2023届高三数学一轮复习课时过关检测(56)圆锥曲线中的证明、探索性问题

1、课时过关检测(五十六) 圆锥曲线中的证明、探索性问题1已知F1，F2分别为椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点，焦距为2，过F2作斜率存在且不为零的直线l交C于A，B两点，且F1AB的周长为8(1)求椭圆C的方程；(2)已知弦AB的垂直平分线l交x轴于点P，求证：|AB|4|PF2|解：(1)由焦距为2，即2c2，得c1，结合椭圆的定义知：F1AB的周长4a8，得a2，b2a2c23，即椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1(2)证明：设直线l的方程为xmy1，m0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq blcrc (avs4a

2、lco1(xmy1，,f(x2,4)f(y2,3)1，)得(3m24)y26my90，0恒成立，y1y2eq f(6m,3m24)，y1y2eq f(9,3m24)，则x1x2m(y1y2)2eq f(8,3m24)，AB的中点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)，f(y1y2,2)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3m24)，f(3m,3m24)，线段BA的垂直平分线l的方程为ymeq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,3m24)eq f(3m,3m24)，即ymxeq f(m,3m24)，令y0，得xeq f(1,3m24)，xPe

3、q f(1,3m24)，|PF2|1xP|eq f(3m23,3m24)eq f(3m21,3m24)，而|AB|eq r(1m2)|y1y2|eq r(1m2)eq r(y1y224y1y2)eq f(r(1m2)12r(1m2),3m24)eq f(121m2,3m24)，eq f(|AB|,|PF2|)eq f(f(12m21,3m24),f(31m2,3m24)eq f(12,3)4，即|AB|4|PF2|2设动点P与定点F(eq r(3)，0)的距离和P到定直线l：xeq f(4r(3),3)的距离的比是eq f(r(3),2)(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹为曲线N，

4、不过原点O且斜率为eq f(1,2)的直线l与曲线N交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与曲线N交于C，D两点，证明：A，B，C，D四点共圆解：(1)设P(x，y)，因为动点P与定点F(eq r(3)，0)的距离和P到定直线l：xeq f(4r(3),3)的距离的比是eq f(r(3),2)，所以eq f(r(xr(3)2y2),avs4al(blc|rc|(avs4alco1(xf(4r(3),3)eq f(r(3),2)，整理化简得eq f(x2,4)y21所以动点P的轨迹方程为eq f(x2,4)y21(2)证明：设直线l的方程为yeq f(1,2)xm(m0)，A(x1，

5、y1)，B(x2，y2)，由方程组eq blcrc (avs4alco1(f(x2,4)y21，,yf(1,2)xm，)得x22mx2m220，方程的判别式为4(2m2)，由0，即2m20，解得eq r(2)meq r(2)由得x1x22m，x1x22m22所以M点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(m，f(m,2)，直线OM方程为yeq f(1,2)x，假设点C在第二象限，由方程组eq blcrc (avs4alco1(f(x2,4)y21，,yf(1,2)x，)解得Ceq blc(rc)(avs4alco1(r(2)，f(r(2),2)，Deq blc(rc)(avs4alco

6、1(r(2)，f(r(2),2)所以|MC|MD|eq f(r(5),2)(meq r(2)eq f(r(5),2)(eq r(2)m)eq f(5,4)(2m2)又|MA|MB|eq f(1,4)|AB|2eq f(1,4)(x1x2)2(y1y2)2eq f(5,16)(x1x2)24x1x2eq f(5,16)4m24(2m22)eq f(5,4)(2m2)所以|MA|MB|MC|MD|所以A，B，C，D四点共圆3已知双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足eq o(PF1,sup7()

7、eq o(PF2,sup7()0，|PF1|PF2|6(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线l交双曲线于A，B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m,0)，使得eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由解：(1)由eeq f(c,a)2得c2a，beq r(c2a2)eq r(3)a，eq o(PF1,sup7()eq o(PF2,sup7()0，PF1PF2，在RtF1PF2中，由|PF1|PF2|2a得：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，代入|PF1|2|PF2|24c2，|PF1|PF2|6得：

8、4c2124a2，解得b23，a21，双曲线方程为x2eq f(y2,3)1(2)当l斜率为0时，l：y0，此时A(1,0)，B(1,0)，由Q(m,0)得eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()m21；当l斜率不为0时，设l：xty2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq blcrc (avs4alco1(xty2，,3x2y23，)得(3t21)y212ty90，则36t2360，y1y2eq f(12t,3t21)，y1y2eq f(9,3t21)，eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2

9、(ty12m)(ty22m)y1y2(t21)y1y2(2m)t(y1y2)(2m)2(t21)eq f(9,3t21)(2m)teq f(12t,3t21)(2m)2，令eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()m21，即9(t21)12t2(2m)(4m5)(3t21)，化简得m10，解得m1，则Q(1,0)，此时eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()0综上所述，存在m1，使得eq o(QA,sup7()eq o(QB,sup7()04已知抛物线D的顶点是椭圆eq f(x2,4)eq f(y2,3)1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合(1)求抛物线D的方程；(

10、2)已知动直线l过点P(4,0)，交抛物线D于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由解：(1)由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，由椭圆eq f(x2,4)eq f(y2,3)1知，c2a2b2431，所以c1，抛物线的焦点为(1,0)，eq f(p,2)1，即p2，抛物线D的方程为y24x(2)设存在直线m：xa满足题意，A(x1，y1)，则圆心Meq blc(rc)(avs4alco1(f(x14,2)，f(y1,2)，过M作直线xa的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得|EG|2|MG|2|ME|2, 即|EG|2|MA|2|ME|2eq f(x142yoal(2,1),4)e