测量误差理论以及其应用

1、关于测量误差理论及其应用第一张，PPT共八十九页，创作于2022年6月 本章学习的目的要求: 掌握偶然误差的统计特性；掌握衡量精度的指标；掌握常用定权方法；掌握误差传播律及协因数传播律。 重点、难点: 偶然误差的统计特性；衡量精度的指标以及精度和准确度的联系与区别；误差传播律以及协因数传播律的应用；定权方法。第二张，PPT共八十九页，创作于2022年6月2.1 偶然误差的统计特性几个概念：真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该观测值真值，用 表示。真误差：真值与观测值之差（偶然误差），即： 真误差（）= 观测值（ ）- 真值（ ）测量平差研究对象是偶然误差

2、,为此,有必要对偶然误差的性质作进一步的分析研究。第三张，PPT共八十九页，创作于2022年6月真值一般情况下是难以求得的，但有些特殊情形下，是可以知道的，如：1）三角形内角和等于180度；2）闭合水准路线高差闭合差等于零；3）往返测量一段距离，其差数的真值等于零。第四张，PPT共八十九页，创作于2022年6月当观测值只含有偶然误差时，其数学期望就等于真值（ ），即： 真误差（）= 观测值（ ）-数学期望（ ）残差（改正数）： 改正数（V）= 观测值（ ）- 平差值（ ）大量实践证明：大量偶然误差的分布呈现出一定的统计规律。第五张，PPT共八十九页，创作于2022年6月三角形闭合差例子 在相同

3、观测条件下，独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角和的真误差i由下式计算： 以误差区间d =0.2秒将真误差i按其绝对值进行排列。统计出误差落入各个区间的个数 ，计算出其频率WWWWWWWWWWWWWW第六张，PPT共八十九页，创作于2022年6月表1-2-1偶然误差分布表误差区间0.0000.400.600.600.800.801.001.0001.401.601.60以上 为负值个数 频率 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.0110 0 181 0.505 为正值个数 频率46 0.1

4、2841 0.11533 0.09221 0.05916 0.04513 0.0365 0.0142 0.0060 0177 0.495 误差绝对值个数 频率91 0.25481 0.22666 0.18444 0.12333 0.09226 0.07211 0.0316 0.0170 0358 1.000表1-2-1偶然误差分布表第七张，PPT共八十九页，创作于2022年6月从表中看出：绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多；绝对值相等的正、负误差出现个数大致相等。大量的测量实践证明，在其它测量结果中，也都显示出上述同样的统计规律。第八张，PPT共八

5、十九页，创作于2022年6月误差分布规律，除了采用误差分布表表达，还可用直方图来表达。一定的观测条件对应着一种确定的误差分布。第九张，PPT共八十九页，创作于2022年6月当误差个数无限增大时，将误差区间缩小，直方图则变成一条光滑的曲线：该图同样可以说明观测误差特性，称为“误差分布曲线”。第十张，PPT共八十九页，创作于2022年6月可以证明，若仅含有偶然误差，其分布为正态分布，其分布函数为： 标准差，在测量上称为中误差。当不同时，曲线位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。第十一张，PPT共八十九页，创作于2022年6月 用概率的术语概括偶然误差的特性如下：1、一定观测条件下，误差绝对值有一定

6、限值（有限性）；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐降性）；3、绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；4、偶然误差的数学期望为零（抵偿性）；第十二张，PPT共八十九页，创作于2022年6月以上分析可知：1）观测误差呈现偶然性；2）偶然误差具有统计规律；（均值为零的正态随机分变量） 测量平差任务之一：评定测量成果精度。第十三张，PPT共八十九页，创作于2022年6月 当观测值中仅含有偶然误差时，由统计学知： 若观测误差中系统误差，即第十四张，PPT共八十九页，创作于2022年6月2.2 精度指标 观测条件与观测精度1、观测条件：指测量过程中的观测者、仪器、外界条件的综合。一

7、定的观测条件，对应着一个确定的误差分布；可见： 分布曲线陡峭的说明误差分布密集，或者离散度小，观测精度高些，也就是观测条件好；另一条说明误差分布较为离散或者说它的离散度大，也即观测条件差。第十五张，PPT共八十九页，创作于2022年6月2、观测精度： 是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，是观测值与其期望值接近的程度，表征观测结果偶然误差大小的程度。密 集离 散在相同的观测条件下所进行的一组观测，称为等精度观测或同精度观测。第十六张，PPT共八十九页，创作于2022年6月 精度与准确度、精确度精度：就是指在一定观测条件下，一组观测值密集或离散的程度，即反应的是： L与E（L）接近程度。表征观

8、测结果的偶然误差大小程度。精度是以观测值自身的平均值为标准的。精度高。成绩：9.0，9.5，9.2，8.5，8.6，8.2，8.8，8.6成绩：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.28109第十七张，PPT共八十九页，创作于2022年6月准确度：是指观测值的数学期望与其真值的接近程度。表征观测结果系统误差大小的程度。若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越低。准确度低。精度高。第十八张，PPT共八十九页，创作于2022年6月精确度：是精度与准确度的合成。是指观测结果与其真值的接近程度。反映偶然误差和系统误差以及粗差联合影响大小程度。若观测值数学期望与其真值得偏

9、差越大，则准确度越低。精确度衡量指标是均方误差：精度低准确度低精确度低。第十九张，PPT共八十九页，创作于2022年6月可见：精度高，不一定准确度也高！ 图(a)表示精度、精确度均高，而准确度低； 图(b)表示精度高，精确度低，而准确度低； 图(c)表示精度、精确度均低，因而准确度低； 图(d)表示精度、精确度均低，但准确度较高。第二十张，PPT共八十九页，创作于2022年6月当系统误差相对于偶然误差小到可以忽略时， 精度=精确度！第二十一张，PPT共八十九页，创作于2022年6月1、方差由数理统计学可知，随机变量X的方差定义为：观测值L和观测误差均为随机变量，因此其方差为当观测值只含偶然误差

10、时，任一观测值的方差与观测误差的方差是相同的。2.2.2 衡量精度的指标第二十二张，PPT共八十九页，创作于2022年6月可见：中误差不是代表个别误差大小，而是代表误差分布的离散度大小；中误差越小，说明绝对值较小的误差越多！由数学期望定义，方差（或中误差）又可表示为：和实际工作中，由于观测个数有限的，故可求得方差或中误差的估值：真误差用残差计算观测值的中误差：P8第二十三张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例:某距离等精度丈量6次，结果如下，试求该距离的最或是值及观测值中误差。L1=546.535m L2=546.548m L3=546.520mL4=546.546m L5=546.55

11、0m L6=546.537m解：该距离的最或是值第二十四张，PPT共八十九页，创作于2022年6月定义：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望，称为平均误差，并以表示，即平均误差和中误差的理论关系式可见，不同大小的平均误差，对应着不同的中误差，也就对应着不同的误差分布。即说明也可应用平均误差作为衡量精度的指标。2、平均误差第二十五张，PPT共八十九页，创作于2022年6月3、或然误差定义：在一组等精度测量中，若某一偶然误差具有这样的特性：绝对值比它大的误差个数与绝对值比它小的误差个数相同，这个误差即称为或然误差。也就是说全部误差按绝对值大小顺序排列，中间的那个误差就是或然误差。

12、观测误差落入正、负或然误差之间的概率恰好等于1/2，即误差的概率分布曲线：或然误差第二十六张，PPT共八十九页，创作于2022年6月3、或然误差或然误差与中误差的关系：实际或然误差得到方法：1）将相同条件下得到一组误差，排列，取中间或中间两个的平均数；2）先求中误差，然后用上述公式求得。第二十七张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例：设有一列等精度观测真误差，按绝对值递增顺序排列于下表。试计算其中误差、平均误差以及或然误差。序号123456789真误差（秒）-0.1+0.4+1.2+1.2+1.8+1.9+2.6-4.7-5.1序号101112131415161718真误差（秒）+5.6

13、-7.2+8.9+9.6-9.7+9.8+9.9-10.0-10.3解：第二十八张，PPT共八十九页，创作于2022年6月不难看出：因此，我国和世界各国通常都是采用中误差作为精度指标。中误差、平均误差以及或然误差都可以作为衡量精度的指标；但当n不大时，中误差比平均误差能更灵敏地反映大的真误差的影响；或然误差又可由中误差求得；计算时，精度指标通常取2-3个有效数字，数值后面要写上对应单位！第二十九张，PPT共八十九页，创作于2022年6月4、极限误差观测成果中不能含有粗差，那么如何来判断误差中的粗差呢？ 引入极限误差，也即最大误差。由偶然误差的特性可知，在一定的条件下，偶然误差不会超过一个界值，

14、这个界值就是极限误差。确定极限误差依据：概率理论和大量实践统计证明，大量同精度观测的一组误差中误差落在各区间的概率为则定义为：通常将三倍（或两倍）的中误差作为极限误差，即第三十张，PPT共八十九页，创作于2022年6月5、相对误差定义：中误差与观测值之比，即相对误差是一个无名数，为方便计，通常将分子化为1，即 1/T 的形式。相对误差是用来衡量长度精度的一种指标。相对误差又分为相对中误差，相对真误差，相对极限误差。第三十一张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是2cm，问两者的精度是否相同？解：根据相对中误差定义，得前者的相对中误差为

15、： 0.02200 110000后者相对中误差则为： 0.0240l2000故前者的量距精度高于后者。思考：1）对于相同中误差但角值大小不等的情况，其精度又怎样？2）导线测量中规范规定的相对闭合差不超过1/2000，指的是何种误差？第三十二张，PPT共八十九页，创作于2022年6月衡量精度指标中误差平均误差或然误差极限误差相对误差绝对误差为了工作方便，需要引入一个新的指标-权。相对指标第三十三张，PPT共八十九页，创作于2022年6月1、协方差阵 设有n个观测量 ，描述其精度的方差阵DXX的定义为2.3 方差阵、误差传播律第三十四张，PPT共八十九页，创作于2022年6月可以得到：第三十五张，

16、PPT共八十九页，创作于2022年6月不难看出，协方差阵有以下的几个特点：对称方阵； DXX 中的主对角线上的各元素xi2 为 Xi 的方差；非主对角线中的元素 xi xj为 Xi 关于 Xj 的协方差，是描述 Xi 与 Xj 之间相关性的量；协方差估值计算公式：方差阵 DXX 也称方差协方差阵，简称为方差阵或协方差阵；DXX是描述观测向量的精度指标。它不仅给出了各观测值的方差，而且还给出了其中两两观测值之间的协方差即相关程度。第三十六张，PPT共八十九页，创作于2022年6月 当 时，表示两个观测量互不相关。如任意两个观测量均为互不相关时，此时方差阵Dx即变为对角阵: 第三十七张，PPT共八

17、十九页，创作于2022年6月在实际工作中，往往有些值不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系计算的，即观测值函数。那么如何确定函数的精度呢？中误差应用协方差传播律（或误差传播律)中误差2.3 误差传播定律及应用第三十八张，PPT共八十九页，创作于2022年6月所谓协方差传播律： 描述由观测值的方差来推求观测值函数的方差关系的公式，称为“协方差传播律”。 第三十九张，PPT共八十九页，创作于2022年6月从测量工作的现状可以看出: 观测值函数与观测值之间的关系可分为以下两种情况：1）线性函数（如观测高差与高程的关系）；如2）非线性函数（观测角度、边长与待定点坐标的关系）。故，分别从线性函数

18、、非线性函数研究协方差传播律。H2=HA+h1+h2第四十张，PPT共八十九页，创作于2022年6月设有观测值 ,数学期望为 ,协方差阵为 ，又设有X线性函数为: 求Z的方差DZZ2.3.1 线性函数的协方差传播律或：K为已知系数阵，K0为方程常数向量。（2-18）P10第四十一张，PPT共八十九页，创作于2022年6月为求K的方差，我们需从方差的定义入手。根据方差的定义,Y的方差为：由数学期望运算可得：将Z的函数式以及数学期望E（Z）代入得：（2-22）P11第四十二张，PPT共八十九页，创作于2022年6月方差的纯量形式为：可见：若DXX为对角阵时，协方差传播律即为“误差传播律”。（2-2

19、0）P11（2-19）P11观测值不相关第四十三张，PPT共八十九页，创作于2022年6月由上推导可得出以下结论： 若有函数:纯量形式：则函数的方差为:以上就是已知观测量的方差,求其函数方差的公式。也称为“协方差传播律”。（2-22）P11第四十四张，PPT共八十九页，创作于2022年6月举三个例子例: 用钢尺分五段测量某距离，得到各段距离及相应的中误差如下，该求该距离S的中误差及相对中误差。 S1=50.350m1.5mm S2=150.555m2.5mm S3=100.650m2.0mm S4=100.450m2.0mm S5=50.455m1.5mm解： S=S1+S2+S3+S4+S5

20、=452.460m按线性函数误差传播律，得S的中误差为：其相对中误差为： 观测值不相关第四十五张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例、设有观测值向量 的方差阵为：（1）试写出各观测值的方差以及两两协方差；（2）若有函数 ，则该函数F的方差又如何？解：观测值相关第四十六张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例：已知向量 ，且若有函数：试求各函数的方差 。解：观测值不相关第四十七张，PPT共八十九页，创作于2022年6月第四十八张，PPT共八十九页，创作于2022年6月2.3.2 线性函数误差传播率在测量工作中的应用 水准测量的精度hABAB大地水准面HBA上两式是水准测量计算高差中误差

21、的基本公式。第四十九张，PPT共八十九页，创作于2022年6月 导线边方位角的精度 同精度独立观测值的算术平均值精度第五十张，PPT共八十九页，创作于2022年6月2.3.3 多个观测值线性函数的误差传播律设有观测值 ，它们的期望 、方差为 若有X的r个线性函数为:求函数的方差以及它们之间的协方差？（2-33）P13第五十一张，PPT共八十九页，创作于2022年6月令:则X的t个线性函数式可写为:同样,根据协方差阵的定义可得Z的协方差阵为:（2-34）P13（2-35）P13第五十二张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例1：已知向量 ，且：若有函数：并记 ，试求 、 。第五十三张，PPT

22、共八十九页，创作于2022年6月解：对于函数式利用协方差传播律第五十四张，PPT共八十九页，创作于2022年6月对于函数式利用协方差传播律本题关健是:将函数式转换为“同一” 变量的形式!第五十五张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例2：设有观测值向量 ,其协方差阵为设函数并记 ,试求解：第五十六张，PPT共八十九页，创作于2022年6月从以上两个例子可以看出单个线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在形式上完全相同,且推导过程也相同;所不同的是：前者是一个函数值的方差（1行1列）;而后者是t个函数值的协方差阵（r行r列）。 即：前者是后者的特殊情况。第五十七张，PPT共八十九页，创作于

23、2022年6月2.3.4 非线性函数的误差传播律设有观测值 的非线性函数为 ： 且已知X的协方差阵求Y的方差阵DZZ。 解决这类问题的关键是必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致”的形式!第五十八张，PPT共八十九页，创作于2022年6月将非线性函数进行全微分为：按照线性函数进行协方差传播：（2-37）P14等价第五十九张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例1：已知长方形的厂房，经过测量，其长度x的观测值为90m，其宽度y的观测值为50m，它们的中误差分别为2mm、3mm，求其面积及相应的中误差。解：面积S=xy=90*50=4500（m2）对S进行全微分：应用协方差传

24、播定律：第六十张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例2：设有观测值向量 ,其协方差阵为设函数 ,试求解：对函数Z进行全微分：应用协方差传播定律：第六十一张，PPT共八十九页，创作于2022年6月1）按要求写出函数式；2）若是非线性函数式，则先对函数式两边求全微分；3）将函数式（或微分关系式）写成矩阵形式（有时要顾及单位的统一）；4）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵。归纳应用协方差传播律的计算步骤：第六十二张，PPT共八十九页，创作于2022年6月1、权 在测量数据处理中，不仅需要用中误差表示观测量的绝对精度的高低，还需引入一个表示观测值之间精度相对高低的指标，即权。定义：设有观测值L

25、i（i=1，2，n）的方差为 ，如选任一常数 ，则定义： 并称Pi为观测值Li的权。2.4 权与定权（2-40）P16第六十三张，PPT共八十九页，创作于2022年6月 如右图所示的水准网中，h1、h2、h3、h4、h5、h6是各路线的观测高差，S1=1.0km，S2=2.0km， S3=2.5km， S4=4.0km， S5=8.0km，S6=10.0km是各水准路线长度 。定权：设每千米观测值高差的方差为 ，根据而 ，则第六十四张，PPT共八十九页，创作于2022年6月令 ，则令 ，则相等10第六十五张，PPT共八十九页，创作于2022年6月不难看出权与方差成反比；权是表征观测值之间的相对

26、精度指标（权是不唯一的，单个权没意义的）；选定不同的 ，权之间的比例关系依就不变；对同一问题中，为使权能起到比较精度高低的作用，C应取同一定值（否则就破坏了权间的比例关系）。第六十六张，PPT共八十九页，创作于2022年6月“单位权”的定义：等于1的权为单位权。对应的观测值为单位权观测值。对应观测值的中误差称为单位权中误差。可见：权定义中，C称为单位权方差,记为02。几个概念：第六十七张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例：在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A、B、C之间的高差，设该三角形边长分别为S1=10km，S2=8km，S3=4km，令40km的高差观测值为单位权观测，试

27、求各段观测高差之权及单位权中误差。解：假设每千米观测值高差的方差为 ，则第六十八张，PPT共八十九页，创作于2022年6月1.水准测量的权公式的应用前提： （1）当各测站的观测高差为同精度时； （2）当每公里观测高差为同精度时。或2.4.3 测量中常用定权的方法测站数在起伏不大的地区，每千米的测站数大致相同，则可按水准路线的距离定权；而在起伏较大的地区，每千米的测站数相差较大，则按测站数定权。第六十九张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例：如图所示的水准网，各水准路线长度分别为（设每公里观测高差中误差相等）： S1=2.0(km) S2=2.0(km) S3=3.0(km) S4=3.0

28、(km) S5=4.0(km) S6=4.0(km) 试确定各路线观测高差的权。ADCBh1h6h5h2h4h3解：设取4KM的观测高差为单位权观测(C=4KM)，则由水准测量 常用定权公式得： P1=2， P2=2， P3=1.3， P4=1.3， P5=1， P6=1第七十张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例：在边角网中，已知测角中误差为1.0，测边的中误差为2.0厘米，试确定它们的权。解：设0= =1.0 则由权定义得： 说明了权有时是有量纲的。第七十一张，PPT共八十九页，创作于2022年6月1、观测值的协因数定义：协因数就是权倒数，用Qii表示。即：表明： 任一观测值的方差总

29、是等于单位权方差与该观测值协因数（权倒数）的乘积。或：2.5 协因数传播律第七十二张，PPT共八十九页，创作于2022年6月2、协因数阵互协因数（相关权倒数）对于两个随机变量之间的互协因数，可表示为 ：协因数阵QXX 将随机向量X的方差阵DXX，乘以一个纯量因子1/ 02，则得协因数阵QXX，即：第七十三张，PPT共八十九页，创作于2022年6月例：已知观测值向量 的协方差阵为单位权方差 ，协因数 QLL。 解：第七十四张，PPT共八十九页，创作于2022年6月3、权阵定义：协因数阵的逆阵为权阵。 即 如何根据协因数阵来确定观测量的权呢？第七十五张，PPT共八十九页，创作于2022年6月解：由权阵定义得又由 得观测值的权为：可见：1）当QLL或PLL为非对角阵时，观测值的权与权阵中的两个主对角线元素并不一定相等,不可从权阵中求权，而由协因数阵来计算权。例：已知观测向量L的协因数阵为：试求观测向量L的权阵P及观测值L1、L2