2023届高三数学单元卷二《函数与基本初等函数》能力提升卷（及答案）

1、单元卷二函数与基本初等函数(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2021江西红色七校联考已知集合Ax|log4x1，Bx|ex21，则AB()A.(，2) B.(，2C.(0，2) D.(0，22.2022江西九校联考已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x2)，且当xeq blcrc(avs4alco1(0，f(3,2)时，f(x)2x21，则f(2 021)()A.7 B.1 C.0 D.13.2021山西太原期末函数f(x)x3lneq f(ecos x,e

2、cos x)的图象大致为()4.2021洛阳一模若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)xR，都有f(x)f(x)0；(2)x1，x2R，且x1x2，都有eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0.f(x)sin x；f(x)2x3；f(x)1x；f(x)ln(eq r(x21)x).以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A.0 B.1 C.2 D.35.2021重庆南开中学模拟国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备

3、了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为NN0ekt(N0为最初污染物数量).如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要_小时()A.3.6 B.3.8 C.4 D.4.26.2021北大附中模拟已知函数f(x)eq blc(avs4alco1(ax1，x1，,2x2axa，x1.)若x1，x2R(x1x2)，都有f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围是()A.(1，3 B.(0，1) C.3，4 D.(1，47.2021大同模拟已知函数f(x)满足f(x)1eq f(1,f（x1）)，当x0，1时，f(x)x，若在区

4、间(1，1上方程f(x)mxm0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2) B.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2) C.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,3)8.2022河南名校联考已知实数a，b满足log2alog3b，给出五个关系式：abba；aabb；abba；abaa；bbba.其中不可能成立的关系式的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

5、项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2021湖北武汉质量检测已知函数f(x)eq blc(avs4alco1(x，x0，,x2，x0，)则有()A.存在x00，使得f(x0)x0B.存在x00，使得f(x0)xeq oal(2,0)C.函数f(x)与f(x)的单调区间和单调性相同D.若f(x1)f(x2)，且x1x2，则x1x2010.2022山东泰安联考已知函数f(x)对任意xR，满足f(x)f(6x)，f(x1)f(x1).若f(a)f(2 020)，a5，9，且f(x)在5，9上单调，则下列结论正确的是()A.f(3)0B.a8C.f(x)是周期为4的

6、周期函数D.yf(x)的图象关于点(1，0)对称11.2021江苏南京六校联考已知函数f(x)loga(x2ax1)(a0且a1)，则下列选项正确的是()A.当a2时，f(x)的值域为RB.存在a，使得f(x)为奇函数或偶函数C.当a2时，f(x)的定义域不可能为RD.存在a，使得f(x)在区间(，2)上单调递减12.2021广东汕头一模已知定义在R上的奇函数，满足f(2x)f(x)0，当x(0，1时，f(x)log2x，若函数F(x)f(x)tan x，在区间1，m上有10个零点，则m的取值可以是()A.3.8 B.3.9 C.4 D.4.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1

7、3.2021安徽马鞍山三模设函数f(x)eq blc(avs4alco1(12x，x1，,log2x1，0 x1.)则feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(log23)_.14.2021山东泰安市模拟已知函数f(x)满足定义域为(，0)(0，)；值域为R；f(x)f(x).写出一个满足上述条件的函数f(x)_.15.2022江西南昌二模若函数f(x)eq f(x2a,x1)在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为_.16.2021浙江模拟定义：mina，beq blc(avs4alco1(a，ab，,b，ab.)已知函数f(x)min3|2x1|，ax2b，其中a0，b

8、R.若f(0)b，则实数b的取值范围为_；若f(x)的最大值为2，则ab_.四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分.17.(10分)2022上海浦东新区一模疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元(包括3万元和6万元)的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：补助款f(x)(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加；补助款不低于原纳税额x(万元)的50%.经测算政府决定采用函数模型f(x)eq f(x,4)eq f(b,x)4(其中b为参数)作为补助款发放方案.(1)判断使用参数b12是否满足条件，并说明理由；(2)求同时

9、满足条件，的参数b的取值范围.18.(10分)2021湖北武汉期末定义在D上的函数f(x)，若满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.(1)设f(x)eq f(x,x1)，判断f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出f(x)所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.(2)若函数g(x)12xa4x在x0，2上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.单元卷二函数与基本初等函数(能力提升卷)1.DAx|log4x1x|log4xlog44x|0

10、x4，Bx|ex21x|ex2e0 x|x2，ABx|0 x2，故选D.2.D由f(x1)f(x2)，得f(x3)f(x)，所以函数f(x)的周期为3，得f(2 021)f(1).又f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)，而当xeq blcrc(avs4alco1(0，f(3,2)时，f(x)2x21，所以f(2 021)f(1)f(1)1.故选D.3.C由题意可知，函数f(x)的定义域为R，f(x)(x)3lneq f(ecos（x）,ecos（x）)x3lneq f(ecos x,ecos x)f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项A，B；当xeq blc(rc)(avs4alco1(0

11、，f(,2)时，0cos x1，所以eq f(ecos x,ecos x)1，所以f(x)x3lneq f(ecos x,ecos x)0，排除D.故选C.4.B由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数.对于，f(x)sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于，f(x)2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于，f(x)1x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”.故选B.5.C由题意可得N0e4keq f(4,5)N0，可得e4keq f(4,5)，设N0ekt0.64N0eq blc(rc

12、)(avs4alco1(f(4,5)eq sup12(2)N0，可得ekt(e4k)2e8k，解得t8.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时.故选C.6.A依题意可知，函数f(x)在R上是增函数，则eq blc(avs4alco1(a1，,f(a,4)1，,a12，)解得1a3.故选A.7.B令1x0，则0 x11，因为当x0，1时，f(x)x，所以f(x)eq f(1,f（x1）)1eq f(1,x1)1eq f(x,x1)，所以f(x)eq blc(avs4alco1(f(x,x1)，1x0，,x，0 x1.)方程f(x)mxm0转化为f(x)m(x1)，在区间(1，1上方程f(x)

13、mxm0有两个不同的实数根，即在区间(1，1上函数f(x)的图象与直线ym(x1)恒有两个交点，作出在区间(1，1上函数f(x)的图象与直线ym(x1)，如图所示，直线ym(x1)恒过定点B(1，0)，由图可知直线过点A(1，1)时m取最大值eq f(1,2)，所以直线ym(x1)与函数f(x)的图象有两个交点时0meq f(1,2)，故选B.8.B如图，由log2alog3b，根据图象可知1ab或ab1或0ba1.取a2，b3，则abba，成立.取ab1，则aabb，成立.取aeq f(1,2)，beq f(1,3)，则abba，成立.，当0a1时，可得0ab；当a1时，不成立；当a1时，可

14、得ab.均与已知矛盾，故不成立.，当0b1时，可得ab；当b1时，不成立；当b1时，可得ab1.均与已知矛盾，故不成立.综上，不可能成立.故选B.9.BCA选项，当x00时，f(x0)xeq oal(2,0)，由f(x0)x0可得xeq oal(2,0)x0，解得x00或x01，显然都不满足x00，故A错误；B选项，当x00时，f(x0)x0，由f(x0)xeq oal(2,0)可得x0 xeq oal(2,0)，解得x00或1，显然x01满足x00，故B正确；C选项，当x0时，f(x)x，显然单调递减，即f(x)的减区间为(，0)；当x0时，f(x)x2，显然单调递增，即f(x)的增区间为(

15、0，)；又f(x)eq blc(avs4alco1(x，x0，,x2，x0)eq blc(avs4alco1(x，x0，,x2，x0，)因此f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，即函数f(x)与f(x)的单调区间和单调性相同，故C正确；D选项，不妨令x1x2，且f(x1)f(x2)eq f(1,4)，则x1eq f(1,4)，x2eq f(1,2)，此时x1x2eq f(1,4)0，故D错误.故选BC.10.AB令x3，由f(x)f(6x)得f(3)f(3)，故f(3)0，A正确；f(x1)f(x1)，f(x1)f(1x)，即yf(x)的图象关于直线x1对称，f(x1)f(x1)

16、f(6(x1)f(5x)，即f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，f(x)是周期为8的周期函数，f(2 020)f(25284)f(4)f(8)，f(a)f(2 020)，f(a)f(8)，a5，9，且f(x)在5，9上单调，a8，故B正确；假设f(x)是周期为4的周期函数，则f(x4)f(x)，又f(x4)f(x)，f(x)f(x)，即f(x)0，与“f(x)在5，9上单调”矛盾，故假设不成立，C错误；f(3)0，f(7)f(3)0，假设yf(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(x)f(2x)0，令x1，得f(1)f(1)0，即f(1)0，则f(5)f(1)0，即f(5)f(7

17、)，与“f(x)在5，9上单调”矛盾，故假设不成立，D错误.故选AB.11.AC当a2时，x2ax1x22x1(x1)2，当x1时，(x1)2可以取遍(0，)上的一切实数值，所以f(x)的值域为R，故A正确；f(x)loga(x2ax1)的定义域是不等式x2ax10的解集，当a240，即2a2时，f(x)的定义域为R.要使f(x)loga(x2ax1)为偶函数，则f(x)f(x)，于是x2ax1x2a(x)1，即2ax0对定义域内的实数x恒成立，所以a0，但此时对数的底数为零，无意义；要使f(x)loga(x2ax1)为奇函数，则f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，于是(x2ax1)x2a

18、(x)11，即(x21)2(ax)21对定义域内的任意实数x恒成立，但此方程为四次方程，至多有四个不同的实数根，矛盾，综上，不存在a使得f(x)为奇函数或偶函数，B错误；由B可得当a2时，f(x)的定义域不可能为R，故C正确；要使f(x)loga(x2ax1)在区间(，2)上单调递减，必须满足eq blc(avs4alco1(a1，,f(a,2)2，,222a10，)故eq blc(avs4alco1(a4，,af(5,2)，)无解，故D错误.故选AC.12.AB因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，又f(2x)f(x)0，所以f(2x)f(x)f(x).令tx，得f(t)f(t2)，即

19、f(x)f(x2)，所以f(x)是周期函数，周期为2.又f(x)是R上的奇函数，可得f(0)f(2)f(4)0，又f(1)0，所以f(1)f(3)f(5)0，则有f(n)0，nZ.在同一平面直角坐标系内作出yf(x)和ytan x的图象，其中ytan x的周期Teq f(,)1，如图，由图可知x1时，从点A(1，0)开始，10个交点依次为A，B，O，C，D，E，F，G，H，I，点J是第11个交点，J(4，0).设C点横坐标为x0，显然x0eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)log2eq f(1,4)2，tan eq

20、 f(1,4)1，因此x0eq f(1,4)，所以eq f(1,4)x0eq f(1,2)，于是eq f(1,2)xBeq f(1,4)，4eq f(1,2)xI4eq f(1,4)，即3.5xI3.75，所以m可取3.8，3.9，当m4时至少有11个零点，故m4，故选AB.13.2feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)log2eq f(1,2)1110，f(log23)12log23132，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(log23)2.14.ln|x|(答案不唯一)f(x)ln|x|的定义域为(，0)(0，)，值域为R，且f(x)ln|x|ln

21、|x|f(x)，因此f(x)ln|x|符合题意.15.(，1令x1t，则xt1且t(0，)，则f(t)eq f(（t1）2a,t)eq f(t22ta1,t)teq f(a1,t)2在(0，)上为增函数，所以a10，即a1.16.(，22由题意得f(0)min2，bb，所以b2，即实数b的取值范围为(，2.在同一坐标系中作出函数h(x)3|2x1|及函数g(x)ax2b的大致图象，如图所示，令3|2x1|2，解得x1或x0.结合图象可知，若f(x)的最大值为2，则g(1)ab2.17.解(1)因为当b12时，f(3)eq f(3,4)eq f(3,2)，所以当b12时不满足条件.(2)由条件可

22、知，f(x)eq f(x,4)eq f(b,x)4在3，6上单调递增，当b0时，f(x)eq f(x,4)eq f(b,x)4在3，6上单调递增满足条件；当b0时，f(x)eq f(x,4)eq f(b,x)4eq f(x,4)eq f(b,x)4在2eq r(b)，)上为增函数，2eq r(b)3，解得eq f(9,4)b0，所以beq f(9,4).由条件可知，f(x)eq f(x,2)，即不等式eq f(x,4)eq f(b,x)4在3，6上恒成立，等价于beq f(1,4)x24xeq f(1,4)(x8)216，当x3时，yeq f(1,4)(x8)216取最小值eq f(39,4)，beq f(39,4)，综上，参数b的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(f(9,4)，f(39,4).18.解(1)f(x)eq f(x,x1)1eq f(1,x1)，则f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)上单调递增.所以f(x)对任意xeq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)满足feq blc(rc)(avs4a