阅读与思考函数概念的发展历程(117)课件

1、函 数 概 念 的发 展 历程问题1：你知道函数产生和发展的背景吗？函数产生发展的背景 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究. 由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家们共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?函数产生发展的背景 还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家们力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题。 诸如此类的问题都需要

2、探究两个变量之间的关系，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这正是函数产生和发展的背景。函数是研究变量数学必不可少的概念问题2：你怎么理解函数？问题1：你知道函数产生和发展的背景吗？问题3：你知道函数一词最初是由谁首先使用的嘛？ 17世纪末，德国数学家莱布尼兹首先用“function”一词来表达“函数”的意思。德国百科式的天才数学家1646年7月1日1716年11月14日 德国哲学家、数学家 莱布尼茨 莱布尼茨Function幂 莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等。笛卡尔大部分函数被当做曲线来研究注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，只是尚未意识到提炼

3、函数概念一、几何观念下的函数思考：函数用图像表示的优点、缺点是什么？问题4：在中国，又是谁最先将“function”译做“函数”呢？李善兰18111882清朝数学家 在1859年和英国传教士伟烈亚力和译的代微积拾积中首次将“function”译做“函数”凡式中含天，为天之函数。 1718年，瑞士数学家约翰柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了定义： “由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”强调函数要用公式表示，首先将函数概念公式化。Johann Bernoulli 二、18世纪的新函数概念解析式说欧拉LEuler17071783 瑞士数学家 18世纪中叶欧拉给出了定义：“一个变量

4、的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”还给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号f(x) 。 欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。二、18世纪的新函数概念解析式说问题5：你认为 “解析式”是不是判断函数的标准？时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9我国城镇居民恩格尔系数表南极上空臭氧层空洞的面积从19792001年的变化情况三、变量依赖关系下的函数概念 1755年，欧拉给出了另一个定义

5、：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”问题6：是不是一个函数？说明理由。变量依赖关系下的函数概念：如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。狄利克雷P.G.L.Dirichlet18051859德国数学家四、十九世纪函数概念 对应关系下的函数 1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。

6、”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。 若对x的每一个值，y都确定的值与之对应，那么y叫做x的函数。D(x)1，x为有理数0，x为无理数狄利克雷这个定义彻底的抛弃了前述一些定义中解析式、依赖等的束缚，特别强调和突出函数的本质一一对应思想初中函数的概念函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式。 函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: AB

7、为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , xA x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域。问题7：高中数学中函数又是如何定义的？从 “变量对应关系”到“集合对应关系”十九世纪函数概念 集合对应关系下的函数康托Cantor1845-1918德国数学家维布伦（美）Veblen，1880-1960集合语言作为近现代数学的“基本语言”广泛应用在数学各个分支学科中，函数概念便又用更加严谨的集合和对应语言表述。 纵观300年来函数概念的发展，因生产、生活以及科学技术的实际需要，众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度一次又一次的推翻、重新修正函数的概念，不断赋予函数概念以新的思想，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，推动了整个数学的发展，这与我们学习函数的过程是一样的。4.分析下面几个对应关系能不能成为函数？ 5、函数y = x, x 0,1 与函数y = x2 , x 0,1 是否是同一个函数？思考：你能以函数概念的发展为背景，浅谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？初中函数概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。高中函数概念：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于