傅里叶分析解析课件

1、第1章 傅里叶分析 1.1 一些常用函数1. 阶跃函数2. 符号函数3. 矩形（rect）函数4. 斜坡函数三角状（tri或）函数5. sinc函数6. 高斯函数7. 圆域（circ）函数 阶跃函数(1.1.1)Step(x)x一维阶跃函数(1.1.2)二维阶跃函数(1.1.3)一维符号函数(1.1.4)二维符号函数(1.1.5)符号函数与阶跃函数的关系 符号函数 矩形（rect）函数一维矩形函数(1.1.6)xrect(x)1D:rect(x) 矩形（rect）函数二维矩形函数（1.1.7）rect(x)rect(y)2D: 矩形（rect）函数在时域中表示理想的低通滤波器，在空域中表示一个

2、狭缝、孔径的透过率 三角状（tri或）函数一维三角状（tri或 ）函数 （1.1.8）1D:2D:二维三角函数 三角状（tri或）函数（1.1.9） sinc函数一维sinc函数（1.1.10）x1D: sinc函数 是光学中最重要的函数之一，与矩形函数 互为傅里叶变换二维sinc函数（1.1.11） sinc函数2D: 高斯函数一维高斯函数的定义（1.1.12）二维高斯函数的定义（1.1.13），二维高斯函数用极坐标表示高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束 圆域函数（1.1.15）极坐标系中，圆域（circ）函数 ，圆域函数为 （1.1.14） 圆域函数常用来表示圆孔的透过率。 1.2 脉

3、冲函数函数是描述物理学中质量或能量在空间或时间上高度集中的各种现象，如点光源、点脉冲、点电荷等物理模型的数学工具。 类似普通函数的定义1.2.1 函数的定义与性质(1.2.1a)(1.2.1b)一维冲激函数的定义二维冲激函数的定义或(1.2.2) 类似普通函数的定义 普通函数序列极限形式的定义（1.2.3） 普通函数序列极限形式的定义对函数序列中的任一函数 来说，都有常用的表现形式有（1.2.4）（1.2.5）（1.2.6）（1.2.7） 广义函数形式的定义其中， 在原点处连续。即（1.2.9）式得证。证明：根据积分中值定理有：一维二维（1.2.8）（1.2.9） 函数的性质 筛选性质（1.2

4、.10）证明：令 则 代入上式得：与定义式相比：，由积分中值定理 比例变化性质二维（1.2.11）一维 函授与普通函数的乘积（1.2.12）1.2.2 梳状函数一维梳状函数的定义: comb(x)= x1(1.2. 13)0Comb(x)定义为一系列间隔为1的函数所组成的周期函数comb(x)间隔为 的等间距脉冲序列表示为下列梳状函数形式（1.2.14）梳状函数与普通函数的乘积（1.2.15）1.2.2 梳状函数f(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.间隔分别等于a和b（a、b均大于0）二维脉冲阵列（1.2.16）xy二维梳状函数: com

5、b(x,y)= comb(x) comb(y) 1.3 卷积1.3.1 卷积的定义5.积分求函数 的面积。4.相乘1.换元( 1.3.1) 图解法分析有助于理解卷积运算的真正含义：换元反折(Flip)平移(Slide)相乘(Multiply)积分(Integrate)函数f(x)和h(x) 卷积图解演示第一步 x变成a得到f(a) 和h(a)一维卷积的图解机理第二步 h(a)反转得h(a)第三步 h(a)沿横轴平移x得h(xa)一维卷积的图解机理第四步 求出f(a)和h(xa)重叠波形的面积，得到两函数积分后的函数.第五步改变x，反复重复步骤24，得到全部卷积值。一维卷积的图解机理1.3.2

6、卷积运算定律 交换律 分配律 结合律（1.3.2）（1.3.3）（1.3.4）1.3.3 含有脉冲函数的卷积(1.3.5)(1.3.6)证：任意函数f(x,y)与函数的卷积得出函数f(x,y)本身。而：卷积的结果是把函数f(x,y)平移到脉冲所在的空间位置 处 。练习一1.已知连续函数f(x)，若x0b0,利用d 函数可筛选出函数在x= x0+b的值，试写出运算式。2. f(x)为任意连续函数， a0, 求函数g(x)= f(x)d(x+a)- d(x-a)并作出示意图。3.已知连续函数f(x)， a0和b0 。求出下列函数：(1) h(x)= f(x)d(ax-x0)(2) g(x)= f(

7、x)comb(x- x0)/b1.2.3.g(x) = f(x)d (x+a)-d (x-a)= f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a)= f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a)h(x) = f(x) d (ax- x0)作图解答(1)(2)练习二1. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？ldxy(透过率=输出/输入)解答*=ldxyt (x, y)d (x+d/2) + d (x-d/2 ) =*p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1d (x+d

8、/2 - d (x-d/2)t (x, y)=*若右边园孔上加p 位相板, 则x0dlxyy快速抢答！sinc(x)d (x-1) =tri(x)d (x + 0.5) =sinc(x)*d (x-1) =tri(x) * d (x + 0.5) =0sinc(x-1)1x2010.5 d (x + 0.5)1x0-110.5-0.5tri(x + 0.5)0-0.510.5-1.5x1.4 相关 1.4.1 互相关两个复函数f(x,y)和g(x,y)的互相关定义为（1.4.1）或（1.4.2）两个复函数f和g是一维函数，互相关定义为（1.4.3）（信息处理中的重要运算）换一种写法，两个函数f

9、(x,y)和h(x,y)的互相关定义为(1.4.1a)或(1.4.2a)互相关函数不具有交换性，有(1.4.3）互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度互相关用卷积表示相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.证明：根据定义可写出设当f和h皆为实数时，则有* 1.4.2 自相关当f(x,y)g(x,y)时，即得函数的自相关的定义式(1.4.4)(1.4.5)或自相关函数性质：（1）自相关函数具有厄密对称性，即(1.4.6) 当f(x,y)是实函数时， Rff(x,y)是偶函数，即(1.4.7)此时自相关就是自卷积。（2）对于任意两个相同函数的自相关，有(1.4.8)说明自相关函数

10、有且仅有一个最大值，为自相关函数在x=0,y=0处的值（证明: 利用施瓦兹不等式；详见教材p18）。自相关函数乃是自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度。 1.4.3 有限功率函数相关 有一些函数不满足绝对可积条件，其自相关也不存在，但它们模平方的平均积分却是存在的，即(1.4.9) 1.4.3 有限功率函数相关 由于在时域中，这样的函数具有功率单位，因此称此类函数为有限功率函数。互相关功率(1.4.10)自相关功率(1.4.11)*1.5 正交矢量空间和正交函数系 信号分解为正交函数分量的研究方法在系统理论中占有重要的地位。 1.5.1 正交矢量空间xyzoijkA(1.5.1)这是信号的

11、正交分解。(1.5.2) 1.5.1 正交矢量空间(1.5.3)(1.5.4) 1.5.2 正交函数系(1.5.5)(1.5.6)第 i 项系数(1.5.7) 1.5.2 正交函数系(1.5.8)(1.5.9)(1.5.10) 1.5.2 正交函数系1.6 傅里叶级数恩格斯(Engels)把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论.他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗. 1.6.1 三角傅里叶级数 满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期,可以在(-,+ )展为三角傅里叶级数:(1.6.1)展开系数(1.6.2) 1.6.1 三角傅里叶级数利用

12、三角函数关系把上式和相比较， g(x)可改写为(1.6.3)式中零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开三角傅里叶展开的例子前3项的和周期为t =1的方波函数an fn013频谱图1/22/p-2/3p 1.6.2 指数傅里叶级数 满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为指数傅里叶级数:展开系数(1.6.4)(1.6.5)零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念 1.6.2 指数傅里叶级数 利用欧拉公式，可证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系为：(1.6.6) 指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一

13、种系数导出。1.6 傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:展开系数Cn频率为n/t的分量n级谐波频率:n/t相邻频率间隔: 1/t非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:由于t 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和积分展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn) 2exp() 2exp()()(fxjdxfxjxgdfxgpp+-+-=从傅里叶级数到傅里叶变换写成两部分对称的形式:这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换从傅里叶级数到傅里叶变换 1.7.1 傅

14、里叶变换定义及存在条件 函数g(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数为函数g(x,y)的傅里叶变换, 记作: 由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换: 1.7.1 傅里叶变换定义及存在条件为函数G(fx,fy)的傅里叶逆变换, 记作: 显然g(x,y)和G(fx,fy)称为傅里叶变换对x (y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.描述了各频率分量的相对幅值和相移.x, y, fx , fy 均为实变量，G(fx,fy)一般是复函数, G(fx,fy) =A(fx,f

15、y)e jf (fx,fy)振幅谱位相谱G(fx,fy)是g(x,y)的频谱函数 1.7.1 傅里叶变换定义及存在条件 1.7.2 广义傅里叶变换对于某些不符合狄氏条件的函数, 求FT的方法.例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F T可定义: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 则 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义: g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, f

16、y) t 则 rect(x/t)rect(y/t) =t2sinc(tfx)sinc(tfy) 1 = d(fx, fy)按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的FT重要推论: rect(x) =sinc(fx)rect( ) 1.7.3 虚实奇偶函数傅里叶变换的性质 将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换), 然后根据g(x)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质。如果 傅里叶变换并改变函数的奇偶性，这个性质为傅里叶变换的对称性。 1.7.4 傅里叶变换定理（1） 线性定理 Linearity 设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F

17、TFT（2）空间缩放 Scaling (相似性定理）ag(x,y)+b h(x,y)=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)FT是线性变换 注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax) a=2x01/4-1/41fG(f)01-11空域压缩FTFT频域扩展空间缩放f02-21/2g(x-a, y-b)= G(fx, fy) exp-j2p(fxa+fyb)频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.g(x,y) expj2p(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空间

18、位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.推论:由1= d (fx,fy)expj2p(fax+fby)= d (fx- fa, fy- fb)复指函数的F.T.是移位的d 函数（3） 位移定理 Shifting若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压,则| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒（4）帕色伐(Parseval)定理交换积分顺序,先对x求积分:利用复指函数的

19、FT利用d 函数的筛选性质Parseval定理的证明空域中两个函数的卷积, 其FT是各自FT的乘积.g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy)g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy) * H(fx,fy)空域中两个函数的乘积, 其FT是各自FT的卷积.将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.亦可用于求复杂函数的FT和复杂函数的卷积（5）卷积定理交换积分顺序:应用位移定理应用FT定义卷积定理的证明（6）自相关定理（7）傅里叶积分定理-1 1.7.5 可分离变量函数的变换 在某个坐标系中，一个二维函数如能表示为两个一维函数的乘积，则称此函数在这种坐标系中是可分离的则其傅里叶变换注意: 不可与两个函数乘积的FT相混淆! 1.7.6 傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的FT极坐标变换令: 则在极坐标中:则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为