矩阵的初等变换与高斯消元法

1、3.1.1 矩阵的初等变换与初等矩阵一、矩阵的初等变换与初等矩阵二、矩阵的等价标准形三、用初等变换求矩阵的逆1定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换与初等矩阵2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)有限次初等变换前后的矩阵称为等价3定义对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵(1)初等对换矩阵( )i列j列行行4( )(2)初等倍乘矩阵i列行5( )(3)初等倍加矩阵i列j列行行6初等矩阵的转置仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。7例：计算8定理：9解：例：10定义二、矩阵的等价标准

2、形如果一个矩阵具有如下特征，则称为行阶梯形矩阵，简称梯矩阵(1)零行位于全部非零行的下方(如果有零行的话)(2)非零行的首非零元的列下标随其行下标的递增而严格递增(1) (2)=可划出一条阶梯线,线的下方全为零(2)=每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非零元11定义如果一个阶梯矩阵具有如下特征，则称为行简化梯矩阵(行最简形)(1)非零行的首非零元为1(2)非零行的首非零元所在的列的其他元均为012定理定理等价标准形13推论1定理对任意 矩阵A,存在m阶初等矩阵和n阶初等矩阵 使得 推论2n阶方阵A可逆的充要条件是A的等价标准行为n阶

3、方阵A可逆的充要条件是A可以表示成有限个初等矩阵的乘机14等号两边右乘如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。即，三、用初等变换求矩阵的逆15 解：例：16若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式等于0。结论：矩阵不可逆!求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂任何列变换.注：即初等行变换 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵17例：解：方法1：先求出 ，再计算 。方法2：直接求 。初等行变换183.1.2 高斯消元法19例求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程20解21用“回代”的方法求出解：未知量的个数依次减少梯

4、形方程组消元过程22于是解得23上述解方程组的方法称为消元法 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种线性方程组的初等变换（1）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍上述三种变换都是可逆的所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换24因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算记为矩阵方程组的增广矩阵25等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价26上例中的消元过程可表示为如下形式27回代过程行最简形梯形方程组28 定理对线性方程组AX=B,若将增广矩阵(A|B)用初等行变换化为(U|V),则AX=B和UX=V是同解方程组由此,求一个线性方程组的解,可先用初等行变换把其增广矩阵化为梯矩阵,由此可得到与原方程组同解的梯形方程组.以上方法就称为高斯消元法29举例P49例3.3，3.4301. 单位矩阵 初等矩阵.一次初等变换2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:小结：313. 利用初等变换求矩阵方程解的步骤是:（1）构造矩阵（2）对 实施初等行变换，将左部的A化为单位矩阵E后，右部的E即是所求方程的解32非齐次线性