（1）无解.0 3100 （2）(0001630 8 0,00060 x1,行标准行对应的线性方为：xxx 4 63r ( A b ) r ( A ) 3 .x1 8 8 x 0 1xx 3其解为： .，即 x 2 x1 360242 x 4 6 2 x 4x33x1x 4x 4410011011111111221232 11001112 3 01 （3） A b 111002 3 0- 1- 11110011000110010001000102 02 0-

12、 10- 1 13x2 A b 的行标准形对应方程，4x 153xx223，其解为：，即r ( A b ) r ( A ) x 3x 3 2x4 1 1 x101x 1 x 5102 1 0 ,3x000024 x5 1x 2 , x 3为任意常数。从例4中，可注意到如下几点：（1）如果增广矩阵的行标准形矩阵中含有如下行：01，则线性方无解。00（2）当r ( A b ) r ( A ) r n 时，线性方的解不唯一，而且有无穷多个解.这时方的解中有n r ( A)个未知量，它的一种合适取法是：根据行标准形，第i 列是对应线性方中未知量xi 前面的系数，取每一个首位等于1以外的列对应的未知量作

13、为未 x知量，便可写出解来。当x是未知量时，xjjj是任意常数均可满足的恒等式，故 x j可取任意常数。（3）从方线性方的解向量表示中，可以看到，的一般解（通解)是n r ( A) 个确非定的常向量的线性组合，再加上一个常向量解。例5 用Gauss消求解下列线性方。 3 x4 0 -3x 0.334 2x 034解因为线性方的增广矩阵 A 0 行初等变换结果为 B 0 ，所以只需对系数矩阵进行行初等变换： 1 1 1 211 1 32r ( A) 3, n r ( A) 4 3 1 ，有一个未知量，取x 4，x1 x 4 x11对应解为 x x 1 x 242x，即x x4 x11343xx

14、x4 444.3线性方的结构m n 型线性方的矩阵形式和向量形式x1 A1 x 2 A2 xn An 0分别为 0 ，Am nnlX线性方总是有解的，X0就是它的一个解.设N ( A )表示集合，即线性方线性方N ( A ) X / AX所有解组成的（4.3）0 ，的解满足以下基本性质：定理4.3设X1 , X 是2线性方0的两AX个解，则X的解.1 和X2的线性组合k 1 X也是AX 0k 2 X12证已知AX 0，AX0。对X1和X2的任意线12性组合k 1 X2 ，有k 2 X1 k 1 0 k 2 0 0 ，A ( k 1 X k 2 X) k 1 AX k 2 AX1212故k是AX

15、的解。 0X kX1122定理4.3说明，任取X1 , X N ( A )，则 N ( A )21，从而线性方的解集合N ( A )是一个向0 的解空间。这使得量空间，称N ( A ) 为AX0 的解集合的结构.可用空间的结构来研究AX定义4.3的基称为该方线性方0的解空间AXN ( A )的基础解系，故若 1 , 2 , ， s 为AX0的基础解系，则有：（1） NA)，即是0 的解；AX1 , 2 ,is（2）s线性无关； ,（3）方0的任何一个解X 都可表示为的X线性组合，即X k1 1 k 2 2 ,sks s,（4.4）AX 0 的通解公式.称（4.4）为方确定解空间)(的维数.下面

16、定理4.4设型线性方 0的)(AX系数矩阵的秩为，则 AX 0的解空间)() 的维数：dim。N (rr ( A)，则A的列向量 A ,证明设n的秩为r，不妨设A 的列向量组的极大线性无关组为 A1 , A2 , , Ar ，则其余n r 列向量为它们的线性组合，即 k i 2 A2 k ir Ar , i 1,2, , n r ,Ar ik i1 A1将它写成 k i1 A1 k i 2 A2 k ir Ar 0, i 1,2, , n r ,Ar i则由4.1.3的，得到了AX的n r个解： 0 k 11 k 21 k n r ,1 k k kn r ,2 1222n r , r001 k

17、 k k（4.5） , , , .1 r2 rn r12100010 n r 的秩为n r，因此 1 , 由于矩阵 1线性无关。 22 , , n r 由定理3.6，行初等变换不改变列的线性关A 行 B e1，系，则有e 2e rK 1KKn r2n其中T， 为本向量，行K ke, k, , k,0, ,0ii1i 2iri标准形矩阵B 对应的方，当n r ( A)个未知量取为时，其一般解表达式为nnn r 。由定义 1 , 2 , , n r ( A ) 为 AX0 的基础解系，dim N ( A) n r ( A)。故m n型推论1AX线性方0 的任意n r ( A)个线性无关的解 1 ,

18、 基础解系.n r ( A ) 都是AX 0 的2 , , 当r ( A) 次线性方n 时，dim0，即 N ( A) 0，这时齐N ( A ) 的唯一解为X0，即零解。等价地，有：推论2m n型线性方0 有非零解的AX充要条件是r ( A ) n.从定理4.4的证明中，解系的方法。到求基础（1）r ( A) 时，把A的列向量的极大线性无r n关组以外的 n r ( A )个列向量写成其极大线性无关组的线性组合，由这些组合系数可以得到基础解系中的解（4.5）.（2）求出AX基础解系.0 通解的向量组合形式，即得 x 4 0 3 x 4 0 23例6 求线性方的基3 03础解系和通解。系数矩阵A

19、作行初等变换，将 A解对方化为行标准形 112111 11001 111111001 01 11000102A 213 0 01 0 1 10 0 00 0 120 2 .有r ( A )方法1从A 的行标准形得到结论：A的4个列向量 A1 , A2 , A3 , A4 中极大线性无关组为 A1 , A 2 。A2A1 ，即得0，得到解向解向量。A1 A 2，A即 2 A 0，得到解 2 A AA A 1,1,0,0T4131341向量 2 2,0,1,1T。从而，方 1的基础解系为 2 100011 , 1 2 101 kX k1 2k通解0，为任意常数，i 1,2。i01方法2 从A 的行

20、标准形，取x 2对应解为作为变元，, x 4 x 2 1 x4122 x 2 1011即 x ，为任意常数。x, x xx24x x043443 x 4 0这就是方 1 2 的通解，由解的结构，基础解系为 10 , 01 01 例7设有矩阵Am k，满足AB0 ，证明：, BA rr。B ,证 设矩阵B 的k 个列向量为由矩阵乘法：k，则,AB AB1 0,AB2ABk因此ABBi 是0当且仅当AB 0, i 1,2, , k，即B的列向量i0 的解向量.线性方AX从而B1 , B 2 , , Bk N ( A)，所以r ( B ) dimN ( A) n r ( A)r ( A ) r (

21、B ) n .即例8设 B是一个三阶非零矩阵，它的每一列 0是线性方30的解，求 的值和B 23 033解0，B的列向量是上面方的解，B 意味着该论2，得该故方方有非零解。由定理4.4的推的系数矩阵A的秩r ( A) 3 ， 2 11232 11， 即 1。 5 5 0A又当 1 时，r ( A) 2, dim N ( A) 3 2 1.故方的基础解系只有一个解向量，从而B 的三个列线性相B 0.关，得例9设A为 m n 实矩阵，证明：r ( ATA) r ( A).A为n 阶矩阵，取AT证线性方A为m n矩阵，则：m n 型：A X先证A X 0 和( AT0 ；n n 型：( AT A)

22、X 0。 0为等价的线性方。A) X 0 ，则有 N ( A )，即A X( AT A) X 0 ，任取X即 X N ( ATA) ，又取X N ( AT A)，即 ( ATA) X 0 ，T，得X两边，X( AT A) X 0T, AX ) 0，从而m 维向量AX即内积( AX即为零向量，A X 0综上所述，二者的解空间相等，即N ( A) N （ AT A）从而 dimN ( A) dim N （ AT A）由定理4.4，n r ( A) A)，这就证得了n r ( ATr ( AT A) r ( A) .4.4非线性方的结构设 m n型非线性方。 bAXm nn1m 1若令其中b，则得到

23、一个相应的线性方的导 00 ，称AX。0 为非线性方AX出方定理4.2已给出非线性方有解的充要条件和解不唯一的充要条件,Gauss消显示当线性方不唯一时，一定是有无穷多个解的。这里将从非质，给出解的结构。线性方的性非线性方的解忧如下性质。定理4.5非线性方b 的任意AX两个解AX 0证的差( X)是它的导出方X 1 , XX212的解。由题意，AX，故 b , AX b12，A ( X X) AXAX b b 01212的解。从而( X2 )是导出组AX的是非X01值得两个线性方 b 的AX和( X X，)由于A( X 1 X 2 ) 2b b (b 0) ，12从而( X)不再是方的解，即非

24、线性方X12的解的集合已不再是向量空间。这里将利用其导出方的结构给出非线性方的结构。定理4.6 设非线性方b 有解，AX 是它的一个解.设X表示 AX b的导出方程AX b 的（4.6） 的任何一个AX 0cAX0 组的解，则非线性方通解为证 X .X是非c线性方 是导出方设 X解，则由定理4.5 , X的解。由X的任意性，当X 取遍的一切解AX bX 是AX时，得到0 的通解，从而有X .Xc即AX b的通解为：X X c .若设为导出方 b的一个解为 ，r (AX,0 的基础解系，则非线性AX方的解为X k1 1 k2 2 kn r n r .这和第二节用Gauss消求得的非线性方消的解的

25、形式相一致。实际上，用Gauss的解就是通解.的通解和导求出的非线性方线性方例10求下列非出方的基础解系。x1 x2xx1 x 3 xxx0;（2）（1）.14 2 x 2 x3145 x1 3 x43 x1解 （1）对增广矩阵做行初等变换： 1 1 0 A b 210 1110 1 0 2412 5 1 15 1 011 0 10100 , 3 20 2 00012r A b r ( A )，方有解；又r ( A) 给出唯一解：n，解唯一。4的行 A b x1 2 x12 x x 1 1 22，即。 xx 333x 4 23 x 4 2这题的导出方没有基础解系。只有零解X0 ，N ( A)

26、0AX0（2）对增广矩阵 A b 做行初等变换：111131113 3 2 5 A b 10100010000100111001100131023003002 00 1212003 ，取x 3作为0未知量r A b r ( A ) x1 x 232 x 3 ，0 x x33120 x4 132 ，x 3为任意常数.即通解为X 导出x 3010 102 1 。组的基础解系为10例11设列向量组 1 , 2 , 3 , 4 中， 1 , , 24线性无关，2，设 3 1 2 1 2 3 3 432244阶矩阵A 1，求非线性方 324的通解.由题意，已知r ( A) 3, AXAX 解线性方为4

27、4 型的，导出组AX0 的基础解系含4 3 1个线性无关的解 ，由解的结构n r ( A ) AX k .从 3的通解X 为 X， 3 1 222 0 .从而得到导出组AX得 0 的 3 1 2 322一个解：3,1,1,2T0，该零从而线性无关，故AX0的基础解系可以取为. 3,1,1,2T 又4 ，等价于 1 1 2 3 3 42 2 1 4 2 3 3 . 的一个解，因此通解 4 所以T是方 1,3AX 3 1 。 2 1k .X 3 14 在实际问题中，有参数的线性方会有许多系数矩阵中含.参数的取值不同，决定方有解、无解和是否有有唯一解，下面举例讨论这类问题.例12 取何值时，线性方 1 2333（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其通解。解题目所给的3 3 型非线性方，解的不同情形对应 的不同取值范