数学实验04-多元统计基本概念

1、多元统计分析简介多元统计分析：通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及解释这些变量内在的变化规律。一元统计分析一个随机变量的 统计规律多元统计分析多个随机变量之间的 相互依赖关系及内在统计规律性多元统计分析应用： 经济学、工业、农业、医学、教育学、生态学、地质学、社会学、考古学、环境学、气象、文学等许多领域多元统计分析主要内容：1、多元正态总体的参数估计和假设检验2、常用的处理多元数据的统计方法： 1）聚类分析 2）判别分析 3）主成分分析 4）因子分析 5）多重多元回归分析等等第一章多元统计中的基本概念第一节 基本概念第二节 多元正态分布第三节 多元统计中的常用分布第一

2、节基本概念 1.随机向量 Def1:将p个随机变量 的整体称为p维随机向量，记作 。分布函数离散型：分布律连续型：密度函数分布密度函数满足分布密度函数应满足的两个条件？ Def2:设 是p维随机向量，称由它的q（qp）个分量组成的子向量 的分布为 的边缘分布，相对的把 的分布称为联合分布。 边缘分布函数和边缘分布密度可由联合分布和联合密度确定。 Def3:若p个随机变量 的联合分布等于各自的边缘分布的乘积，则称 是相互独立的。 2.随机向量的数字特征 （1）数学期望其中，均值向量具有如下性质：（2）协方差矩阵 设 称为X的协差阵。 若X的协差阵存在，且每个分量的方差大于0，则称随机变量X的相关

3、阵为 ，其中为相关系数。 设标准离差阵为则有称X和Y的协差阵为：协差阵具有如下性质：（试证之）多元分析的任务分析各变量之间的关系，推断总体的性质为一维随机变量为多维随机变量(随机向量)3.多元总体 多元分析研究具有多个(如p个)属性(指标)的对象组成的总体-多元总体。 从总体中任意抽出一个对象(总体单元)，其p个属性的值为多元总体多维随机变量(随机向量)可能取值的全体。观测矩阵（随机）（样本资料阵）4.多元样本的相关概念从多元总体中随机抽取n个个体。i.i.d. 简单随机样本多元分析的 研究对象（1） 样本平均值样本平均值是n个样本点的重心（2） 样本离差阵样本均值和样本离差阵的矩阵表示：（3

4、） 样本协差阵（4） 样本相关阵 -样本相关系数非负定矩阵第二节多元正态分布1. 多元正态分布若随机向量 的分布密度函数为则称 服从p维正态分布。记作：其数学期望与协方差矩阵分别为： 其中 为对称正定矩阵， 特例1(一元正态分布)则 特例2 (二元正态分布)设则 2. 多元正态分布的常用性质分布？第三节 多元统计中的常用分布 在一元统计中，卡方分布、t分布和F分布在参数估计和假设检验中起着非常重要的作用。在多元统计中，他们分别发展为Wishart分布、Hotelling-T2分布和Wilks分布，在多元参数估计和假设检验中占有非常重要的地位。 1、Wishart分布（1） Wishart分布由

5、Wishart在1928年推导出来。（2） Wishart分布的性质2、Hotelling-T2分布（2） Hotelling-T2分布的性质3、Wilks分布多元正态总体下的假设检验问题。附 录 指标：定量；定性 类型： 间隔尺度：用连续的量来表示 ，如长度，重量等；若存在绝对零点，又称比例尺度； 有序尺度：没有明确的数量表示，只是划分一些等级，等级间有次序关系，如产品分上中下三等，有次序关系，但无数量表示。 名义尺度：既无数量表示，又无次序关系，如某物体有红黄白三种颜色，回答问卷中是与否等等。 一、 三种数据类型 二、 距离1. 距离的概念(描述样本间差异程度的量)2. 距离的定义 定义如

6、果第i号样本 和第j号样本 的函数 满足i) 当且仅当 时 ；ii) 对一切iii)则称 是一种广义距离。如果进一步还满足iv)则称 是一种距离。 3. 欧几里德距离(欧氏距离)欧氏距离的性质) 平移不变性 将每个坐标 加上一个常数 后，任何二点之间的距离保持不变。) 对正交变换的不变性) 如果将每个点的坐标都增加C倍，点间距离也增加C倍。缺点与测量单位有关，不同属性之间的差别等同看待。4. 马氏距离(Mahalanobis) 设X是原始数据矩阵，S是其协方差矩阵，则马氏距离定义为马氏距离的性质) 平移不变性) 对任意可逆线性变换的不变性 设 为可逆矩阵，若对任何一个点 做变换而得到一个新的点

7、 ，这个变换叫可逆线性变换。 由标准化数据和中心化数据计算出的两点间的马氏距离相同，且与测量单位无关。进一步，作可逆变换后仍旧不变。缺点夸大了变化微小的变量的作用。5. B模距离 设X是原始数据矩阵，B是一个正定矩阵，则B模距离定义为说明 时为欧氏距离， 时为马氏距离。 当各变量对区分样本有不同作用时，可以给各变量以不同权重。这时可取B为 B矩阵元素的作用-权重。(根据专业知识或用统计方法来确定。)特别，当q=1时，即为绝对距离：当q=无穷大时，即为 切比雪夫距离：7. 注释 可根据实际问题的要求，自己定义所需要的距离。 样本单元之间的差异大小还可以用相似系数来表示。6.明氏（Minkowski）距离当q=2时，即为 欧氏距离三、 相似系数1. 概述 如果第i