高数下册课件全微分

1、第四节全微分一元函数 y = f (x) 的微分xox 近似计算 估计误差 x)x应用本节内容:一、全微分的定义二、可微的条件第九章一、全微分的定义定义: 如果函数z f ( x, y 在点 x, y)的全增量可表示为x By o( ),其中A、B仅与x、y有关, 而不依赖于 、 ,z f ( x, y) 在点 ( x(x)2 (y)2 , 则称函数Ay 称为函y 处可微分,( xy数z在点(处的全微分.记作即x By.d函数若在某平面区域D内处处可微时,这函数在D内的可微函数.则称P x, y 处的偏增量注1：y 0时，函数在 x z f x x, y f x, y x z A x o x可

2、表为称A x为函数f x, y 在点 x, y关于x 的偏微分类似的，称B y为函数f x, y在点 x, y关于 y 的偏微分（全微分=各偏微分之和，叠加原理）注2：记 dx x,dy y,则 dz Adx Bdy.函数 f x, y满足什么条件时可微？函数可微时A ?, B ?可微与可偏导、连续的关系？二、可微的条件定理1(必要条件)若函数z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则(1)函数在该点连续；(2)函数在该点偏导数必存在，且有z A, z B.xy证：请看黑板！注1: dz z x z y x注2： 函数可微 y函数在该点连续不连续的函数一定是不可微的.偏导数存在函数

3、可微即:注意: 定理1 的逆定理不成立.!偏导数存在函数不一定可微xy y2 0 x2,y2x2f ( x, y) 反例:函数 y2 0 x20,fx(0, 0) f y(0, 0) 0 , 但 x y z f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y xy( x)2 ( y)2 x y0( x)2 ( y)2 o( )因此,函数在点 (0,0) 不可微 .z f x, y在 x0 , y0 可微的步骤注:判定1.判定f x, y在( x0 , y0 ) 是否连续若不连续，则不可微，否则转下一步；2.判定f ( x , y )、f ( x , y )是否存在，x00y00若不存在，则不可微，

4、否则转下一步；z f ( x, y )x f ( x, y )y=0 x00y003.判定lim 0若为0，则可微，否则不可微。一元函数可导可微多元函数各偏导数存在 全微分存在f ( x, y) 在( x0 , y0 ) 可微z fx x0 , y0 x f y x0 , y0 yz 0lim x y x0 y022说明的偏导数 z, z定理2 (充分条件)若函数 x y在点( x, y) 连续， 则函数在该点可微分.证：z f ( x x, y y) f ( x, y) f ( x x, y y) f ( x, y y) f ( x, y y) f ( x, y)fx( x 1 x, y y

5、) x f y( x, y 2 y) y fx( x, y) x f y( x, y) ylim 0,lim 0 x0 y0 x0 y0(0 1 , 2 1 )z fx( x, y) x f y( x, y) y x ylim 0,lim 0 x0 y0 x0 y0 x y 注意到, 故有fx( x, y) x f y( x, y) y o( )z 所以函数在点可微.注： 偏导数连续函数可微1( x, y) (0,0)xy sin,y2x2f ( x, y) 反例函数( x, y) (0,0)0,在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连续, 而 f ( x, y)在

6、点 (0,0) 可微 .y2x21证: 1)因xyxy sin2y2x2lim f ( x, y) 0 所以f (0,0)x0 y0故函数在点 (0, 0) 连续 ;f y(0,0) 0. fx(0,0) 0 ;f ( x,0) 0,2) 3) 当(x, y 0,0)时,1x2 y1f ( x, y) ysincosxy2x2( x2 y2 )3y2x2沿射线 y ( x, y)当点P(xyx趋于(0,0时(311x lim( x sincos)2 | x |2 | x |22 | x |3x0极限不存在 , f x( x, y) 在点(0,0)不连续 ;f y( x, y) 在点(0,0)也

7、不连续.同理 ,题目目录上页下页返回结束(, y在点 0,0)可微 :4)下面证明 (x)2 (y)2, 则f f x(0,0)x f y(0,0)yx y sin 10 x0 f (x, y在点 0,0) 可微.说明:此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.题目目录上页下页返回结束三元及三元以上函数的可微性问题.推广:类似可例如, 三元函数 u f ( x, y, z) 的全微分为d u u x u y u z x yz上把自变量的增量用微分表示, 于是u d zd u u d xx记作 d x uzd z ud x d,y d,z u称为偏微分. 故有下述叠加原理 du dz u例1.

8、计算函数在点 (2,1) 处的全微分.zzxy y xexy x ye,解:zz e2 , 2e2 x y(2,1)(2,1)例2. 计算函数的全微分.)d y yeyz dz( 1 cos y zeyz du 解:22例 3 求函数z y cos( x 2 y)，当x ， y ，4dx ，dy 时的全微分.4zx y sin( x 2 y),解z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y),y zdx z2 (4 7).dy dz(,)x ( ,)y ( ,)84441. 微分定义:z o ( ) f y( x, y)d y()d z fx( x, y)dx 2. 重要关系:偏导

9、数连续函数可微函数可偏导函数连续内容小结练习题1、设z y2 在0, 0 是否可微？x2xy x, y 0, 0 x, y 0, 0在0, 0 是否可微？x y222、设fx, y03、函数f x, y 在a, b 处的偏导数存在，则lim f a x, b f a x, b (C)xfx a, b;x0fx 2a, b;(B)（A)fx a, b.2 f a, b;(D)(C)x24、z f x, y 在 x0 , y0 可微的充分条件是( D).f x, y 在 x0 , y0 连续；(A)(B) fx x, y , f y x, y 在 x0 , y0 的某邻域内存在；(C) z f x x0 , y0 x f y x0 , y0 yx2 y2 0时是无穷小；当 (D) z f x x0 , y0 x f y x0 , y0 yx 2 y2x2 y2 0时是无穷小 当 5.二元函数f(x, y)在点 (x0, y0)处两个偏导数fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在该点连续的().D充分条件而非必要条件必要条件而非充分条件充分必要条件既非充分条件又非必要条件6.考虑二元函数 f (x, y)的