结构力学课后答案第10章结构动力学

1、第十章10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。ElX El(a)(b)分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y, 9 o（c）婚做El EI2EI（d）在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量遍，B处有一弹性支座（刚度系数为k）, C处有 一阻尼器（阻尼系数为c）,梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。解：1）刚度法该体系仅有一个自由度。可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量场上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为ml d。取A点隔离体，A结点力矩为:

2、21 M =-xmldxlx l = -mdl 3，23321由动力荷载引起的力矩为：= q,i2v) 33 v)由弹性恢复力所引起的弯矩为：上与 J + C况2根据A结点力矩平衡条件M +M +M =0可得:Ips整理得:.ka 3c dm d+ +=-31 I I2)力法解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移a。根据几何关系，虚、 、 1 1 1 功方程为：q I 心Ta k Ta la I a C V m Q X a xdx = 0G) 33o则同样有：扇+号+罕=平。10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量m , A处转动弹簧钗的刚度系数为C、E处弹簧的刚度系数为

3、A, B处阻尼器的阻尼系数为c,试建立体系自由振动时的运动方程。0取DF隔离体，m =0：F TOC o 1-5 h z 3R2a = 2a mx a 故 + kaa o2 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 3=R = 2ma a+ - kaci 4取AE隔离体：2m =0 A心a + j 3。mX2 adx + co2 a+ 4ka2a + 3Ra = 0& o将R代入，整理得：25R = 15/W3 a+ kaa +k ol =0e10-10试建立图示各体系的运动方程。(a)El_L- _L 一2图中惯性力为三角形分解：（l）以支座B处转角

4、作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。布，方向与运动方向相反。ml(X 2（2）画出M 和心 图（在B点处作用一附加约束） p（3）列出刚度法方程, 3EI*11=丁k a +R =0ii iP代入七、*-的值，整理得：ma+ 1172E/24Ma =/4(b)Fp(t)El解:P2=1图图试用柔度法解题此体系自由度为1。设质量集中处的竖向位移y为坐标。y是由动力荷载尸，、和惯性力矩M共同引起的。pt)Iy =8 M +a F11112 p(t)由图乘法：e 1,2,13Z/2 III 5/3O =2 - I = , o = 2x / +n 2EI 3 3EI 12 6E/(22 2) 48

5、E/ TOC o 1-5 h z 13 ( 5/3惯性力矩为M，y = - -myl +F 3E1 vJ 487 iM3EI5经整理得，体系运动方程为：my+-y = F b16 iM10-11试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。(a)|?曰=常数*L*2a5。36EI1a 2 a 三 2)2x xx x x + 2x2axix aI 22 3 23 J(b)解：此体系为静定结构，内力容易求得。在集中质量处施加垂直力P,使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为:。4由此根据弯矩平衡可求得P = k o解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。（2Z）3/3/3136EI + 96EI

6、102 EI于是两者并联的柔度系数为8并上简支梁柔度系数为=-下简支梁柔度系数为/3(d)XT曰=常数解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。水平支杆中力为兰m 13/3,即上30EI13/311(e)忽略水平位移解:Mi图c 5。 c x2x + 1x3。EA21a2EA(f)64 )M图0.014974/3El构的阻尼比E。解:危y k+nm(O2(I !-92+ 4&2 生(0210-15设巳测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm,试求该结1 | 1.188In= 0.047520k0.0610-16设有阻尼比E=

7、的单自由度结构受简谐荷载Ft)= FsmQt作用，且有。=0.75(0。若阻尼比降低至E=,试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大已知&从降低至.0=0.75，F =Fsin9r, a不变。29+ 4-0.22- 16= n F = 0.827FJi!2o 21+ 4-0.022 _16F简谐荷载的幅值应调整到0.827Fo10-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位 移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设叵。b解：由力法可知，单位荷载作用在B点引起二二位移。3EIrn_ ,CL_ 匝阻蠕=mb， Vzn/31V 。)竺CO2FFhFbsin0 /

8、 = sin0 / 即 ifg值为mC023EI3EI当幅值最大时，弯矩也最大。(b)解:图(1)求结构运动方程如所示弯矩图，图乘后,f _ 13b5/3 24E/ 22 一 3E/ Jn J2i 48E/=LF+fFsinet = fnG)c - 11 I 1224EI5F . ny+y = sin U，mh2m 、m k Jy +f FsinQt12(De 7MO2八 sinQt1 丝C02 24EI八 5厂其中 G) 2 = P * = Fmb 2稳态解:-Fh 21 。smbf 24EI 1 145Fh . smUf36EI所示结构的运动方程为36EI一 5FbC点最大动位移幅值为打7

9、 36EI(2)求B点的动位移反应y = f F + f PsinOf = f -m y + f PsinOf(t)B 21 I 2221 k (f)B J 22y =sinQt, y =-02sinQt(t)B mC02 02(t)BmC02 0 2C02C0202P -一1+PfJC02 J21C0222I5Fb36EIsin W4)bsin Or4)csin Or5Z3 5p M48E/ 2 CO21 b+102 3EI1 CO2Ph3EIPb3EI250232CO2/132 an1k C02)+11业(02)sin Orsin Or3EI 128 3121P/3一 288E/sin O

10、rB点的动位移幅值为121PZ3288E/（3）绘制最大动力弯矩图A(max) 288E/12 36EI h 96C（max）解:Q（t）= Qsin, tim -IIIK若）M121P/3 3EI 121 rx=Pl 288E/ 2/2192最大动力弯矩图10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限 刚性，弹簧的刚度系数为七已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角a为 坐标。建立动力方程：aLmaL + a- l + kabal = lqoucdx TOC o 1-5 h z 222 3 2o99ocmol h +上以2,2 =

11、 ott) i因为不受外力作用，所以横梁以r时刻的位移和速度为初始值做自由振动。 1(b)10-23设题10-22图a所示刚架m = 4000kg, /? = 4m,刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅 的对数递减率|/=。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5%,试求刚架柱子的弯曲刚度曰至少 为何值。解：(1)求周期数。 _- In 0.05 与八 TOC o 1-5 h z 0.05y = y e-Yn n = 30。0.1求灯z*i (inn)2m (2x3.14159x30 x4.0 x103 nk = 1421.223xl03N/m HYPERLINK l bookmark134 o

12、Current Document PIO2n两柱并联= 3.79x106-m2h310-24设某单自由度体系在简谐荷载Fp(t)=FsinOf作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频 率。分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大解：在简谐荷载Fp(t)=FsinOH乍用下，稳态位移响应可表示为坊广Asin(0a)其中:A ,g2 . M、202+ 42 (02=y日st(02 Y02(1)使动位移最大，即使H最大，从而得出1 +4&2 最小。+ 4&2 立(02C02 J C02(02 J(0229(02使后，=，贝|。=吼1-2&292(02( 10 )2I (0 )1(02

13、(1 e Y 心 1如果使速度响应最大，则%)最大，设她)=3 +4检而,显然要求(6 Y 11 )八八g 1(0)最小。使:gi(9)=2 一一 =0 得 0 = co o人。2 CD2 )-0 2A sin(& a)加）02、27+ 4&2 立CD2（11）24& 2i（0）= 0T-co? +瓦L显然要求七）取小。则扁）1 _1-2&202(02=。解的： =CDJ1 -2210-26试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型o（a）解:1)= 2xlx/xlx2xl+lx2xixi22 3 2 22 213Tei(2)17 人=10, X = 312neo = I1 10m/3用=

14、 1.095阻V mbCD2i1 3mh区=2(3)振型图如下(b)第二振型解:38 =8121126EI2822扒2 23 2)36EI得振型方程:31 -m 3EI co 2 /A+旦湖=01 6EI 2旦湖+6EI 1(显 131 )m P 6EI 2 /A=0令土 .四以2(02 mh2.414-X 0.7070.7070.707-X 由频率方程 d=o解得:3EI I El=J= 2.576 i 0.4535 mhCD2I 3EIVm/3.2.6675i El= 1.060 | ml 3A2.414-X-2.7732 A 0.7071iiA _ 2.414 七 _ 0.358A 0.

15、707112四/5-4-2/I37/T31政21(2)振型方程A71 zt/ /31 )Ar 5/3 )m +m3E/(02 J12EI )A =02(5/3:m-A +也.212E1()2 J频率方程为：D =A =02. 12EI 令人=,ml 3324-X13-X=0。处一17 入+ 52 25 = 0n 入=15.227,入=1.7731212EI n ooo eT co = W= 0.888.1co2；12EIT 1.773诚 3i 15.227诚3 mb| El= 2.602J mbX 8(3)当 X = X = 15.227 时，设 A = 1 = A = = 0.7227111

16、21 IQX s当X = X =1.773 时，设A =lnA = = 0.622721222 io第一振型1+ / k + / k6 EI 2 2 1 2 2)11 1 CD2 12 2f m f m 21 122 2(02仗 仗f 1 . ,1 . , V _1 (235 =8 = Ik / k / 2a =122191 22 J48 EIe1。31fl ,71,)1 1 Q30=+ Ik + / k22 6 EI 2U 122；48 EI频率方程为:取7 = ma, m = ma代入整理得： TOC o 1-5 h z i 234448F7人2 + 402 = 0 其中人=33 7MO2

17、X =11.045。,人=3.625。 HYPERLINK l bookmark67 o Current Document 12(D1翌旦=2.085旦11.0454 mamG)2 V 3.6254 m些=3.639EIam振型方程为:5 m 1 11 1211A +6 m A =Q (D2 ) 112 22, 1、m匚222(D2 JA =02将0 = (0,A =l(z = l,2)代入(a)式中的第一个方程中，得: i uA21-6 m(D211 15 m12 2。.23。赠一0.2292*0.135。21 mai 48E/ 3A22co 25 mii i3.625-11 /na4z8

18、m12 248El-22.125绘出振型图如下:a2 1 mai 48E/ 30.135第二振型(e)-J 曰=常数解:f =， f =， f = f = f =11 2EI 22 2EI 122133 6EI振型方程2EIm A + m - A + 0- A = 0CO2 J i)236EI、(iA /3m A + J 1 ECO2A +0-A23=0/310-A +0-A + m 一 A =012CO2 J 3令X= ,频率方程为: mh&2= X = 4, X = X = 2123 TOC o 1-5 h z 3-X 10D = 13-X0 = 0002-X3oa =ia=-ia =01

19、923lb振型图如下：1 101解:1 TOC o 1-5 h z M图M图121898 =6/3,8 =6/3,8 =6/3,8 = 811 3EI 22 3EI 33 EI 2112M图35 q q 14 q q 4 13。= 0= 6/3,0= 0= Q3 6EI 2332 3EZ 3113 3EI（2）振型方程为:(1。3Im 、3EIC025。3m6EI(4q3(5q3f 403)A +mA + 4mi6EI23EIA =03，8q3I )，14q3 ,)A + m 一A + 4mi3EIC0223EIA =03A +ISA +9Q3.I )mm4m-7i3EI72(D2 JA =0

20、32-X532516-XH2828216-X=0令X = ,频率方程为：D =7 泌 CO 2nX =231.80 =1.9360 =0.2317123neo =0.161J,co =1.76oJ,co =5.0891 V ma3 2El0、3.469a=1.390a = -0.687k6.640?2、O.203(0.052 J3mQ3mQ310-27(a)解：试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。y = 7.029, y =40.971,12a =ri0.707,ari-0.707)振型图如下:第一振型第二振型(b)/一解:图? EA EA 41 辑 +2 如k = k = + =

21、1122 I 21 221, EA 41 41EAk = k = =212121 24/=0=04 +左-入令U，频率方程为：D =(c)解:作出附加连杆移动单位位移的弯矩图, 3i ,4EI ,El, 3i ,4EIk = + k =,k k -k = + k =n li131221221113k 一 m C02 k列出频率方程：D= n i 12kk m C0221222=0(D21(D223EI结构自振频率分别为:5EImb求第一振型：令A求第二振型：令A 12结构的振型向量形式为:=1 得 A = 121=1 得 A = 122A（i）=,扉）=1 ）(d)解:k = k = 0 ,1

22、221Mr图,15z, 8zk = , k =n Hi 22 li列振型方程:=0=0其中2mby =G)2El列频率方程并求解：史顼 i）（16 顼=。求振型将y =15,A =1代入方程组（*）中得:111将y =16, A =1代入方程组（*）中得:222A =0,21I) 即 AG)=lojA = 0 ,即仙)=22振型图如下:第二振型El D第一振型10-28试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载 的性质、特点和作用位置分别有何要求10-29试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算 体系的动内力幅值。

23、10-30试求图示结构B点的最大竖向动位移,并绘制最大动力弯矩图。设均布简谐荷yB（max）载频率。=/土，B点处弹性支座的刚度系数k = 1r，忽略阻尼的影响。 TOC o 1-5 h z M图M图1p画M 图1 pr1 L1a2a1115。3r = 2x xx x x +x x =iiEli2232)22 k12EIAi/，1El-a2x x2(111)ax qa2+ x qa2 +U3 4” J11qaA+ x qax =4k 4EI列出方程得:12 ElEl)解得：Ii3= QaA3131313“3A = qax x + qax =)，B(max) 72El4El28E/根据公式必=虬

24、+吃画出最大动力弯矩图。10-31图示结构在B点处有水平简谐荷载Fp(0 = lkN-sin9?作用，试求集中质量处的最大水平位移和竖向位移，并绘制最大动力弯矩图。设。=麻忽略阻尼的影响。解：作出心、心2图Pe11 2c Iccc 32 s sllccc 45 = -2-2- -2 + 2 2 2 =, 6 = 6 = 2 2 2 = TOC o 1-5 h z n EI 23 El3EI 2i 12 EI 2EIF收） pG）sinQt = -15.83sin Qt KN0.5774 -0-0.5774TF00.2639 -T-o-0.6230F0.52780sinQt = 0F ,、= A

25、（3）r/E pG）F ,、= A（2）r/E pG）sinQt = -18.695sin 0/ KN则应满足方程j +C02yi i imi其稳态响应为:y =.幻*_诅Qt = 0.3264sin01 mm1G） 1x105 12.112-（871/同理：项=。j O. U 7 K JL1x105 45.752-(8ti /-18.69x103in0f = -O.1279sin0f mm%,)%)-0.3115 0.05774 0.2639 -0.3264 _-0.1354-况）=A=-0.52780-0.6230sinQt =-0.0926sin。，mm-0.6230.05774 0.5

26、278-0.1279-0.2708-3。） L 3（f）-显然最大位移y = -0.1354/n/n Imaxy = -0.0926/wnmaxy = -0.2708/wnmax10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。巳知阻尼比E = & 2=。解：323 刚度矩阵* = EI4-14质量矩阵M =m0.2143 -0.3214 =EI8-0.3214 0.857131-0.41420.41421=A(2)T . F p(f)/n=A(iWAG)= 1.1716/n% =A(2A(2)= 1.1716m政）pG）1 V0、-F sin0f = 0.

27、4142F sinQt-0.4142 丫0、1LFsinQt = Fsin0f正则坐标y,、应满足方程:0.4142x1031.1716/nC02i( A A1生I 2J=0.813377272 次02+ 4&2 1 CO21+2gco j +C02j = %(Di 11111 m1其稳态响应为f)=A sin(0 z - a )iir . e)2& =tan-i= tan-i (-0.4587)=-0.43011 CD r 1一生I 2J同理可得：山=孕而-气)1X1031.1716/nC0221胃CD 2 J2 7=0.1092mm2此02+ 4&2 2 (D 22=tan-i、0 2& 2 CD2-1 一也I J2 Z=tan-i 0.0813 = 0.0811于是%,)=0.8133sin(0f + QA3Ql)mm= 0.109