线性空间的性质

1、学号：20115034038信潺的懿孝盼学年论文（本科）学 院专 业信息与计算科学年 级2011 级姓 名魏 云论文题目线性空间的性质指导教师 韩英波 职称 副教授成 绩2013年3月16日学年论文成绩评定表 TOC o 1-5 h z 摘要1关键字1Abstract1Key words1前言11线性空间的概念2 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 2线性空间的相关理论32.1线性空间的一些简单性质32.2向量的线性关系32.3基、维数、坐标6 HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 3两个特殊的子空间

2、73.1欧几里得空间的定义与性质73.2酉空间的介绍8 HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 4线性空间的同构84.1同构映射与线性空间同构的定义8104.2同构映射的性质9 参考文献线性空间的性质摘要：本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念，然后归纳总结了线 性空间的一些相关性质，包括线性空间的维数、基及坐标；同构映射以及性质等， 还包括了向量的线性关系，同时介绍了一些特殊的线性空间，以及它们的简单性质.关键词：线性空间；基；维数；同构The properties of linear vector spaceAbstract： In th

3、esis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and jud

4、gments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties.Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism前言：线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象， 它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代 矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和 工程技术领域中都有广泛的应用.

5、下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关 系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题.1.线性空间的概念定义：设V是非空集合，F是某一个数域：V上定义了一个加法运算(也就是说， 给出了一个对应法则，按照这个法则，V中任意两个元素a与p，在V中都有一个 确定的元素Y与只对应，称为a与p的和，记法y = a + p)，同时也定义了一个用F 上的数乘以V中元素，乘积保持为V中元素的数乘运算(也就是说，给出了这样 一个对应法则，对于F上的任意一个数人与V中任意一个元素a，按照这个法则， V中总有一个确定的元素8与之对应，称为人乘a的数乘积，记法8 =人a)有关 这两个运算还满足以下八条运

6、算律：设 a, p, y g V,人,g Fa + p = p+a；(a + p)+y =a + (p+y);V中存在零元素，记它为0，对任何V中元素a，都有a +0= a成立；对V中的任何元素a，V中一定还存在a的负元素，记为-a，使得a + (-a) =0；1 a = a ;人(pa) = X(pa)；(X + p)a=Xa + pa；X (a + p) = Xa + Xp.这时便称V是数域F上的一个线性空间.注：实数域R上的线性空间称为是线性空间；复数域C上的线性空间称为复线性 空间.2线性空间的相关理论2.1线性空间的一些简单性质（1）零元素唯一；（2）a的负元素唯一；（3）ka =

7、0 o k = 0 或 a = 0 ；（4）- （-a） = a ；（5）（ka） = （k ）a= k （-a）;（6）k（a-p） = ka kp;（7）Va,p e V,存在唯一的y e V,使得a+p =y.2.2向量的线性关系2.2.1线性组合与线性表示（1）设a,., a是线性空间V中的向量组，k，,k e F,称1n1nka + k a . + k a1 12 2n n为a.,an的一个线性组合；（2）零向量可由任一向量组线性表示；（3）一个向量组中的每一个向量都可由这个向量组线性表示；（4）如果向量a可由p，,p线性表示，而每个p 乂可由a,., a线性表示，则a1ni1n可由

8、,.,a线性表示.2.2.2线性相关与线性无关设,.,气 是线性空间V中的向量组，若有F中不全为0的数,.,kn，使 得ka + k a . + k a =0，1 12 2n n则称a，,a线性相关；否则，称a，,a线性无关，即若1n1nka + k a . + k a =0，1122nn则 k = k =. = k = 0.若气,.,气中有一零向量，则此向量必线性相关.单个零向量线性相关，一个非零向量线性无关.Fn的m个向量a=(七,气，,a(i = 1,.,m)线性相关的充要条件是其次线性方程AX=0有非零解，其中A= (a ) 即r(A) 2 ）线性相关的充要条件是其中某向量是其余向量的

9、线性组合.（10）设A g E，则对A施行初等行变换不改变A的列向量线性关系.2.2.3向量组的等价（1）I和II是线性空间V中的两个向量组，若I的每个向量都可由II线性表示，II 中的每个向量都可由I线性表出，即I与II可以相互线性表出，就说I与II等价.（2）向量组的等价关系具有反身性、传递性和对称性.（3）（Steinitz替换定理）设向量组（I）:a1,气,.,a线性无关，并且可由向量 组（II）： P1,.,P线性表示，则（i）i s，则a ,a，,a线性相12m1s12m关.推论2等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.2.2.4极大线性无关组（1）向量组a,.,a中的部分向量P

10、，,P称为一个极大线性无关组（简称为极1n1r大无关组），如果（i）中,*线性无关；（ii）a,.,a中的任一向量都可由P ,., P线性表示.1n1r（2）每一个不全由零向量组成的向量组都有极大无关组.（3）等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别地，一个向量组的任意 两个极大无关组都含有相同个数的向量.（4）一个向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩.（5）秩为r的向量组中的任何r个线性无关的向量为其一极大无关组，并且任何 两个极大无关组都等价.（6）两个向量组等价必等秩，但反之不真.（7）设两个向量组a,., a与P，P的秩都为r，并且a，,a可由P，P线1S 1t1S1

11、t性表示，则这两个向量组等价.2.3基、维数、坐标定义：数域F上的线性空间V中的向量组a1,a2,.,气称为V的一个基，如果（1）aa2,.,a线性无关；（2）Va e V，a可由aa2,.,a线性表示.V的一个基所含向量的个数称为V的维数，记为dim V.注：（1）线性空间V的一个基实际上就是V中全体向量的一个极大无关组.（2）基向量是有序的，如果调换基中向量的次序，就会得到V中的另一个基.（3）若找到V中的一个基，则称V为有限维的；否则，称为无限维的.定义：设V是数域F上的n维线性空间，气,气,.,气为V的一个基，对Vae V有以二 ka + k a +. + k a ,1 12 2n n

12、称（k ,k ,.,k）为a在a ,a，,a下的坐标，其中12 n12nk e F, i = 1,., n .坐标有时也可以写成列向量的形式.两个特殊的线性空间3.1欧几里得空间的定义与性质.3.1.1定义：设V是实数域R上的线性空间，对于V中任二向量x与y，按某规则定义一个实数，用（x,y）表示.则称该实数为x与y的内积，它满足下列四个条件：（1）交换律(x,y)=(y,x);(2)分配律(x,y+z)=(x,y) + (x,z);(3)其次性(kx,y)=k(x,y), Vk e R（4）非负性（x,x） 0,当且仅当 x=0时 才有，（x,x）=0则称V为欧几里得空间，简称欧式空间或实内

13、积空间.3.1.2基本性质：(1)(x,ky)=k(x,y);(x,0) = (0,x)=0;（3） （E& x ,E门 y ） = &门（x , y ）i i i ii j i ji =1j=1i, j=13.2酉空间介绍定义：设V是负数域C上的线性空间，对于V中任意两个向量x,y,按照规则有一复数（%y）与之对应，并称其为内积，它满足下列四个条件（1）交换律（x,y）= （y,x）这里（y,x）是（x,y）的共轭复数；(2)分配律 (x,y+z)=(x,y) + (x,z);(3)其次性(kx,y)=k(x,y), Vk g C ；（4）非负性（x,x） 0,当且仅当x=0时才有，实数（x

14、,x）=0则称V为一酉空间（或酉交空间，复内积空间）.线性空间的同构4.1同构映射与线性空间同构的定义定义1设V,匕是数域F上的两个线性空间，若V到匕有一个双射b满足（1）b（a + P） =b（以）=b（P）;（2）b （ka） = kb （a）,其中a, P为V中的任意向量，k为F中的任意数，则称b为V到V的一个同构映射.1若V与V之间有一个同构映射，则称V与V同构，记为V兰V .1 1 1定义：设V与V都是欧式空间，若V与V存在同构映射b，并且Va, Pg V有(b (以)q (p)=(以，p),则称欧式空间V与V同构.1注：若b为由V与V的同构映射，则称V有一个自同构.4.2同构映射的

15、性质 设b为V到V的一个同构映射，则1(1)b (0) = 0,b (-a) = b (以)；(2)b(ka + k a +. + k a ) = kb(a ) +. + k b(a )；112 2r r 11r r（3）V中的向量组a1，a2,.,a线性相关的充要条件是b（%）,.（a,）线性相关.（4）b-1是V到V的一个同构映射;1（5）数域F上的两个有限维线性空间V，V同构的充要条件是它们的维数相同;1（6）若b : V r V,b : V r V都是同构映射，则112122气：V r匕也是同构映射，并且(b b )-1 =b -1b -1;（7）同构的线性空间具有反身性、对称性和传递性，因而数域F上的任意两个n 维线性空间都同构；（8）V与V是两个有限维欧式空间，则V与V同构当且仅当 1212dimV =dimV .参考文献：杨茂信，陈璞华,庚镜波.线性代数（第