《5.2三角函数的概念》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

1、 【新教材】5.2.1三角函数的概念教学设计（人教A版）教材分析三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向

2、量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。教学目标与核心希兼课程目标.借助单位圆理解任意角三角函数 （正弦、余弦、正切）的定义.掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号.掌握公式一并会应用.数学学科素养.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；.数学运算：诱导公式一的运用 .教学重难点重点：借助单位圆理解任意角三角函数 （正弦、余弦、正切）的定义；掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义

3、.课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题.任意角三角函数的定义？.任意角三角函数在各象限的符号？.诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组

4、内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究.单位圆在直角坐标系中，我们称以原点。为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么:(2)结论y叫做a的正弦,记作sin a,即sin a= y;X叫做a的余弦,记作cos a,即COS a= X；y叫做a的正切,记作tan a,即tan a= (xw 0)XX、总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将 它们统称为三角函数.思考：若已知a的终边上任意一点 P的坐标是(x, y),则其三角函数定义

5、为？在平面直角坐标系中，设a的终边上任意一点P的坐标是(x, y),它与原点 O的距离是r(r =W+y2 0).三角函数定义定义域名称sin a?R正弦cos a?R余弦tan a?a a#兀+ 2, k C Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin aRCOS aRtan axC R x次什 2, kC Z.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：图 1-2-2(2) 口诀： 全正，二正弦、三正切，四余弦5.诱导公式一诱导公式一四、典例分析、举一反三题型一三角函数的定义及应用例1在平面直角坐标系中，角a的终边在直线

6、y=2x上，求sin q cosetan的值.【答案】当a的终边在第二象限时，sin a=25，,cos ,= 5, tan a= 2.当a的终边在第四象限时，sin a= 5, cos a= -5, tan a= 2.【解析】当a的终边在第二象限时，在a终边上取一点P(-1, 2),则r=y _1 2 + 22 =/5所以sincos a=一洋匕n ”=等一2.当a的终边在第四象限时,在a终边上取一点P (1 2),则=、2+-2 2 = i 5, , 一 2所以sin a5tan2a= - = 2.1解题技巧：(已知角 a终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法)(1)先利用直线与单位圆相交

7、，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角 函数值.(2)在a的终边上任选一点P(x, y),设P到原点的距离为r(r0)则 sin a= y, cos a= x.当已知 arr的终边上一点求 a的三角函数值时，用该方法更方便.跟踪训练1.已知角 。终边上一点 P(x,3)(xw 0)且 cos 9= 0 x,求 sin 0, tan0.【答案】当 x=1 时，sin 0= 3 100, tan 0= 3;当 x=1 时，此时 sin 0= 3；0, tan9= 3.【解析】由题意知r=|OP|= x2+9,由三角函数定义得八 xcos 0=-=r又 ; c0s e=季,xVT

8、02+9 = 10 x. xWQ x= 1.当 x=1 时，P(1,3),此时 sin 0=3 10 , 3 。丁 tan 9=1=3.当 x=- 1 时，P(-1,3),此时 sin 0=-7-1 2+323 10 ,八 310 , tan = -3.题型二三角函数值的符号例2(1)若a是第四象限角，则点 P(cos a, tan a)在第 象限.(2)判断下列各式的符号： sin 183 Stan 个 COS 5.【答案】(1)四；(2)sin 183 0 0.【解析】(1); “是第四象限角，cos a0, tan必0,，点P(cos a, tan a)在第四象限.(2) Igo 183

9、 270/- sin 183 ;0万彳2 . tan彳0；小 3兀; 万50.解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略)(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号 跟踪训练二1 .确定下列式子的符号(1) tan 108co s 30【答案】 tan 10811兀 tanT,红 sin -3cos 305);(2)(3)tan 1205 兀 11 Ttcos tan6-2兀 sin 230；- sin 269(3) tan 1

10、20 sin 2690.【解析】(1)= 108是第二象PM角，tan 108之0.305 是第四象限角，. cos 305 0.从而 tan 108 - cos 3050:.等是第二象限角，詈昊第四象限角，豹第二象限角，6635jr11 兀cos 55V 0, tan112 0, sin 2jt0.从而6-0.663sin 2.120 是第二象限角，tan 120 / 0, ; 269 是第三象冈艮角，二. sin 269 /0.从而 tan 120 sin 269 0.题型三 诱导公式一的应用例 3 求值：(1)tan 405 二 sin 450 ; cos 750 ;7jt(2)sin

11、3 cos 23兀15 Tt 13 Tt+ tan - -4- cos-3.【答案】(1)坐;(2) 4.【解析】(1)原式=tan(360 + 45 sin(360 4 90 cos(2 X 36叶 30 )=tan 45 sin 90 4 cos 30 = 1 1 + -3=近 TOC o 1-5 h z 22 .兀/ 兀/ 兀兀(2)原式=sin 2 兀+ 3 cos 4兀+ 6 +tan 4兀+ 4 , col 兀+ 3.兀 1 ，兀 兀 3、/、3 , . 15=sin3cos6 + tan4cos= 2- x2- + 1 港=4.解题技巧：(利用诱导公式一进行化简求值的步骤)(1)

12、定形：将已知的任意角写成2kTt+a的形式，其中 氐0, 2 nt) kCZ.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角”的某个三角函数值.(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.跟踪训练三1.化简下列各式：(1)a2sin( 1 350。+)b2tan 405 - 2abcos( 1 080 ;)11 兀 12(2)sin 一 6一 十。9 兀, tan 4 兀.1 TOC o 1-5 h z 【答案】(1) (a-b)2 ；(2)2.【解析】(1)原式=a2sin(4X 360: 90 / b2tan(360 平 45 4 2abcos(3 X 360 )=a2sin 90 平 b2tan 45 2abcos 0 =a2+ b22ab = (a b)2.1112(2)sin 6 兀+ cos-y 兀 tan 4 兀=sin 2兀+? +cos1 兀 t