圆锥曲线(解析几何)知识点总结例题分析和基础练习

1、圆锥曲线椭圆知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶 点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，椭圆越扁）通 径（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长= （2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的

2、直线交椭圆于两点，则的坐标分别是 例题分析（求椭圆的标准方程一定要注意焦点的位置，先根据焦点的位置确定方程的形式，在根据及已知条件确定、的值，进而写出方程）（要求掌握椭圆的简单几何性质，因此要准确把握和灵活应用这些性质来解决问题，更要注意教材中利用椭圆的标准方程推导这些几何性质的思想方法。在椭圆的几何性质中，离心率问题一直是高考的热点题型，必须熟练地掌握）（焦点三角形面积问题是解析几何中一种常见的问题，改变一下问题的结构形式，将其设计成一个条件开放性问题，思考与训练的价值是非常大的，本题难点之一是确定焦点所在位置，考察了分类讨论的思想）课堂巩固练习1. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离是5，则

3、它到左准线的距离为 。2若椭圆的离心率，则值 。 3（书本P28习题3改编）已知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦AB，若的周长为16，椭圆的离心率为，则椭圆的方程为 。 4椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是 。5在平面直角坐标系xOy中，设椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,c)，0)所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_6以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率

4、的取值范围是 。7已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆的方程。8 椭圆的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，求P点横坐标的取值范围。 PABMlOxy9（书本P297改编）已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线。10在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a+1(a1)，点D在边OA上，满

5、足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=x+b与椭圆弧相切，与OA交于点E.（1）求证：；（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程参考答案1. 已知椭圆上有一点P到右焦点的距离是5，则它到左准线的距离为4。2若椭圆的离心率，则值或。 3（书本P28习题3改编）已知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦AB，若的周长为16，椭圆的离心率为，则椭圆的方程为。 4椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那

6、么点M的纵坐标是。5若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为。6以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是。7（书本P32练习5改编）已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆的方程。解：由题意设椭圆的半长轴为，半短轴为，半焦距为 椭圆的标准方程为或8 椭圆的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，求P点横坐标的取值范围。 解：由题意得，设P到左焦点F1的距离为，P到右焦点F2的距离为，P()-(-),|PF1|同理得|PF2|又F1PF2为钝角cosF1PF209

7、（书本P297改编）已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线。PABMlOxy解：以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图），则A(1,0)，B(1,0).设M(),由题意，得|MP|MA|, |BP|， |MB|+|MA|曲线C是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆， 其方程为10在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a+1(a1)，点D在边OA上，满足

8、OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=x+b与椭圆弧相切，与OA交于点E.（1）求证：；（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程解：设椭圆的方程为. 由消去得. 由于直线l与椭圆相切，故，化简得. （2）由题意知A（，0），B（，1），C（0，1），于是OB的中点为. 因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，即，亦即. 由解得，故直线l的方程为 （3）由（2）知.因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为.因为

9、圆M在矩形及其内部，所以 圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以，即. 代入得即 所以圆M面积最大时，这时，.故圆M面积最大时的方程为双曲线知识点小结：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，开口越大）渐近线通 径（3）双曲线的渐近线：求

10、双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长= （2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是 抛物线知识点小结：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：焦点在轴上，开口向右焦点在轴上，开口向左焦点在轴上，开口向上焦点在轴上，开口向下标准方程图 形xOFPyOFPyxOFPyxOFPy

11、x顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径焦半径焦点弦焦准距四、弦长公式： 其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，由韦达定理求出，；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是：注意（1）上面用到了关系式和注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再