休哈特控制图的种类与使用方法

1、统计过程控制（SPC）与休哈特控制图（二）第五章休哈特控制图一、特控制图的种类及其用途国标GB4091常规控制图是针对休哈特控制图的。根据该国标，常规休哈特控制图如表常规的休哈特控制图。表中计件值控制图与计点值控制图又统称计数值控制图。这些控制图各有各的用途,应根据所控制质量指标的情况和数据性质分别加以选择。常规的休哈特控制图表中的二项分布和泊松分布是离散数据场合的两种典型分布，它们超出3。界限的第I类错误的概率。当然未必恰巧等于正态分布3。界限的第I类错误的概率a=0.0027,但无论如何总是个相当小的概率。因此,可以应用与正态分布情况类似的论证,从而建立p、pn、c、u等控制图。常规的休哈

2、特控制图数据分布控制图简记计量值正态分布均值-极差控制图x一R控制图均值-标准差控制图x一R控制图中位数-极差控制图Xmed一R控制图单值-移动极差控制图xRs控制图计件值二项分布不合格品率控制图P控制图不合格品数控制图Pn控制图计点值泊松分布单位缺陷数控制图U控制图缺陷数控制图C控制图现在简单说明各个控制图的用途:x一R控制图。对于计量值数据而言这是最常用最基本的控制图。它用于控制对象为长度、重量、强度、纯度、时间和生产量等计量值的场合。x控制图主要用于观察分布的均值的变化,R控制图用于观察分布的分散情况或变异度的变化，而x一R图则将二者联合运用，用于观察分布的变化。x一s控制图与x一R图相

3、似，只是用标准差图（s图）代替极差图（R图）而已。极差计算简便，故R图得到广泛应用,但当样本大小n10或口，这时应用极差估计总体标准差。的效率减低，需要应用s图来代替R图。XMEDR控制图与x一R图也很相似，只是用中位数图（XMED图）代替均值图（x图）。所谓中位数即指在一组按大小顺序排列的数列中居中的数。例如,在以下数列中2、3、7、13、18,中位数为7。又如,在以下数列中2、3、7、9、13、18,共有偶数个数据。这时中位79数规定为中间两个数的均值。在本例即2=8。由于中位数的计算比均值简单，所以多用于现场需要把测定数据直接记入控制图进行控制的场合,这时为了简便,当然规定为奇数个数据。

4、x一Rs控制图。多用于下列场合:对每一个产品都进行检验，采用自动化检查和测量的场合;取样费时、昂贵的场合;以及如化工等过程，样品均匀，多抽样也无太大意义的场合。由于它不像前三种控制图那样能取得较多的信息，所以它判断过程变化的灵敏度?要差一些。P控制图。用于控制对象为不合格品率或合格品率等计数值质量指标的场合。这里需要注意的是，在根据多种检查项目总合起来确定不合格品率的情况，当控制图显示异常后难以找出异常的原因。因此，使用p图时应选择重要的检查项目作为判断不合格品的依据。常见的不良率有不合格品率、废品率、交货延迟率、缺勤率，邮电、铁道部门的各种差错率等等。Pn控制图。用于控制对象为不合格品数的场

5、合。设n为样本大小-户为不合格品率，则t为不合格品个数。所以取pn作为不合格品数控制图的简记记号。由于计算不合格品率需进行除法，比较麻烦，所以在样本大小相同的情况下，用此图比校方便。c控制图。用于控制一部机器，一个部件，一定的长度，一定的面积或任何一定的单位中所出现的缺陷数目。如布匹上的疵点数，铸件上的砂眼数，机器设备的缺陷数或故障次数，传票的误记数，每页印刷错误数，办公室的差错次数等等。&u控制图。当上述一定的单位，也即样品的大小保持不变时可以应用c控制图，而当样品的大小变化时则应换算为平均每单位的缺陷数后再使用u控制图。例如，在制造厚度为2mm的钢板的生产过程中，一批样品是2平方米的，下一

6、批样品是3平方米的。这时就都应换算为平均每平方米的缺陷数，然后再对它进行控制。二、应用控制图需要考虑的一些问题应用控制图需要考虑以下一些问题:控制图用于何处?原则上讲，对于任何过程，凡需要对质量进行控制管理的场合都可以应用控制图。但这里还要求:对于所确定的控制对象一质量指标应能够定量，这样才能应用计量值控制图。如果只有定性的描述而不能够定量，那就只能应用计数值控制图。所控制的过程必须具有重复性，即具有统计规律。对于只有一次性或少数几次的过程显然难于应用控制图进行控制。如何选择控制对象?在使用控制图时应选择能代表过程的主要质量指标作为控制对象。一个过程往往具有各种各样的特性，需要选择能够真正代表

7、过程情况的指标。例如，假定某产品在强度方面有问题，就应该选择强度作为控制对象。在电动机装配车间，如果对于电动机轴的尺寸要求很高,这就需要把机轴直径作为我们的控制对象。在电路板沉铜缸就要选择甲醛、Na0H、Cu2的浓度以及沉铜速率作为多指标统一进行控制。怎样选择控制图?选择控制图主要考虑下列几点:首先根据所控制质量指标的数据性质来进行品，如数据为连续值的应选择x一R、x一s、XMEDRs或xRs图;数据为计件值的应选择p或pn图,数据为计点值的应选择c或u图。其次，要确定过程中的异常因素是全部加以控制（全控）还是部分加以控制（选控），若为全控应采用休哈特图等;若为选控，应采用选控图,参见第七章（

8、一）;若为单指标可选择一元控制图,若为多指标则须选择多指标控制图,参见第七章（二）。最后,还需要考虑其他要求,如检出力大小,抽取样品、取得数据的难易和是否经济等等。例如要求检出力大可采用成组数据的控制图，如x一R图。如何分析控制图?如果在控制图中点子未出界,同时点子的排列也是随机的,则认为生产过程处于稳定状态或控制状态。，如果控制图点子出界或界内点排列非随机，就认为生产过程失控。对于应用控制图的方法还不够熟悉的工作人员来说，即使在控制图点子出界的场合，也首先应该从下列几方面进行检查:样品的取法是否随机，数字的读取是否正确，计算有无错误，描点有无差错，然后再来调查生产过程方面的原因，经验证明这点

9、十分重要。对于点子出界或违反其他准则的处理。若点子出界或界内点排列非随机，应执行第二章（五）的20个字，立即追查原因并采取措施防止它再次出现。应该强调指出，正是执行了第二章（五）的20个字，才能取得贯彻预防原则的作用。因此，若不执行这20个字，就不如不搞控制图。对于过程而言，控制图起着告警铃的作用，控制图点子出界就好比告警铃响，告诉现在是应该进行查找原因、采取措施、防止再犯的时刻了。虽然有些控制图，如x一R控制图等，积累长期经验后，根据x图与R图的点子出界情况，有时可以大致判断出是属于哪方面的异常因素造成的，但一般来说，控制图只起告警铃的作用，而不能告诉这种告警究竟是由什么异常因素造成的。要找

10、出造成异常的原因，除去根据生产和管理方面的技术与经验来解决外，应该强调指出，应用两种质量诊断理论和两种质量多元诊断理论来诊断的方法是十分重要的。有关内容参见第七章。控制图的重新制定。控制图是根据稳定状态下的条件（人员、设备、原材料、工艺方法、环境，即4M1E）来制定的。如果上述条件变化,如操作人员更换或通过学习操作水平显著提高,设备更新，采用新型原材料或其他原材料，改变工艺参数或采用新工艺，环境改变等，这时，控制图也必须重新加以制定。由于控制图是科学管理生产过程的重要依据，所以经过相当时间的使用后应重新抽取数据，进行计算，加以检验。控制图的保管问题。控制图的计算以及日常的记录都应作为技术资料加

11、以妥善保管。对于点子出界或界内点排列非随机以及当时处理的情况都应予以记录,因为这些都是以后出现异常时查找原因的重要参考资料。有了长期保存的记录,便能对该过程的质量水平有清楚的了解,这对于今后在产品设计和制定规格方面是十分有用的。三、x-R(均值-极差)控制图对于计量值数据，x一R(均值一极差)控制图是最常用、最重要的控制图，因为它具有下列优点:适用范围广。对于x图而言，计量值数据x服从正态分布是经常出现的。若x非正态分布,则当样本大小nW4或5时，根据中心极限定理，知道x近似正态分布。对于R图而言,通过在电子计算机上的统计模拟实验证实，只要总体分布不是太不对称的，R的分布没有大的变化。这就从理

12、论上说明了x一R图适用的范围广泛。灵敏度高。x图的统计量为均值x，反映在x上的偶然波动是随机的，通过均值的平均作用，这种偶然波动得到一定程度的抵消;而反映在x上的异常波动往往是在同一个方向的,它不会通过均值的平均作用抵消。因此，正图检出异常的能力高。至于R图的灵敏度则不如x图高。O2现在说明一下x一R图的统计基础，假定质量特性服从正态分布N(u,)，且卩，。均已知。若xl,x2,.,xn是大小为n的样本，则样本均值为x1+x2+.+xnx=n由于x服从正态分布N(卩,2/n),并且样本均值落入下列两个界限z一H_a/2x_卩_za/2(5.3_1a)oU+Za/2O=y+Za/2亦(5.3_1

13、b)间的概率为l_a。因此若卩与g已知，则式(5.3_la)与式(5.3Tb)可分别作为样本均值的控制图的上下控制界限。如前述,通常取Za/2=3,即采用3。控制界限。当然，即使x的分布是非正态的，但由于中心极限定理，上述结果也近似成立。在实际工作中，卩与。通常未知，这时就必须应用从稳态过程所取的预备样本的数据对它们进行估计。预备样本通常至少取25个(根据判稳准则(2)，最好至少取35个预备样本)。设取m个样本，每个样本包含n个观测值。样本大小n主要取决于合理分组的结构，抽样与检查的费用，参数估计的效率等因素,n通常取为4,5或6。令所取的m个样本的均值分别为xpx,.2.,x,则过程的卩的最

14、佳估计量为总均值x,即m(5.3-2)u=x=(x+x+.+x)/m12m于是x可作为x图的中心线。为了建立控制界限，需要估计过程的标准差。可以根据m个样本的极差或标准差来进行估计。应用极差进行估计的优点是极差计算简单，所以至今R图的应用较s图为广。现在讨论极差法。设xl,x2,.,xn为一大小为n的样本，则此样本的极差R为最大观测值Xmax与最小观测值Xmin之差，即R=Xmaxxmin(5.33)若样本取自正态总体，可以证明样本极差R与总体标准差o有下列关系:令W=R/g,可以证明E(W)=d2,为一与样本大小n有关的常数,于是,o的估计量为。=E(R)/d2。令m个样本的极差为Rl,R2

15、,.,Rm,则样本平均极差为R1+R2+.+RmR=m(5.3-4)故。的估计量为=E(R)/d2(5.3-5)若样本大小n较小，则用极差法估计总体方差与用样本方差去估计总体方差的效果是一样的。但当n较大，如n10或12,则由于极差没有考虑样本在Xmax与xmin之间的观测值的信息，故极差法的效率迅速降低。但在实际工作电x一R图一般取n=4,5或6,所以极差法是令人满意的。若取卩的估计量为x,o的估计量为E(R)/d2,则x图的控制线为=“L_=UCL=y+3、：nx+3d2nR=x+2CL=卩心xI(5.3-6)oj=i=LCL=g-，nx3d2nR=x2R式中(5.3-7)A2=3d2Jn

16、为一与样本大小n有关的常数，参见附录V计量值控制图系数表。由上述，已知样本极差R与过程标准差o有关,因此可以通过R来控制过程的变异度，这就是R图。R图的中心线即R=R。为了确定R图的控制界限，需要对进行估计。若质量特性服从正态分布，令W=R/g,可以证明ow=d3(d3为一与样本大小n有关的常数)，于是从R=Wg知知Gr=0wG=d3o。由于g未知，故从式。=E(R)/d2得gr的估计量为(5.3-8)(5.3-9)(5.3-10)=d3R/d2根据上述，得到R图的控制线如下TOC o 1-5 h zUopo-UCL=R+3r心R+3r=R+3d3R/d2PPR衣CL=rR=Rpop0_-丿L

17、CL=r-3rr-3r=R-3d3R/d2UCL=Q4R令D3=1-3d3/d2,D4=l+3d3/d2，则代入上式后，得R图的控制线为CL=RLCL=式中，系数D3、D4参见计量值控制图系数表。现在我们通过例子说明建立x一R图的步骤，其他控制图的建立步骤也与此类似。例5.3-1厂方要求对汽车引擎活塞环的制造过程建立x一R控制图进行控制。现取得25个样本，每个样本包含5个活塞环的直径的观测值，如活塞环直径的数据表所示。解我们按下列步骤进行。步骤1:取预备数据。已取得预备数据如活塞环直径的数据表所示。步骤2:计算样本均值x。例如，对于第一个样本,我们有74.030+74.002+74.019+7

18、3.992+74.008x1=5=74.010其余类推。步骤3:计算样本极差Ro例如，对于第一个样本，Xmax=74.030,Xmin=73.992，于是有R1=74.030-73.992=0.058其余类推。活塞环直径的数据样本序号观测值x1Ri174.03074.00274.01973.99274.00874.0100.038273.99573.99274.00174.00174.01174.0010.019373.98874.02474.02174.00574.00274.0080.036474.00273.99673.99374.01574.00974.0030.022573.9927

19、4.00774.01573.98974.01574.0030.026674.00973.99473.99773.98574.01473.9960.024773.99574.00673.99473.00073.00574.0000.012873.98574.00373.99374.01573.98873.9970.030974.00873.99574.00974.00574.00474.0040.0141073.99874.00073.99074.00773.99573.9980.0171173.99473.99873.99473.99573.99073.9940.0081274.00474.0

20、0074.00774.00073.99674.0010.0111373.98374.00273.99873.99974.00774.0060.0291474.00673.96773.99474.00073.98473.9900.0391574.01274.01474.99873.99974.00774.0060.0161674.00073.98474.00573.99873.99673.9970.0211773.99474.01273.98674.00574.00774.0010.0261874.00674.01074.01874.00374.00074.0070.0181973.98474.

21、00274.00374.00573.99773.9980.0212074.00074.01074.01374.02074.00374.0070.0182173.99874.01074.01374.02074.00374.0090.0202274.00473.99973.99074.00674.00974.0020.0192374.01073.98973.99074.00974.01474.0020.0252474.01574.00873.99374.00074.01074.0050.0222573.98273.98473.99574.01774.01373.9980.035小计1850.024

22、0.581平均74.0010.023=R艺Xi5R步骤4:计算样本总均值x与平均样本极差一。由于/=1=1850.024,i=i=0.581,故丄艺X-1850.024x=25=25i=1=74.001r丄5Rn二25.=1=25=0.023步骤5:计算R图与x图的控制线。计算x一R图应该从R图开始，因为x图的控制界限中包含R，所以若过程的变异度失控，则计算出来的这些控制界限就没有多大意义。对于样本大小n=5,从附录V查得D3=0,D4=2.115,又从步骤4知R=0.023,于是代入式(5.3-10)后，得到R图的控制线为D石UCL=4R=2.115(0.023)=0.049CL=R=0.0

23、23D云LCL=3R=0(0.023)=0如x一R控制图所示。事实上丄CL=D3R=(1一3d2/d3)R,当n=5,1-3d2/d3=1-3(0.864)/2.326=-0.114为负值，但R不可能为负,故此时LCL不存在。这里丄CL=0不过作为R的自然下界而已。当把25个预备样本的极差描点在R图中后,根据判断稳态的准则(1)知过程的变异度处于控制状态。于是可以建立x图。7?期賞Cr,74.00i1；CL:,:U/I232h样本厚号74.)1074,000-PtT.则对于样本大小n=5,从附录V查得A2=0.577,又从步骤4知x=74.001,R=0.023,于是o代入式T=UCL=y+3

24、卞nx+CL=卩心xoT=LCL祁-3n沁x-后，得到x图的控制线为AUCL=x+2R=74.001+0.577(0.023)=74.014CL=x=74.001ALCL=x-2R=74.0010.577(0.023)=73.988如图(x-R控制图)所示。当把预备样本的均值描点在x图中后，根据判断稳态的准则知过程的均值处于稳态。由于x图和R图都处于统计稳态,且从该厂知过程也处于技术稳态,于是上述x-R图可加以延长，作为控制用控制图供日常管理之用。耒甸中匚-R風的日岸曾理封据神Q用号观團爸174,31274皿肆C3Qh嘶74遢MOK0|)4+27?,.39574一Old73.907401574

25、.DC1H.C02飢踏373.jy?733疋.融74财73呗稳議41-M14-.QIC74.CC313.1詔.恥n.oio5显M74.QCC74.CG1739爛gO.Oli573,14.0CB74TJ5马弭74.CU7罠锻丁応妣74.00274.01SS73.955740D574.C06o皿7Q0l74.0M阳.畅12.613卿73,598iiputg7.015却00074.01S冥(MD?*.C1I197.030弛0354.000744127；.C13(I.03C1174.00173.9无75.955.010T4(2474.C04o.o127O1574.0Z?刃皿74.30574nn74,0

26、17o.ois川4孔740D74.0174.015482574.020.02JU他0一740H74.il3u74.-25：4.02674.0230.02J157.01074妙74.074-.C(TI.0-074.U150切步骤6:延长上述x一R图的控制界限作控制用控制图。为了进行日常管理该厂又取了15个样本，参见x一R图的日常管理数据表。在计算出各个样本的x与R后在x一R图描点，如x一R图用于日常管理图所示。从图中可见,x图在第11个样本后的几个点子均出界，说明存在异常因素。事实上，从x图上第9、第10个点子后的点子逐渐上升的趋势已可看出这是由于过程均值逐渐增大的结果。CL=74.0mULC=

27、74.01474.03074.02D74.010壬74,00073.99073.980-UCL=0,049CL=0,n23现在对x一R图进行一些讨论:1.如何联合应用x一R图查找异常。如表（xR图的判断）所示，表中情况一、二、四o2的判断是成立的，至于情况三，现在说明如下:对于正态分布总体N（卩，），只有卩变化而G不变，则在x图将由于描点出界的概率增大而告警;但若只有G变化，而卩不变，这时不仅R图将由于描点出界的概率增大而告警，且x图中描点出界的概率也增大，从而也会告警。所以在情况三,R图告警可以判断G变化，而x图同时告警则不能判断卩一定发生变化，因为有可能是由于G变化引起的，卩是否发生变化应

28、视具体情况而定。x一R图的判断情况x图R图判断-一一告警未告警卩变化-二二未告警告警。变化三告警告警。变化，至于卩变化是否发生应视具体情况而定四未告警未告警正常样卒序号m3.5.3-3容滩图2容差图。在x图上的描点是样本的平均值x而非样本的各个测量值x,有时将样本中的逐个x反映在规格界限的容差图中是有用的,如图（容插图）所示。图中的竖线表示该样本中各个x值的范围，规格界限为74.0000.03。从图（容插图）可见图（x一R图用于日常管理图）连续4个点子出界并非是由于样本的个别异常观测值造成的,而是由于过程均值的偏移而造成的。我们求得从第9组到第15组样本的总均值为74.015,若过程均值从原来

29、的稳定值74.001偏移到此值,则将产生6.43%的不合格品。控制界限、规格界限与自然容差界限间的关系。x一R图的控制界限与规格界限毫无关系完全是两码事。规格界限是由技术经济要求所决定的,而控制界限则是由过程的以标准差。度量的自然变异度，亦即过程的自然容差界限所决定的两者不可混为一谈，如图（控制界限、规格界限于自然容差界限）所示。应用x一R的一些注意事项：（1）合理分组原则。在收集数据进行分组时要遵循休哈特的合理分组原则:1）组内差异仅由偶然波动（偶然因素）造成;2）组间差异主要由异常波动（异常因素）造成。下面作些说明。首先，若过程稳定，则在过程中只存在偶然波动（偶然因素），它由3。方式中的。

30、所反映。如果确定。值不仅有偶然波动而且还有异常波动，则。值增大，也即上下控制界限的间隔加大。在极端情况下,若异常波动全部进入。值的计算，则上下控制界限的间隔将大到使任何点都不会出界。从而控制图就失去了控制的作用。因此,一个样本组内各个样品特性值的差异要求尽可能由偶然波动造成。这就要求同一个样本组的各个样品的取样应在短时间内完成。其次，各个样本组的统计量平均值也是有差异的。由于偶然波动始终存在，它必然会对此差异有影响，但这种影响是微小的。若过程异常，要求统计量平均值之间的差异主要由异常波动（异常因素）造成，这样便于由控制图检出异常。这就要求在容易产生异常的场合增加抽样频率，反之，亦然。（2）经济

31、性。抽样的费用不得高于所获得的效益。（3）样本大小n和抽样频率。若用x控制图去检出过程的较大偏移，例如2。或更大的偏移,则可用较小的样本（如n=4,5或6）即可将其检出，若检出较小的过程偏移,则需用较大的样本，甚至需要n=15至25。当然，较小的样本在抽样时正好碰到过程偏移的可能性也小。因此，可以采用添加警戒限和其他判定界内点非随机排列的原则，来提高控制图检出过程小偏移的能力，而不采用大样本的作法。对于R图，若采用小样本则对于检出过程标准差的偏移是不很灵敏的，但大样本（n10），用极差法估计标准差的效率将迅速降低。因此，对于n10的样本，应该采用s图而不用R图。在确定正图和R图的样本大小时，x

32、图和R图的操作特性曲线是有用的。至于抽样频率,1实践表明多倾向于采用小样本、短间隔而不是大样本、长间隔。（4）x图和R图检出过程质量偏移的能力可由其操作特性曲线（简称OC曲线）来描述。1）x图的检定能力和0C曲线。假定过程标准差。为常数，若过程均值由稳定状态值卩。偏K移到另一值卩1，其中卩i=g0+O,则在偏移后第一个抽取的样本未检出此偏移的概率（即第II类错误的概率）或B风险为5。3-11）B=PLCLWxWUCL|u=u1=uO+K。TOC o 1-5 h zO2-由于xN,/n）,而x图的上下控制界限分别为UCL=g0-于是,可将式（5.3一11）写成UCL-（卩UCL=g0+K）ucl

33、-（卩+K）4ooBSo/n-o/.0$55fl.IC.J51u.nwc(U阳1血5D.GHCiO.OSZQ.屬1$0.01?20.BI6Q.：烦&B0.99730.95450.86640.79680.68280.54680.4514另外，还可以讨论均值卩及标准差。同时变化时x图的第II类错误概率卩值，这里只给出的计算公式及当n=4时的卩值(见表卩及g同时变化时x图的卩值(n=4)3-K,；n“V-oF(5.3-15)根据上表中数据可画出如卩及。同时变化时x图的0C曲线所示的一系列0C曲线。由图中可见，当g增大，即K1值变大时，曲线的倾斜率变得平缓;而K1值较小时x图的卩值随K值增大而激减，亦

34、即x图检出过程均值偏移的概率激增，即x图的灵敏度增加。3.S.3-7疗-变彳七日寸尺图的OC曲线1ooG.900.800,700.40G.3009200-100.60L.R0,66图3.S.3-6川及疔何吋变让时齐图的OC曲线J只一1=210或12时,一般应采用s图来代替R图。x一R图的检定能力。分析了x图和R图的检定能力，现在来分析x图和R图同时使用时的总检定能力。在样本大小n较小时，x一R图未能检出过程偏移的概率等于它们个别未能检出过程偏移的概率的乘积。设BX为x图未能检出偏移的概率，卩R为R图未能检出偏移的概率卩R为x一R图未能检出偏移的概率，则有BT=pXBR图的值(-2=4)X315

35、60-0.2350J.04(i5。皿0.50.X674J。叭iO.Q2(i(1.(40.-835o,館daortD.0J951丄U/5O3DM000抽5D.CISt2.00.20210J1330,G579003Qs(t.UlO2J0.1皿1O.ff/830.0-580CM0-01523.L0.|30嘶o.oy40121+0-01323.50.01500/28t0.D344O.C170D-01124.CD.004L0.016424.；D.W150.C072fl.W5也如：)”即i5.0D10C1o.cas:0.W3IJ.CTtSXOOi85.5moo(|0.U12U.OE6fl,(KM7J.OW

36、16.0LC-IMI(IO.CD040.血00.0031JOM5例如，当n=4时,可以算得x一R图的命值如表所示。对于不同的n可能算出不同的卩T值。由表x一R图的B值(n=4)中数据可见同时应用x图和R图的检定能力比单独使用x图或R图的检定能力大。四、x-s(均值-标准差)控制图若样本大小n较大，例如n10或12,这时用极差法估计过程标准差的效率较低。最好在xR中用s图代替R图。CL=S5.4-6）若6为一概率分布的未知方差，则样本方差2=ni工（xx）2ii=1为2的无偏估计量，但样本标准差s并非是O的无偏估计量。若样本取自正态总体,可以证明s=川1C4，这里C4为一与样本大小n有关的常数。

37、现在，我们考虑。已知的情况，由于E(s)=C4。，故s图中的中心线为C4。，于是s图的控制线为cJ1C2UCL=4+3g4cCL=4LCL=C4-3少1C4定义则代如上式后，得到已知的图的控制线为BUCL=6rCL=4BLCL=5式中，系数B5、B6可自附录V表A一5查得。5.4-1）（5.4-2）（5.4-3）（5.4-4）若。未知，则必须根据以往的数据进行估计。从E(s)=C46有=s/C4,这里iy.Sis=mi=1(5.4-5)于是得到。未知情况的s图的控制线为SI,IScj1C2、UCL=s+344定义s1ScJl-C2UCL=s-3445.4-7)1I5.4-8)Bc：1-C24=

38、1+344由此得到。未知情况的s图的控制线为UCL=B4SCL=sLCL=B3S式中，系数B3、B4可从附录V查得。在应用x-s图时,相应的正图的控制界限也需要应用s/C4来估计于是这时x图的控制线为3sUCL=x+(4913000.W91斗笳3().032158100,103iti827a085.IQ3177530.040tk1061857!0.0180.116199J(50.IWLCL=万3P(1P)/ni例某半导体器件厂2月份某种产品的数据如表3.5.7-1中的第(2)、(3)栏所示。作p控制图对其进行控制。解我们按下列步骤进行:步骤1:预备数据的取得。已给定数据如上表所示。步骤2:计算

39、样本不合格品率。表3.5.71中第(2)、(3)栏数据,算得第一个样本的不合格品率为p1=2/85=0.024其余类推。步骤3:计算p。从表3.5.71末行可得步骤4:计算p图的控制线。将p=0.0389代入式(3.5.78)得到p图的控制线为UCL=0.0389+30.0389(1-0.0389)/niCL=0.0389LCL=7-3j0.0389(10.0389)/ni由于本例各个样本的样本大小n不相等，所以必须对各个样本分别求出其控制界限。如对于第一个样本，在式(3.5.79)中代入nl=85后，得到UCL=0.0389+0.58A85=0.102CL=0.0389LCL=0.03890

40、.58/850.024这里丄CL取负值，由于p不可能为负，故令LCL=0作为p1的自然下界。其余各个样本以此类推，参见图3.5.7一1。为了判断过程是否处于稳定状态，将各个样本的不合格品率描点在图3.5.7一1中。由于第27个样本的点子出界，所以过程失控，需要执行第二章(五)的20个字，找出异常因素并采取措施保证它不再出现。然后重复步骤14,直到过程稳定为止，这时p图可作为控制用控制图供日常管理使用。现在，对p图进行一些讨论：本大小n的确定。若过程不合格品率P很小,则必须选择样本大小n充分大才能使得样本中至少包含1个不合格品的概率很大。否则，若P很小而n又不大,p图的控制界限将使得样本中只要出

41、现1个不合格品就会点子出界从而显示过程失控。如设P=0.01，n=8,则上控制界为UCL=P+3丫P(I-P)/n=0.01；(0-01)(0-09)/8=0.1155CL=3,8?X1O()1234i7BjlCi1214Ifi182?24262311持15I/iii21X罚佟11-n-9*7-图3.5.713.5.7-1的护图如果现在样本中有一个不合格品，则样本不合格品率p=1/8=0.1250,它在p图中的描点出界。事实上，由于P0,总会出现一些不合格品,所以只凭出现一个不合格品就判断过程失控是不合理的。为了避免这种情况，可以选择充分大的n使得样本中至少包含1个不合格品的概率不小于某个数值

42、r。通常，取nP在1到5的范围内，即取1/Pno即要求1-PnPK2设P=0.01,K=3,若要求LCL为正，则1-0.01n0.0132p图上点子超出下控制界限。在户图上点子超出LCL，表明过程不合格品率异常低,这是好现象,应认真总结经验。但这时必须注意是否有下列可能:(1)由于质量检验人员缺乏经验而漏检;(2)检验仪表有问题;(3)数据不真实。各组样本的样本大小不等时的p图。这时控制界限成凹凸状，如图3.5.7一1所示，作图很不方便。令元为各组样本大小的平均值，若n的变化在元土元/2范围内，则可用下列近似方法计算p图的控制线：UCL=p3p(1-p)/nCL=pLCL=p+3P(1-P)/

43、n1于.ni式中，n=m匸1。注意，应用此法，当点子十分接近控制界限时仍需要按式(357一8)重新计算精确的控制界限,以判断点子是否出界。本教材第六章提出的通用控制图解决了这一问题。应用PT(通用不合格品率)控制图代替户图，作图既方便，同时判断又精确。当样本大小n不等时，控制界限成凹凸状。这时应用3.4.4节判断异常的准则中的界内点排列非随机的各种模式进行判断要特别小心，因为这时样本不合格品率的描点距离中心线的相对位置与样本大小n有关。设过程的P=0.20,现有连续两个样本，一个样本的pi=0.24,ni=250,另一样本的如pi+1=0.28,ni+1=50。表面上看来,pi=0.24的描点

44、距离中心线要比pi+1=0.28的描点更近。实际上，如果以标准差为单位进行度量则第i个样本距离中心线的标准化的距离为pi-P0.24-0.20di，Hl-P”n八心20(0.80)/250二58而第i+1个样本距离中心线的标准化的距离为p(i+1)-P0.28-0.20di=Jp(i-p)/Z=J0.20(0.80)750二41即实际上第i+1个描点比第i个描点距离中心线更近。在通用图上，所有点子都是经过标准变换的，所以在图上识别各种界内点排列非随机的模式要比P图方便、精确。八、pn(不合格晶数)控制图若过程处于稳定状态，过程的不合格品率为P,则在包含n个样品的一个随机样本中出现的不合格品数D

45、服从二项分布。从2.3.5节知，随机变量D的均值为nP,而方差为nP(lP)。于是根据式(3.3.21),若考虑3。控制界限,则已知n、P情况的pn图的控制线为UCL=nP+3nP(1P)CL=nPLCL=nP-3叮np(1P)若过程的不合格品率P未知，需用P进行估计，则将P代入式(3.5.81)后得如图的控制线为UCL=np-3:nP(1-P)CL=pLCL=np+3nP(1-P)可见，在UCL、CL、LCL中都包含参数n。若各样本的n不等，则UCL、CL、LCL三者都呈凹凸状,作图极其不便。因此，一般pn图只用于各样本的n相等的情况，若n不等,则需用pnT(通用不合格品数)图(参见3.6节)。无论n相等或n不等，pnT图均可应用，十分方便。九、c(缺陷数)控制图一定检查单位的产品的缺陷数通常服从泊松分布，即ex入tp(x)=x!(x=0,1,2,.,)式中，x为缺陷数，平均缺陷数入(九0)为泊松分布的参数。泊松分布的均值与方差都等于参数九若考虑3o控制界限，则已知过程平均缺陷数入的情况的c图的控制线为UCL=X+3i入CL氓LCL氓-3汪若参数入未知，则须根据以往的数据进行估计。设检验了m个检查单位的产品,其缺陷数分别为c,i=l,2.,m,于是样本的平均缺陷数为，1cC=m