2022年《线性代数》知识点归纳整理

1、学习资料收集于网络,仅供参考线性代数学问点归纳整理诚毅同学 编01、余子式与代数余子式 . - 2 - 02、主对角线 . - 2 - 03、转置行列式 . - 2 - 04、行列式的性质 . - 3 - 05、运算行列式 . - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 . - 4 - 07、几类特殊的方阵 . - 4 - 08、矩阵的运算规章 . - 4 - 09、矩阵多项式 . - 6 - 10、对称矩阵 . - 6 - 11、矩阵的分块 . - 6 - 12、矩阵的初等变换 . - 6 - 13、矩阵等价 . - 6 - 14、初等矩阵 . - 7 - 15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵 .

2、 - 7 - 16、逆矩阵 . - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 . - 8 - 18、相伴矩阵 . - 8 - 19、矩阵的标准形： . - 9 - 20、矩阵的秩： . - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 . - 10 - 22、线性方程组概念 . - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）. - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 . - 11 - 25、线性方程组的向量形式 . - 12 - 26、线性相关 与 线性无关 的概念 . - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组 必定线性相关 . - 12 - 28、线性相关、

3、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题 . - 12 - 29、线性表示与 线性组合的概念 . - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题 . - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的 3 个定理 . - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 . - 12 - 33、线性方程组解的结构 . - 13 - 学习资料学习资料收集于网络,仅供参考01、余子式与代数余子式a 11 a 12 a 13（1）设三阶行列式 Da 21 a 22 a 23,就a 31 a 32 a 33a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a

4、22元素 a ,a ,a 的余子式分别为： M11,M 12,M13a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32a 22 a 23对 M11的说明：划掉第 1 行、第 1 列,剩下的就是一个二阶行列式,这个a 32 a 33行列式即元素 a 的余子式 M11；其他元素的余子式以此类推；元素 a ,a ,a 的代数余子式分别为： A11 1 11M11 ,A12 1 12M12 ,A13 1 13M13 . 对 Aij 的说明（ i 表示第 i 行, j 表示第 j 列）：Aij 1 i j M ij .（N 阶行列式以此类推）（2）填空题求余子式和代数余子式时,最好写原式；比如说

5、,作业P1 第 1 题：M3104,A31-13+1040303（3）例题：课本 P8、课本 P21-27、作业 P1 第 1 题、作业 P1 第 3 题02、主对角线一个 n 阶方阵的主对角线,是全部第k 行第 k 列元素的全体, k=1, 2, 3n,即从左上到右下的一条斜线；与之相对应的称为副对角线或次对角线,即从右上到左下的一条斜线；03、转置行列式即元素jia 与元素jia 的位置对调（ i 表示第 i 行,j 表示第 j 列）,比如说,a12与a21的位置对调、a35与a53的位置对调；学习资料学习资料收集于网络,仅供参考04、行列式的性质详见课本 P5-8（性质 1.1.1 1.

6、1.7）其中,性质 1.1.7 可以归纳为这个：a i A k 1a i A k 2 a inA knA,ik,（i 表示第 i 行,k 表示第 k 列）0,i k娴熟把握行列式的性质,可以快速的简化行列式,便利运算；例题：作业 P1 第 2 题05、运算行列式（1）运算二阶行列式a 11a 12：a11a22a12a21（即,左上角 右下角右上角 左下角）a21a22方法（首选）：a11a 12aa 2221方法：a 11a1212A 12a 11a22a12a21a 11A 11aa 21a22例题：课本 P14 a 11 a 12 a 13（2）运算三阶行列式 a 21 a 22 a 2

7、3：a 31 a 32 a 33a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 11 A 11a 12 A 12a 13 A 13a 1 11M11 a 1 12M12 a 1 13M13a 31 a 32 a 33N 阶行列式的运算以此类推；通常先利用行列式的性质对行列式进行转化,0 元素较多时便利运算 .（r 是 row,即行； c 是 column,即列）例题：课本 P5、课本 P9、课本 P14、作业 P1 第 4 题、作业 P2 第 3 小题（3）n 阶上三角行列式（ 0 元素全在左下角）与Da 11a22a （主对角线上元素的乘积）例题：课本 P10、作业 P3 第 4

8、 小题n 阶下三角行列式（ 0 元素全在右上角）：有的题可以通过“ 从其次行起,将各行的元素对应加到第一行” 转化成上三角行列式 例题：课本 P11 学习资料学习资料收集于网络,仅供参考（4）范德蒙行列式： 详见课本 P12-13 （5）有的题可以通过“ 从其次行起,将各行的元素对应加到第一行” 提取出“ 公因式”,得到 元素全为 1 的一行,便利化简行列式；例题：作业 P2 第 1 小题、作业 P2 第 2 小题06、矩阵中未写出的元素 课本 P48 下面有注明,矩阵中未写出的元素都为 0 07、几类特殊的方阵 详见课本 P30-32 （1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式（2）对角

9、矩阵：除了主对角线上的元素外,其他元素都为 0 （3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同（4）零矩阵：全部元素都为0,记作 O1,其他元素全为 0,记作 E 或 En （其行列式的值为1）（5）单位矩阵： 主对角线上的元素都为08、矩阵的运算规章（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减,同型,即矩阵 矩阵 A 的列数与矩阵 B 的列数也相同）：课本 P32“ AB”、“ AB”加法交换律： ABBA 加法结合律： A（ BC）（ AB） C（2）矩阵的乘法（基本规章详见课本 P34 阴影）：数与矩阵的乘法：I.课本 P33“ kA”A 的行数与矩阵 B 的行数相同；II. kA k n A （由于

10、 k A 只等于用数 k 乘以矩阵 A 的一行或一列后得到的矩阵的行列式）同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：a 12b 22a 11a 12b 11b 12a 11 b 11a 12b 21a 11 b 12a21a 22b21b 22a21 b 11a22b 21a21 b 12a22b 22学习资料学习资料收集于网络,仅供参考描述：令左边的矩阵为,令右边的矩阵为,令运算得到的矩阵为AB,就CDA的值为：中第 1 行的每个元素分别乘以中第即 Aa 11b a 12b 21B的值为：中第 1 行的每个元素分别乘以中第即 Ba 11b a 12b 22C的值为：中第 2 行的每个元素分别

11、乘以中第即 Ca21b a22b21D的值为：中第 2 行的每个元素分别乘以中第即 Da21b a22b22.1 列的每个元素, 并将它们相加；2 列的每个元素, 并将它们相加；1 列的每个元素, 并将它们相加；2 列的每个元素, 并将它们相加；a 11a 12a 13b 11b 12b 13a 11 b 11a 12 b 21a 13 b31a 11 b 12a 12 b 22a 13 b32a 11 b 13a 12 b 23a13 b 33a 21a 22a 23b 21b 22b 23a21 b 11a22 b21a 23 b 31a21 b 12a22 b22a23 b 32a 21

12、 b 13a22 b 23a23 b 33a 31a 32a 33b 31b 32b 33a31 b 11a32 b21a 33 b 31a31 b 12a32 b22a33 b32a 31 b 13a32 b 23a33 b 33描述：令左边的矩阵为,令右边的矩阵为,令运算得到的矩阵为ABC,就DEFGHIA的值为：中第 1 行的每个元素分别乘以中第即 Aa 11b a 12b 21a13b 311 列的每个元素, 并将它们相加；B、C、D、E、F、G、H、I 的值的求法与 A 类似；数乘结合律： k（lA）（ kl）A ,（kA）BA（kB） k（AB）数乘安排律：（kl）AkAlA ,k

13、（AB） kAkB 乘法结合律：（AB）CA（BC）乘法安排律： A（BC） ABAC ,（AB）CACBC 需留意的：I.课本 P34 例题 两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵 II. 课本 P34 例题数乘的消去律、交换律不成立III. 一般来讲,（AB）k A k B k,由于矩阵乘法不满意交换律IV.课本 P40 习题第 2 题：（AB）2不肯定等于 A 22ABB 2 ,（AB）2 不肯定等于 A 22ABB 2,（AB）（AB）不肯定等于 A 2B 2 . 当 ABBA 时,以上三个等式均成立（3）矩阵的转置运算规律： A T TA学习资料学习资料收集于网络,仅供参考 A B T

14、A T B T kA TkA T AB TB TA T ABC TC TB TA T ABCD TD TC TB TA T（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本 P46）AB A B（5）例题：课本 P35、课本 P36-37、课本 P40 第 4 大题、课本 P40 第 5 大题、课本 P51 第 1 大题、课本 P51 第 4 大题、课本 P60 第 4 大题、作业 P5 全部、作业 P5 第 3 大题、作业P5 第 4 大题09、矩阵多项式详见课本 P 36 10、对称矩阵（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本 P37）（2）同阶对称（

15、反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵数 与 对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵对称（反对称）矩阵的乘积不肯定是对称（反对称）矩阵11、矩阵的分块线代老师说这部分的内容做明白即可；详见课本 P38-40 12、矩阵的初等变换三种行变换与三种列变换：详见课本 P 42例题：作业 P6 全部13、矩阵等价如矩阵 A 经过如干次初等变换后变成矩阵B,就称矩阵 A 与矩阵 B 等价,记为 AB学习资料学习资料收集于网络,仅供参考14、初等矩阵（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵；详见课本 P48-49（2）设 A 为 m n 矩阵,就对 A 施行一次初等行变换相当于在 A 的

16、左边乘上一个相应的m 阶初等矩阵； A 施行一次初等列变换相当于在 A 的右边乘上一个相应的 n 阶初等矩阵 .详见课本 P50-51 （3）课本 P51 第 3 大题15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵（1）对任意一个非零矩阵,都可以通过如干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：如在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数）,阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素,也就 是非零行的第一个非零元素,就称该矩阵为行阶梯矩阵；在此基础上,如非零行的第一个非零元素为都为1,且这些非零元素所在的列的其他

17、元素都为0,就称该矩阵为行最简形矩阵；例题： 课本 P45、作业 P6 全部、课本 P51 第 2 大题16、逆矩阵（1）设 A 为 n 阶方阵,假如存在n 阶方阵 B,使得 ABBAE,就称方阵 A 是可逆的,并称 B 为 A 的逆矩阵 .（由逆矩阵的定义可知,非方阵的矩阵不存在逆矩阵）（2）假如方阵 A 可逆,就 A 的逆矩阵是唯独的,并将A 的逆矩阵记作 A1,AA1E（3）n 阶方阵 A 可逆的充要条件为A 0,并且,当 A 可逆时,A1A*A（证明详见课本 P54）例题： 课本 P59 第 1 大题（4）可逆矩阵也称为非奇特方阵（否就称为奇特方阵）（5）性质：设 A,B 都是 n 阶

18、的可逆方阵,常数 k 0,那么 A11A A T也可逆,并且 A T -1A-1 T学习资料学习资料收集于网络,仅供参考 kA 也可逆,并且kA-11 A-1k AB 也可逆,并且 AB -1B-1A-1 AB 不肯定可逆,而且即使AB 可逆,一般 AB-1 A-1B-1 AA-1EAA-1E1 AA-11 -1 A1A例题：课本 P58 例 2.3.7、作业 P7 第 1 题（6）分块对角矩阵的可逆性：课本 P57（7）由方阵等式求逆矩阵： 课本 P58 例 2.3.6（8）单位矩阵、全部初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的,即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩

19、阵,而单位矩阵的行列式 =1 0 可逆,所以初等矩阵可逆）（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵（10）任一可逆方阵都可以通过如干次初等行变换化成单位矩阵（11）方阵 A 可逆的充要条件是： A 可以表示为如干个初等矩阵的乘积（证明：课本 P67）（12）利用初等行变换求逆矩阵：A | E 初等行变换 E | A-1（例题：课本 P68、课本 P71）（13）形如 AXB 的矩阵方程,当方阵A 可逆时,有 A-1 AXA-1B,即 XA-1B. 此时有：A|B初等行变换E|X矩阵方程的 例题：课本 P35、课本 P69、课本 P41 第 6 大题、课本 P56、课本 P58、课本 P59 第 3

20、大题、课本 P60 第 5 大题、课本 P60 第 7 大题、课本 P71 第 3 大题矩阵方程运算中易犯的错误：17、充分性与必要性的证明题（1）必要性：由结论推出条件（2）充分性：由条件推出结论课本 P56“ 留意不能写成 ”例题：课本 P41 第 8 大题、作业 P5 第 5 大题18、相伴矩阵（1）定义： 课本 P52 定义 2.3.2（2）设 A 为 n 阶方阵（ n2）,就 AA *A *A A En（证明详见课本 P53-54）（3）性质：（留意相伴矩阵是方阵）学习资料学习资料收集于网络,仅供参考 A * A A1 kA * kA kA-1 k n A 1 A-1 k n 1 A

21、 A-1 k n-1A *（k 0）k k |A *| | A A1 | A n | A1| A n1 （由于存在 A1,所以 A 0 ）A n-1A A * * A A1 * | A A1 | A A11 A n | A1|1 A11 AA n 1 1 A A n-2A （由于 AA1 E,所以 A1的逆矩阵是 A,即 A11 ）A A AB *B *A * A *-1A-1 *AA（4）例题： 课本 P53、课本 P55 、课本 P58、课本 P60 第 6 大题、作业 P7 第 2 题、作业 P8 全部19、矩阵的标准形：（1）定义： 课本 P61-62（2）任何一个非零矩阵都可以通过如

22、干次初等变换化成标准形20、矩阵的秩：（1）定义： 课本 P63（2）性质：设 A 是 m n 的矩阵, B 是 p q 的矩阵,就 如 k 是非零数,就 R kAR A R AR A T 等价矩阵有相同的秩,即如AB,就 R AR B 0R Am nminm ,n R ABminRA ,RB 设 A 与 B 都是 m n 矩阵,就 R ABR AR B （3）n 阶方阵 A 可逆的充要条件是： A 的秩等于其阶数,即 R An （4）方阵 A 可逆的充要条件是： A 可以表示为如干个初等矩阵的乘积； （证明： P67）（5）设 A 是 m n 矩阵,P、Q 分别是 m 阶与 n 阶可逆方阵,

23、就 R AR PAR AQR PAQ 学习资料学习资料收集于网络,仅供参考（6）例题：课本 P64、课本 P66、课本 P71、作业 P7 第 3 题、作业 P9 全部21、矩阵的秩的一些定理、推论线代老师说这部分的内容做明白即可；详见课本 P7022、线性方程组概念线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组；线性方程组经过初等变换后不转变方程组的解；23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）（1）定义： 课本 P81（2）方程组的解集、方程组的通解、同解方程组：课本 P81（3）系数矩阵 A、增广矩阵 A 、矩阵式方程： 课本 P82（4）冲突方程组（方程组无解） ：课本 P85

24、 例题（5）增广矩阵的最简阶梯形：课本 P87（6）系数矩阵的最简阶梯形：课本 P87 （7）课本 P87 下面有注明：交换列只是交换两个未知量的位置,不转变方程组的解；为了方便表达,在解方程组时不用交换列；（8）克莱姆法就：初步认知：a11x1a12x2a13x3b1a 11a12a 13已知三元线性方程组a21x1a22x2a23x3b2,其系数行列式Da21a22a23. a31x1a32x2a33x3b3a31a32a33当 D 0 时,其解为： x1D 1 ,x2DD 2 ,x3DD 3 . Db1b1a12a13a11b 1a13a11a12（其中 D1b2a22a23,D2a21

25、b2a23,D3a21a22b2）（Dn 以此类推）b3a32a33a31b 3a33a31a32b3定义： 课本 P15使用的两个前提条件： 课本 P18例题： 课本 P3、课本 P16-17、课本 P18、作业 P3 第 7 题学习资料学习资料收集于网络,仅供参考（9）解非齐次线性方程组 （方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行变换）例题：课本 P26、课本 P42、课本 P82、课本 P84、课本 P85、课本 P86 第 1 大题、课本 P88、课本 P91、作业 P10 第 1 题（10）解齐次线性方程组例题：课本 P17、课本 P18、课本 P85、课本 P86、课本 P

26、90、课本P91、作业 P1 第 5 题、作业 P10 第 2 题（11）n 元非齐次线性方程组 AXb 的解的情形：（R A 不行能R A ）R A R A 无解 n 有无穷多个解R A R A 有解 n 有唯独解特殊地,当 A 是 A 0 有唯独解n 阶方阵时,可 R A R A 无解由行列式来判定 R A R A 有解 当 A 0 有无穷多个解例题：课本 P86 第 2 大题、课本 P88、课本 P92、作业 P11 第三题（12）n 元齐次线性方程组 AXO 的解的情形：（只有零解和非零解两种情形,有唯独解的充要条件是只有零解,有无穷多个解的充要条件是有非零解）R A n 只有零解（有

27、唯独解,为 0）R A n 有非零解（有无穷多个解）特殊地,当 A 是 n 阶方阵 A 0 只有零解（有唯独解,为 0）时,可由行列式来判定 A 0 有非零解（有无穷多个解）例题：课本 P24、课本 P90-91、作业 P11 全部24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念详见课本 P92-93 将列向量组的重量排成矩阵运算时,运算过程中只做行变换,不做列变换；学习资料学习资料收集于网络,仅供参考初等行变换与初等行列变换的使用情形：矩阵、阵中用；（行列式的性质包括行与列的变换）手写零向量时不必加箭头；25、线性方程组的向量形式 详见课本 P93 26、线性相关 与 线性无关 的概念 详见课本

28、P93-94 线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩例题：课本 P101 第 6 大题 、作业 P14 第五大题27、向量个数大于向量维数的向量组 必定线性相关线代老师课上提到的结论；28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩 这三者的关系及其例题详见课本 P94 定理 3.3.1、定理 3.3.2 例题：课本 P94-95 例 3.3.2、课本 P101 第 3 大题、课 小题、22 本 P101 第 5 大题、作业 P12 第 3作业 P12 其次大题、作业P13 第三大题、作业P13 第四大题29、线性表示 与 线性组合 的概念 详见课本 P95 30、线性表示；非齐次线性

29、方程组的解；矩阵的秩 详见课本 P95-96 定理 3.3.3 例题：课本 P95-96 例 3.3.4 31、线性相关（无关）与线性表示的 3 个定理这三者的关系其例题详见课本 P96 定理 3.3.4、课本 P97 定理 3.3.5、课本 P98 定理 3.3.6 32、最大线性无关组与向量组的秩学习资料学习资料收集于网络,仅供参考 详见课本 P98-100 定义 3.3.5、定义 3.3.6、定 3.3.7 单位列向量, 即“ 只有一个元素为1,且其余元素都为 0” 的一列向量 （求最大线性无关组用）例题：课本 P100 例 3.3.5、课本 P101 第 4 大题、作业 P14 第六大

30、题33、线性方程组解的结构看此内容之前,最好先复习下“n 元非齐次线性方程组AXb 的解的情形” 与“n 元齐次线性方程组 AXO 的解的情形” ；（1）n 元齐次线性方程组 AXO 解的结构 定理 3.4.1：详见课本 P101-102 定义 3.4.1（并懂得“ 基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”）：详见课本 P102 定理 3.4.2：详见课本 P102 解题步骤（“ 注” 为补充说明）（以 课本 P104 例 3.4.1 为例）：（I）A 10274011310000000000注：往“ 行最简形矩阵” 方向转化（由于在解方程组时不用列变换,所以一般没法真正转化成行最简形矩阵,所以说“ 往 方向转化”）；x 12x 37x 44x 574（II）得到同解方程组x 2x 33x 4x5x12x37x 44x 50注：由x 2x 33x 4x50得到同解方程组2 131（III ） 此方程组的一组解向量为：1 1,2 0,3 00 0注：在草稿纸上写成以下形式,其中未写出的系数有的是10011 有的是 0,一看便知学习资料学习资料收集于网络,仅供参考x 12 x 3 7 x 4 4 x 5x 2x 3 3 x 4 x 5x 3x 3x 4x 4x 5x 5（IV）明显 1 ,2 ,3线性无关；注：依据 课本 P93-94 定义 3.3.3 得出