微积分第3章导数与微分

1、第三章 导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数基本公式和求导运算法则3.3 链法则与隐函数的导数3.4 高阶导数3.5 微分3.6 边际与弹性3.1 导数的概念引例1、变速直线运动的瞬时速度一、引例（1）当物体作匀速运动时（2）当物体作变速运动时引例2 平面曲线的切线斜率 在点求曲线L：处切线的斜率.割线 MN切线 MT割线 MN 的斜率为： 当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT 即割线 MN 的极限位置就是曲线 L 在点 M 处的切线MT .当时,切线 MT 的斜率为： 二、导数的定义注意三、导数的几何意义四、左、右导数例3. 讨论函数在处的可导性

2、.解所以,函数在处不可导.xyo思考五、可导性与连续性的关系事实上, 因在处可导,即定理所以,函数在处连续.问题：连续是否一定可导？结论函数在其可导的点处一定连续函数在其连续的点处不一定可导函数在其不连续的点处一定不可导注意（1）曲线处是尖点 在点（2） 曲线在点在点（3）曲线间断 处有 垂直切线 处 P89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作业先看书再做练习 因为处函数无定义，所以该点处函数间断 第二类无穷间断点. 所以是函数的可去间断点，作业讲评 P88.5(2) P89.6.(5).解法1： 解法2：原式=解法3：而解法4：解法1：而 解法2： P89.6. 六、利用导数定义求极

3、限例4： 解练一练解答注意分段函数分段点的导数必须用定义求例5： 设函数解因为例6： 解方法一：例7：解方法二：例10:解:3.2 求导基本公式与求导运算法则一、求导基本公式例1. 求函数的导数.解例2. 求指数函数的导数.解例3. 设求解特别地:例4. 设求解正弦函数的导数等于余弦函数.类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数.二、四则运算求导法则证毕.例5. 解解:例6 常用公式：例7. 解练一练解答P117:T5(6),(9); T6(2);T8.作业先看书再做练习三、反函数的求导法则解:例8. 解例6. 四、导数的基本公式3.3 链法则与隐函数的导数一、复合函数求导法则（链法则）猜想解:

4、例1 求下列函数的导数更简明的过程注意解例2更简明的过程解例3更简明的过程例4 解或复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.设则或例5求解更简明的过程这里求y对x的导数是从外向里经过 每个中间在熟悉了法则之后,运算就不必写出中间变量,变量的导数最后导到x上.因此对复合函数求导搞清楚复合层次后,只要从外层向里层逐层求导即可.例6求解易犯的错误 例7例8求解例9解例10解小结复合函数求导首先必须搞清函数是怎样复合的.求导时由外到里逐层求导.注意:一定要到底,不要遗漏 , 不要重复.例11 例12 练一练解答P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).作业先看书再做练习形如，的函

5、数称为显函数.若与的函数关系由方程所确定,称这类函数为隐函数.二、隐函数求导法又如，解例12解例13 解例14小结 方程两边对隐函数的求导方法:视为的函数由复合函数求导法则,的方程,解出即可.得到关于注意:结果中既含 也含 .练一练解答解三、对数求导法两类函数有简便求先给这些函数取对数,然后再求导就可使求导运算简便多了,这种先取对数然后再求导的方法就叫对数求导法.解例15 例16 求的导数 . 解 解法1 两边取对数 , 化为两边对 x 求导解法2 将函数化为复合函数例212).两边对求导;3).两边同乘以得4).将结果表示为的显函数.小结 对数求导法 常用于多因子乘幂求导，或幂指函数求导.对

6、数求导法的步骤:1). 函数式两边取自然对数; 四、分段函数求导法解:易犯的错误练一练解答解 P128 T4 (4)；T5； T6 (1),(2).作业先看书再做练习3.4 高阶导数一、高阶导数记作：或即类似地二阶导数的导数，叫做 的三阶导数，记作：或三阶导数的导数，叫做四阶导数，记作：或阶导数的导数，叫做 阶导数，记作：或函数有阶导数，也说函数为阶可导.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数, 例1 y =(1+x2)arctanx 求y 解 例2 证明 所以 y 3y1二、隐函数的二阶导数例3 解 解：方程两边同时对x求导 上式两边同时再对x求导例4三、几个初等函数的 n 阶导数 解 类似地有

7、 得到 由上面各阶导数可以得到四、高阶导数的运算公式函数和差的 n 阶导数 (uv)(n)u(n) v(n) 函数积的 n 阶导数 这一公式称为莱布尼茨（Leibniz)公式 用数学归纳法可以证明：上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果设小结高阶导数的求法(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式如,(4) 利用莱布尼兹公式练一练解答 例 作业先看书再做练习 P133:T1(4),(8) ;T4(2),(3);T7.3.5 微分一、微分的概念 问此薄片面积改变了多少? 变到长由引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边设薄片边长为 x , 面积为S, 则

8、当 x 在取得增量时,面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小量时为故称为面积函数在 的微分定义:证(必要性)(充分性)设函数在点处可导,即与无关,所以函数在点处可微.且 函数y f (x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作dy 或 df(x) 即dyf (x)Dx 例如 dcos x(cos x)Dx sin x Dx dex(e x)DxexDx 因为当y =x 时 dy=dx=(x)Dx=Dx 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分 记作dx 即 dx Dx 因此 函数 y f (x) 的微分又可记作于是有可微与可导的关系 函数f (x)在点x0可微 函数f (x)在点

9、x0可导 函数在点x0的微分为 切线纵坐标的增量微分的几何意义增量与微分的关系由微分定义知,当时,因此,当很小时,有近似等式:例如求在解：二、基本微分公式与微分法则根据可得基本初等函数的微分公式：例1. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变性5. 复合函数的微分则复合函数 由此可见 无论u是自变量还是中间变量 微分形式 dy f (u)du 保持不变例4 若方程 xy =cosy -x2确定y =f（x）

10、解一：两边对x求导解二：两边同时微分解：两边同时微分例8 若方程 （arcsinx）lny -e2x + tany = 0 确定 y =f（x），求 例9 设解：例10 解：练一练 解答 解 三、微分在近似计算中的应用由微分定义知,当时,因此,当很小时,有近似公式:(1)即(2)(3)在(2)式中令当很小时,(4) 例13 计算sin 3030的近似值 解 有 sin(x0Dx) sin x0 cos x0 Dxsin 3030即 sin 303005076 说明 ： 曲线在切点附近可用其切线来近似代替该曲线.且离切点越近近似程度越好. 近似公式表示曲线附近可用切线.在切点近似曲线，且离切点越近近似程度越好.练一练解答类似可证,当很小时,有近似公式: 如 解作业先看书再做练习 P142:T6(4),(6),(9);T7(2).例11解习题讲评P134,4（2）解方法1方法23.6 边际与弹性一、边际的概念 因为边际量是一个绝对变化量，不能反映 变化程度的大小，比如某商品的价格上涨1%时， 需求量将如何变化？投资增加一个百分点时， 国内生产总值将增加百分之几？等等，为此， 我们引入一个无量纲的相对变化量，即弹性.二、弹性函数1、弹性的概念弹性的意义：幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数.2、弹性的经济应用(1)