立体几何求法向量

1、一、平面法向量的概念向量与平面垂直 如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面a ,则称这个向量垂 直于平面a，记作ala。平面的法向量 如果ala，那么向量a叫做平面a的法向量。一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题。求解平面法向量的常用方法如下：1.方程法：利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程， 要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，师生容易接受，但运算稍繁，要使法 向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。. .一 1 丁一 一 T 匕 一T一 八 例如;已知

2、向量a、b是平面a内的两个不共线的向量，a = U,2,3九b = (2,1,-1)，求平面a的一个法向量n的坐标。解：设n = 3,y,z)，则由 n l an - a = 0 口x + 2y + 3z = 0- 即5x =-37y =-3n - b = 0I 2 x + y z = 0I x + 3 y 二3 不妨设Z T，得| 2x+ y = 12 .大学行列式求法向量a = (xi, yzi)b = (% y2,迎其中行列式yiy2z1z22 Z1，yzxzxy11 ,11,11yzxzxy222222 a x b =(法向量取与向量a x b共线的即可。)，a = (1, 2, 3)

3、b = (2, 1, 1)用这一方法解答上面的例如，先把平面内的两个向量坐标对齐写蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算2x (1) 1 x 3 = -5就是向量axb的x坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算x (1) 2 x 3 = -7，取-7的相反数7作为axb的y坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算if *1 x 1 2x 2 = 3作为z坐标，所以a x b (5,7,3)，可以取n (5,7,3)，它与前面方- ，5 7 一、程法求得的n = G, ,1）是共线向量。行列式求法向量属于高等数学中空间解析几何的内容，学生难以在现有的知识基础上 真正

4、理解，但由于这是一个死板的公式，操作步骤清晰，学生容易记住，开始觉得不习惯， 多练几次后，具有速度快、结果准的优点，不妨一试。二、平面法向量的三个常用公式公式1设向量n。是平面a的单位法向量，点B是平面a外一定点，点A是a内任意一点，则点B到平面a的距离d = |AB-n0。证明：如图1，过B作BO垂直平面a于O，在平面a上任取一点A，则ZABO为AB与n的夹在 RtAABO 中，|B| = d，得妇阿 icos i=iabi JAAm=网|n| =网-n0角，设为e。利用公式1求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证 明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。公

5、式2设AB是平面a的斜线，BO是平面a的垂线，AB与平面a所成的角ZBAO =e ,AB - n向量AB与n的夹角ZABO =W （见图1），则sine= |cosw| = 方 “。（证略）公式3如图2,设向量七与n2分别是二面角a-1-P中的两个半平面a，p的法向量，则向量n与n的夹角n ,n 的大小就是 1212所求二面角或其补角的大小。（证略）由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量勺与n2的夹角可能等于所求二面角 的平面角，也可能等于二面角的平面角的补角，如何来确定两法向量的夹角是二面角的平 面角还是其补角呢？ 一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二 用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱l按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合 时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，若方向相反，则互补。以上介绍了平面的法向量及其几个公式，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利 用平面法向量解题，方法简便，