蒲丰投针问题

1、蒙特卡罗方法概述 8.2引例：蒲丰投针问题在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述.由于这类模型含 有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难.有的模型难以作定量分析，得不 到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用.在这种情况下，可以 考虑采用Monte Carlo方法。下面通过例子简单介绍Monte Carlo方法的基本思想.Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城一一摩纳哥的 蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周兀的方法一一随机投 针法，即著名的蒲丰投针问题。这一方法的步骤是：

2、1)取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线，见图8.1(1)2)取一根长度为l(l V d)的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与 直线相交的次数，记为m明E.1蒲奉投针简阳计算针与直线相交的概率.由分析知针与平行线相交的充要条件是 1 x J sin 中2其中一 d-0 x 20 K建立直角坐标系(中，X)，上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图8. l (2).由几何概率知(*)g的面积=2号in甲W= 21G的面积=一福几24)经统计实验估计出概率P牝m,由(*)式即m = 2 n兀= nnndMonte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所

3、求问题的解正好是该模型 的参数或其他有关的特征量.然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验(确定m和n)， 统计出某事件发生的百分比.只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率.这实 际上就是概率的统计定义.利用建立的概率模型，求出要估计的参数.蒙特卡洛方法属于试 验数学的一个分支.力$力力$&“力$提示个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个个:设X是一个随机变量，它服从区间0, d/2是的均匀分布，同理，中是一个随机变量，它服从区间0,兀上的均匀分布。按照某种抽样法，产生随机变量

4、的可能取值，例如 进行n次抽样，得到样本值(七,七),i = 1,2, ，统计出满足不等式 d .x sin 中.的次数m(mn),从而可以计算出p的估计值p = m / n .e 力力力 $ 力、mi，+ + + + + + + + + + + + +*使用MATLAB语言编程实现(4.m)l=1d=2；m=0；for k=l： nx=unifmd (0, d / 2)；p=unifmd (0, pi)；if x 0.5 x 1 x sin( y)m=m+1elseendendp=m/npi_m=1/p运行，取n=1000,simu4回车，即得结果*想： 1)在上述的程序中任意调整n的取值，

5、会发现什么规律？2)参数l, d的不同选择，会导致什么结果？e力力力力力$力、mmmmx “$力力力力力力力力$ &力力“*蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及 科学研究中的理论问题.例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问 题.任意曲边梯形面积的近似计算一个古老的问题：用一堆石头测量一个水塘的面积.应该怎样做呢？测量方法如下：假 定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中.如图8. 2所示.随机地向这块农田扔石头使得 它们都落在农田内.被扔到农田中的石头可能溅上了水，也可能没有溅上水，估计被“溅上 水的”石头量占总的石头量的百分比.试想如何

6、利用这估计的百分比去近似计算该水塘面 积？图一豪蜓岸下曲水塘结合图8. 2中的图形(1)分析，只要已知各种参数及函数(a，b，H，f(x)，有以下两种 方法可近似计算水塘面积.1 .随机投点法赋初值：试验次数n=0，成功次数m=0；规定投点试验的总次数N；随机选择m 个数对x, y ,1 i m,，其中a x b,0 y H，置 n=n+l；i iii判断n N，若是，转4,否则停止计算；判断条件七 f (七)(表示一块溅水的石头)是否成立，若成立则置m=m+1,转2,否则转2；计算水塘面积的近似值S = H x (b - a) x m/N .2 .平均值估计法产生a,b区间的均匀随机数x , i = 1,2,N;计算 f (xi),i = 1,2,N;计算S = (