函数求导法则-2课件

1、第二节 函数求导法则 直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和困难的. 利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法则, 就能比较方便地求出初等函数的导数. 一、函数和、差、积、商的求导法则二、反函数求导法则三、复合函数的求导法则四、初等函数的导数一、函数和、差、积、商的求导法则 定理1 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 都在点 x 处可导, 那么 它们的和、差、积、商在x 处也可导, u (x) v (x) 在点 x 处也具有导数, 且 （2）u (x) v (x) = u (x) v (x) + u (x) v (x)（1）u (x) v (x) = u (x) v (x)

2、； （3）【v (x) 0】证（3）取得增量 u, v, 函数 也取得增量 除法求导法则可简单地表示为 当 x 取增量 x 时, 函数 u (x), v (x) 分别乘积求导法则可简单地表示为 (uv) = uv + uv. 推论1 设 u (x) 在点 x 处可导, C 为常数, 则 (Cu) = Cu. 推论2 设 u = u (x), v = v (x), w = w (x) 在点 x 处均可导, 则 (uvw) = uvw + uvw + uvw. 例1 y = x 4 + sinx ln3, 求 y .解 y = (x 4) + (sinx) + (ln3)= 4x 3 + cosx

3、 . = e x (sinx + cosx) + e x (cosx - sinx) = 2e xcosx. 例2 y = e x(sinx + cosx), 求 y. 解 y = (e x)(sinx + cosx) + e x (sinx + cosx) 例3 例4 y = 2sinxcosxlnx, 求 y. 例5 y = tanx, 求 y. 即 (tanx) = sec 2x. 这就是正切函数的求导公式. 类似地可求余切函数的求导公式 (cotx) = csc 2x.例6 y = secx, 求 y. 即 (secx) = secxtanx. 这就是正割函数的求导公式. 类似地可求余

4、割函数的求导公式 (cscx) = cscxcotx. 二、反函数的求导公式 定理2 设函数 在区间 I y 上单调、可导, 且 , 则它的反函数 y = f (x) 在对应区间 I x 上也单调、可导, 且 简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数.任取 x I x , 给 x 以增量, 由 y = f (x) 的因为 y = f (x)连续, 故，从而 单调性可知 y = f (x + x) - f (x) 0, 于是证又例7. 求函数解:则类似可求得, 则的导数.为函数类似可求得解：的反函数。例8. 求函数的导数。解：则特别当时,例9. 求函数的导数。小结:三、复合函数的

5、求导法则 定理3 设函数 u = g (x) 在点 x 处可导, 函数 y = f (u) 在点 u = g (x) 处可导, 则复合函数 y = f (g(x)在点 x 处可导, 且其导数为 设 x 取增量 x, 则 u 取得相应的增量 u, 因为 u = g (x) 可导, 则必连续, 所以 x 0 时, 当 u = 0时, 可以证明上述公式仍然成立. 从而 y 取得相应的增量 y , 即 u = g(x + x) g(x), y = f (u + u) f (u). u 0, 因此 当 u 0时, 有证中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数. 设 y = f (u), u = g (

6、v), v = h(x)都是可导函数, 则复合函数 y = f (g(h(x) 对 x 的导数为 公式表明,复合函数的导数等于复合函数对例10 y = lnsinx, 求 y. 解 设 y = lnu, u = sinx, 则 例11 解 设 熟练之后, 计算时可以不写出中间变量, 而直接写出结果. 例12 例13 例14 y = lncos(e x), 求 y. 例15 例16 设 x 0, 证明幂函数的导数公式 (x ) =x -1. 证解：例17 设解： 设例18 设其中函数可导，求四、初等函数的导数 1. 基本导数公式 (1) (C) = 0;(2) (x ) = x -1;(3) (sinx) = cosx;(4) (cosx) = sinx;(5) (tanx) = sec2x;(6) (cotx) = - csc2x;(7) (secx) = secx tanx;(8) (cscx) = - cscxcotx;(9) (e x) = e x;(10) (a x) = a x lna; 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 u = u(x), v = v(x) 均可导, 则(1) (u v) = u v;(2) (uv) = uv + uv;(3) (Cu) = Cu;