精选千题百炼-高考数学100个热点问题(一)：第12炼-复合函数零点问题

1、千题百炼高考数学100个热点问题(一)：第12炼-复合函数零点问题第二章 第12炼 复合函数零点问题 函数及其性质第12炼 复合函数零点问题一、根底知识：1、复合函数定义：设，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为 2、复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外的顺序，一层层求出函数值。例如：，计算解： 3、函数值求自变量的步骤：假设函数值求的解，那么遵循“由外到内的顺序，一层层拆解直到求出的值。例如：，假设，求解：令，那么解得当，那么当，那么综上所述：由上例可得，要想求出的根，那么需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决

2、复合函数零点问题，先回忆零点的定义：4、函数的零点：设的定义域为，假设存在，使得，那么称为的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数 6、求解复合函数零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像2假设零点个数求参数的范围，那么先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为的函数

3、 ，假设关于的方程由3个不同的解，那么_思路：先作出的图像如图：观察可发现对于任意的，满足的的个数分别为2个和3个，有3个解，从而可得必为 的根，而另一根为或者是负数。所以，可解得：，所以答案：5 例2：关于的方程的不相同实根的个数是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路：可将视为一个整体，即，那么方程变为可解得：或，那么只需作出的图像，然后统计与与的交点总数即可，共有5个答案：C例3：函数，关于的方程恰有6个不同实数解，那么的取值范围是 思路：所解方程可视为，故考虑作出的图像：， 那么的图像如图，由图像可知，假设有6个不同实数解，那么必有，所以，解得 答案：例4：定义在上的奇函数，当时

4、，那么关于的方程的实数根个数为 A. B. C. D. 思路：方程可解，得，只需统计与的交点个数即可。由奇函数可先做出的图像，时，那么的图像只需将的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：假设函数有极值点，且，那么关于的方程的不同实根的个数是 A3 B4 C5 D6思路：由极值点可得：为 的两根，观察到方程与结构完全相同，所以可得的两根为，其中，假设，可判断出是极大值点，是极小值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个；假设，可判断出是极小

5、值点，是极大值点。且，所以与有两个交点，而与有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点答案：A例6：函数，假设方程恰有七个不相同的实根，那么实数的取值范围是 A. B. C. D. 思路：考虑通过图像变换作出的图像如图，因为最多只能解出2个，假设要出七个根，那么，所以，解得：答案：B例7：函数，假设关于的方程恰有4个不相等的实数根，那么实数的取值范围是 A. B. C. D. 思路：，分析的图像以便于作图，时，从而在单调递增，在单调递减，且当，所以正半轴为水平渐近线；当时，所以在单调递减。由此作图，从图像可得，假设恰有4个不等实根，那么关于的方程中，从而将问题转化为根分布问题，设，那么的两根

6、，设，那么有，解得答案：C小炼有话说：此题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例8：函数，那么以下关于函数的零点个数判断正确的选项是 A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程的解的个数，先作出的图像，直线为过定点的一条直线，但需要对的符号进行分类讨论。当时，图像如下图，先拆外层可得，而有两个对应的，也有两个对应的，共计4个；当时，的图像如下图，先拆外层可得，且只有一个满足的

7、，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确答案：A例9：函数，那么方程为正实数的实数根最多有_个思路：先通过分析的性质以便于作图，从而在单增，在单减，且，为分段函数，作出每段图像即可，如下图，假设要实数根最多，那么要优先选取能对应较多的情况，由图像可得，当时，每个可对应3个。只需判断中，能在取得的值的个数即可，观察图像可得，当时，可以有2个，从而能够找到6个根，即最多的根的个数答案：6个例10：函数和在的图像如下，给出以下四个命题：1方程有且只有6个根2方程有且只有3个根3方程有且只有5个根4方程有且只有4个根那么正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数。1中可得，进而有2个对应的 ，有3个，有2个，总计7