结构非线性问题

1、O结构非线性问题结构非线性问题可分为两大类，第一类为材料非线性问题，第二类为几何非 线性问题。少数特殊结构甚至考虑材料和几何双重非线性。除了结构存在明显的 非线性特征，需要研究非线性分析方法外，在工程精度范围内，许多问题可以用 线性分析方法来解决。1.1.材料非线性与极限荷载在单纯的材料非线性问题中，假定结构位移微小，位移与应变的几何关系（几 何方程）是线性的，而应力与应变关系是非线性的。这时表征材料特性的弹性模 量E和泊松比U不再是常数，而是应力。和应变的函数。在有限元分析中， 表现在原弹性矩阵D式应变的函数，也是位移的函数。当确定位移模式后，导 出的单元刚度矩阵k就是结点位移列阵0 的函数

2、。材料非线性问题有非线性弹性问题和非线性弹塑性问题之分。后者是材料超 过屈服极限后呈现出的非线性，常见于各种结构的弹塑性分析。在简单加载过程 中的非线性阶段两者并无本质区别，但卸载过程，前者是可逆过程，即卸载后结 构会恢复到加载前的位置；后者是不可逆的，将出现残余变形。除了加载之外， 其它因素如蠕变、温变、裂纹扩展时也存在材料非线性问题。大多数工程材料（如钢材、钢筋混凝土）的结构随着荷载的增加，将进入弹 塑性状态。这时虽然部分已进入塑性状态，但尚有相当大的部分材料仍处于弹性 范围，因而结构仍可继续承载，直至塑性部分进一步扩展而发生崩溃。工程设计 中，允许材料进入塑性的结构分析称为材料非线性分析

3、，分析基于：理想弹塑性、 比例加载和平截面等基本假定。结构最终破坏时，与极限弯矩对应的极限承载能 力称为极限荷载。极限状态设计所关心的不是荷载作用下结构弹塑性的演变历 程，而是结构出现塑性变形直到崩溃时所能承受的最大荷载，然后考虑结构应有 足够的安全储备，以此作为设计依据。承受着极限弯矩，只能沿弯矩方向转动的单向铰称塑性铰。当弯矩减小、材 料恢复弹性时，塑性铰即消失。结构出现塑性铰而丧失承载能力所成的几何可变 或瞬变的体系称破坏机构。结构处于极限状态时应同时满足的条件是:机构条件、 屈服条件和平衡条件。比例加载时判定极限荷载的定理有:极小定理（上限定理）； 极大定理（下限定理）和惟一性定理（单

4、值定理）。超静定结构极限荷载计算特点：只考虑最后的破坏机构只考虑静力平衡条件 不受温度变化，支座移动等因素的影响 忽略剪力对承载力的影响不能使用叠加原理。计算极限荷载的方法：（1）穷举法；（2）试算法（示例）参考文献 1王焕定，章梓茂，景瑞.结构力学.高等教育出版社，20002赵振铭，陈宝春.杆系与箱型梁桥结构分析及程序设计.华南理工大学出版社，19972. 2.几何非线性与大位移小应变结构分析中的几何非线性问题，常见于结构大挠度（大位移）问题。自1910 年，Von Karman发表了平板大挠度非线性方程以后，壳体大挠度非线性问题获 得较大进展，在这方面，钱学森、钱伟长都有突出贡献。由于结构

5、变形大，影响 荷载的作用方向，平衡方程必须建立在变形后的几何位置上。对于柔性结构，变 形后的应变仍属小应变，材料的应力应变关系还是线性的。大变形与小变形是相 对的量级概念，例如在横展10km的地层上，局部隆起10m,在地质图上仍是小 变形。但是对于厚度为0.1mm的话筒薄膜，如中心挠度也为0.1mm，则可称为 大挠度，此时非线性效应增长，若不考虑大挠度的几何条件，算出的形变与应力 的误差可能超出真实的合理范围。在大变形问题中，转动有时比形变占有更重要 的地位。在结构的稳定分析中，有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理 论，分支点失稳后的大变形形态是非线性的，据此得以解释压溃现象；但计算分

6、 支点的临界荷载时，可以略去高阶微量简化为线性问题，最终归结为广义特征问 题，得出正确结果。极值点失稳用非线性大挠度理论考虑有限变形对平衡的影响， 其结果与实验结果吻合得很好；此外，线性理论计算结果Pcr比非线性理论计算 结果大，因而偏于不安全。（示例）参考文献 陈至达.杆、板、壳大变形理论.北京：科学出版社，19943. 3.非线性振动简介从伽利略、牛顿的古典力学时代起就有人开始研究振动理论，拉格朗日曾系 统地研究过微小振动的理论。在振动理论发展的过程中，起先局限于对线性振动 系统的研究。由于线性微分方程的理论早已发展得比较完善，所以将振动系统线 性化便于数学求解。更主要的是，线性振动理论能

7、解决许多工程问题，并给出满 意的结果。但无根据地抛弃非线性项的理论结果，不仅引起数量上的误差，有时 还导致根本性质上的错误。一些表面上看起来极不相同的现象（如化学反应，桥梁风振，火箭发射，电 磁振动，气象变化等等）都可以通过振动方程统一到振动理论中来。若阻尼力或 弹性力或两者都是非线性函数fSx）和f2（x），而f为周期干扰力或非线性干 扰力，则振动方程成为非线性微分方程mx + f （X） + f （x） = f （t）此时系统称为非线性振动系统。2非线性振动系统由如下几个主要特点：（1）叠加原理不再适用。如作用在非线 性系统上有可以展成富里埃级数的周期干扰力，其强迫振动的解不等于每个谐波

8、单独作用时解的叠加。（2）在非线性系统中，对应于平衡状态和周期振动的定常 解一般有数个，必须研究解的稳定性才能决定实际解。（3）在有阻尼的线性系统 中，自由振动总被衰减掉，只有在干扰力作用下，才有定常周期解；然而非线性 的自激振动系统，在有阻尼无而干扰力情况下，也有定常的周期振动。（4）非线 性系统在单频干扰力作用下，其定常强迫振动的解，除了有和干扰力同频成分外， 还有倍频成分存在。（5）在非线性振动中，固有频率与振幅有关；振动三要素（振 幅、频率、相位）与初始条件有关。（6）非理想系统、自同步系统等不能线性化。对工程技术中出现的非线性振动问题的研究，一般从两方面进行。一方面是 实验研究，根据原理相似条件建立模型，研究各种参数对振动特性的影响以及解 的稳定条件，需要时进行现场实验研究。另一方面是理论研究，从本世纪二十年 代起理论获得迅速发展，由于没有通用的解析方法，目前仅有极少数非线性振动 方程求得精确解。但已研究出不少有效的近似方法，如定性方法相平面法； 定量方法有数值法（迭代法、有限元法、配置法）和解析法（摄动法、渐近法）简化实际振动系统，合理选取力学模型是十分重要的。一般