函数曲线的凹凸性与拐点课件_第1页
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文档简介

1、 第四章 第五节曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性图形是凹的;定义 . 设函数在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有切线位于曲线弧的下方则称(2) 若恒有切线位于曲线弧的上方则称图形是凸的 .分析：xyM1oM2M1xoyM2xM1oM2y当曲线为凹时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而增加，即 是增函数，因此分析：M1xoyM2xM1oM2y当曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而减少，即 是减函数，因此xM2yoM1定理4.12(凹凸判定法)(1) 在 I 内则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .设函数在区间I 上有二阶导数例1

2、. 判断曲线弧 的凹凸性解: 所给曲线在(-,+) 内为连续曲线弧. 由于可知曲线弧 在(-,+)内为凹的.例2. 判断曲线的凹凸性.解: 所给曲线在(-,+) 内为连续曲线弧. 由于可知，当 时， ，即曲线弧 是凸的当 时， ，即曲线弧 是凹的定义 . 连续曲线上的凹凸分界点称为拐点 。二、曲线的拐点.拐点例. 求曲线的拐点. 解:不存在因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线的拐点 .凹凸或不存在,说明:1) 若某点二阶导数为 0或不存在 ,2) 根据拐点的定义及凹凸性判断定理, 可得拐点的判别法:若曲线或不存在,但在 两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .其两侧二阶导数不变号,

3、例3. 判定M(0,0)是否为下列曲线弧的拐点解:（是）（是）（不是）注：曲线的凹凸性发生改变的点，函数在其有定义，该点才为曲线拐点 .求连续曲线弧拐点的一般步骤：求出y =f (x)二阶导数为零的点.判断以上点两侧二阶导数是否异号，如果二阶导数在xi两侧异号，则点(xi , f (xi) 为曲线弧y =f (x)的拐点；否则，点 (xi, f (xi) 不是曲线弧y =f (x)的拐点求出y =f (x)二阶导数不存在的点.确定函数定义域对应例4. 求的凹凸区间及拐点.解: 1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得3) 列表判别(-,1)1(1,2)2(2,+)+0-0凹凸凹拐点(1,-3)拐点(2,6)对应例5. 讨论曲线的凹凸区间及拐点.解: 1) 求2) 求可疑拐点：令得3) 列表判别(-,-1/5)-1/5(-1/5,0)0(0,+)

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