梁昆淼-数学物理方法第8章

1、第八章 分离变数法8.2 非齐次振动方程和输运方程8.3 非齐次边界条件的处理8.1 齐次方程的分离变数法8.4 泊松方程（一）、分离变数法8.1 齐次方程的分离变数法考虑定解问题：泛定方程边界条件初始条件弦两端固定弦两端固定，之间形成驻波驻波的一般式分离变量边界条件代入泛定方程代入边界条件和与x 和 t 无关令边界条件有（1）、 0以下求X而由边界条件（1）、 0故 0而由边界条件因为所以有由T满足的方程称为本征值是Furier级数的基本函数族分离变数的解当 n =1，称为基波；称为本征振动本征振动的角频率为频率为当 n 1，称为 n 阶谐波本征振动的线性叠加仍满足泛定方程和边界条件，故为一

2、般解An 和 Bn由初始条件确定初始条件初始条件初始条件称为本征振动系数解题过程：泛定方程得X和 T分离变数边界条件得本征值本征振动初始条件得本征振动系数（二）、例题例：两端自由振动的自由杆定解问题：泛定方程边界条件初始条件弦两端自由驻波的一般式分离变量边界条件代入泛定方程代入边界条件和与x 和 t 无关令边界条件有（1）、 0而由边界条件因为所以有由T满足的方程称为本征值是Furier级数的基本函数族分离变数的解初始条件所有本征振动的叠加为初始条件本征振动系数例：细杆热传导问题，初始一端温度为0，另一端为 u0 , 零的一端温度保持不变，另一端与外界绝热。求细杆温度泛定方程边界条件初始条件驻

3、波的一般式分离变量边界条件代入泛定方程代入边界条件和与x 和 t 无关令（1）、 0而由边界条件因为所以有由T满足的方程为本征值分离变数的解Ck 由初始条件定初始条件例：矩形薄板的稳定温度分布问题，边界条件如图所示。 泛定方程边界条件分离变量非齐次边界条件，化简泛定方程边界条件分离变量边界条件泛定方程边界条件和以及有边界条件所有本征振动的叠加为故故例P160，题8：铀块的中子扩散和增殖过程。每秒钟在单位体积中产生的中子数用 u 表示。研究厚为l的层状铀块。求临界厚度。泛定方程边界无中子流入与流处临界条件n=0, l=0无意义n=1, 为最小厚度中子浓度分布例P160，题10：薄膜的限定源扩散，

4、膜厚为l,膜两面的表层已有一定杂质，如每单位表面下杂质总量为 0，但此外不再有杂质进入薄膜。泛定方程边界无杂质进入薄膜每单位表面下杂质总量为 0有解代入初始条件例：输电线影响带电云层与地间的电场 柱外泛定方程导体为等势体，不妨取零点在导体上 得Laplace 方程在极坐标下的表达方程为边界条件空间一点电势为 u无限远处，Ey=0, Ex=E0 即：泛定方程边界条件解：令因为常微分方程为欧拉方程令则下面确定系数边界条件边界条件若导体原来不带电D0=0例P161题19：半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为q，求柱内稳定温度分布。泛定方程稳定温度分布一般解稳

5、定温度分布一般解代入边界条件在0，2区间展开付氏级数考虑定解问题：泛定方程边界条件初始条件弦两端固定用式代入方程，不能分离变量8.2 非齐次振动方程和输运方程（齐次边界条件）泛定方程边界条件分离变量得本征方程对应齐次方程为1、齐次解一、Fourier级数法仿照常数变易法，令2、Tn(t) 的解泛定方程将代入泛定方程其中将代入初始条件例：求定解问题：泛定方程边界条件初始条件解：代入泛定方程有将代入初始条件有考虑定解问题：另一方法：考虑线性叠加法令有考虑强迫弦振动定解问题：f(x,t)表示单位长度、单位质量作用力tt +f(x,t)f(x, ) 表示 内的冲量这个冲量使得系统的速度有一定的增量，即

6、 f(x, ) ,(二）、冲量定理法tt +f(x,t)现在，我们把在时间 内得到的速度增量看成是 t= 瞬时集中得到的，而在 的其余时间里没有冲量的作用，即认为在这段时间内没有力的作用，故方程是齐次的。 t= 时的集中速度可置于 “初始 ”条件中， 得到的关于瞬时力引起的振动的定解方程为：显然令而例：用冲量法求定解问题：泛定方程边界条件初始条件解：用冲量法，上述定解问题变为 v 的定解问题代入初始有初始有于是于是考虑定解问题：泛定方程边界条件初始条件用式代入方程，不能分离变量8.3 非齐次边界条件的处理1、边界条件的齐次化2、辅助函数w(x,t) 的选取令使具有上述性质的w(x,t)有多个， 最简单选取一条 w(x,t)x 直线于是定解问题成为：泛定方程边界条件初始条件弦两端固定例：研究一端固定，一端作周期运动的弦振动泛定方程边界条件初始条件解：令再令有3、其它非齐次边界条件的处理泛定方程边界条件初始条件令使定解问题：边界条件8.4泊松方程泊松方程与时间无关不管边界条件如何，令特解 v若就转化为 Laplace 方程例：在圆域内求泊松方程边值问题泊松方程由对称性1）、寻找泊松方程的特解解：考虑令特解 v2）、泊松方程的转化为边界条件泊松方程为 Laplace 方程方程一般解圆域内代入边界条件边界条件例：在0 xa