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文档简介

1、第八章 分离变数法数理方程的一般情况：定解条件：分离变数法：(试探解) 本征值、本征方程、本征函数第八章 分离变数法两端固定弦的自由横振动问题。 边界条件(齐次)： 初始条件： 第八章 分离变数法例1：两端自由杆的纵振动边界条件： ( ) 初始条件：第八章 分离变数法解： 1)无边界条件时的解：2)引入边界条件：得到本征值第八章 分离变数法当k=0时，解为整个杆的整体平动： 一般解为：虽然是不同的边界条件，但都会产生本征方程，进而得出本征解的线性组合成为一般解。然后根据初始条件得出特解。第八章 分离变数法3)引入初始条件：第八章 分离变数法例2：杆的热传导问题（左端连等温热源，右端绝热）边界条

2、件：初始条件：第八章 分离变数法解：取试探解 ，有： ，其中k为常数。得：代入边界条件，有：得本征值第八章 分离变数法因此T(t)的本征函数为：通解为：第八章 分离变数法引入初始条件：根据函数正交性（傅里叶变换），得：得：第八章 分离变数法因此，定解为：不同形式的数理方程，解的形式是不同的，步骤是类似的。实际运用中，往往级数取前几项即可。第八章 分离变数法例3：求矩形散热片上的稳定温度分布。边界条件见图，四边界的温度分别为u0、u0、u0、U。第八章 分离变数法解：1. 简化，取温度零点为u0，即四边温度为0、0、0、U-u02. 取试探解 代入Laplace方程，得： ，其中k为常数。得：第

3、八章 分离变数法3. 根据x方向上的齐次边界条件确定本征值：得：因此，一般解为：第八章 分离变数法4. 根据y方向上的非齐次边界条件确定定解：做傅里叶变化，可以解出：第八章 分离变数法代入，得：第八章 分离变数法例4：导体圆柱周围的电场分布。边界条件：第八章 分离变数法解：由于边界是圆，因此宜采取极坐标。（否则边界条件无法分离变量） 极坐标下的拉普拉斯方程：1. 取试探解 ，代入上式，得： ，其中m为常数。第八章 分离变数法得 ，(m=0时解为 )2. 极坐标下有隐含齐次边界条件：代入解出k的本征值为m=0,1,2,(m为虚数时无解)第八章 分离变数法3. 解径向方程当m=0时，方程解为m不为0时，欧拉型方程的解为第八章 分离变数法因此方程的一般解为4. 代入圆柱上的齐次边界条件 ，本征解需要进行线性组合。第八章 分离变数法一般解为：5. 无穷远处的非齐次边界条件： 即与上式对照，可知只有D0、A1不为0。第八章 分离变数法习题：8、14(201)Q：一无限长圆柱形冰柱竖立在温度为

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