一九八八年数学一试题

1、般一九八八年数学岸一试题般一、（本题满分隘15分，每小题凹5分）拜求幂级数俺的收敛域疤.班已知版,霸且吧傲0，求笆，并写出它的定熬义域版.捌设S为曲面爱x搬2搬+y隘2爸+z百2邦=1败的外侧，计算曲八面积分.隘二、填空题（本袄题满分12分，吧每小题3分）巴若斑，则艾=翱 凹.扳设案f(x)唉是周期为2的周耙期函数，它在区扳间（-1，1）澳上的定义为矮则埃f(x)扳的付立叶（胺Fourier案）级数在瓣x=1艾处收敛于敖 翱.哀设版f(x)皑是连续函数，且哀，则白f(7)=摆 翱.巴设4稗半4矩阵A=（按按，氨哀2扳，版罢3瓣，半把4稗），B=（疤斑，瓣哎2皑，班熬3爸，柏唉4白），其中把班，

2、暗扒，坝扮2吧，版挨3昂，昂艾4澳均为4列维向量捌，且已知行列式爱哎A鞍半=4，把熬B背笆=1，则行列式拔般A+B挨敖=啊 八 阿.阿三、选择题（本矮题满分15分，挨每小题3分）哀若函数按y=f(x)扳有岸，则当伴肮x案拌0时，该函数在拜x=x拔0疤处的微分摆dy癌是拜（A）与俺跋x半等价的无穷小奥. 八（B）与稗凹x吧同阶的无穷小傲.半（C）比唉爸x昂低阶的无穷小蔼. 伴（D）比矮澳x敖高阶的无穷小靶. 爱答：（ 霸）矮设般y=f(x)啊是方程把的一个解，若佰f(x把0霸)0，且柏，则函数阿f(x)绊在点俺x氨0背(A)跋取得极大值摆. (B)扳取得极小值拌(C)办某个领域内单调版增加 奥(

3、D)鞍某个领域内单调把减少 答埃：（ ）叭设有空间区域邦案1摆：吧x班2癌+肮y捌2啊+z巴2叭艾R背2隘， 颁z八爱0傲；敖 矮 胺 叭及芭佰2奥：斑x碍2颁+巴y盎2按+z唉2霸扒R百2皑， 瓣x八摆0,y笆芭0,z昂霸0艾，则（A）（B）（C）（D）澳若拌在扮x=-1吧处收敛，则此级隘数在扒x=2傲处矮（A）条件收敛阿 （B）绝对柏收敛 （C）哀发散 （D）暗收敛性不能确定班 答：（ 翱 ）艾n爸维向量组败疤1叭，巴罢2按，稗哎s袄(3凹哀s斑哎n)唉线性无关的充分霸必要条件是搬（A）存在一组般不全为0的数敖k埃蔼1蔼, k耙拌2袄,盎 般半, k百敖s办,稗使鞍百1傲k罢稗1罢+艾艾2

4、扒k唉澳2白+鞍跋+搬跋s佰k挨肮s爱盎0挨.傲（B）吧拜1柏，把百2碍，叭绊s捌中任意两个向量盎都线性无关靶.扒（C）佰斑1盎，半氨2巴，颁奥s岸中存在一个向量皑，它不能用其作拜向量线性表出扳.耙（D）柏佰1半，盎爱2颁，案斑s澳中任意一个向量办都不能用其作向昂量线性表出唉. 案答：（ 隘）矮四、（本题满分拔6分）设伴.昂其中函数爱f,g阿具有二阶连续导佰数，求按.颁五、（本题满分肮8分）设函数扒y=y(x)摆满足微分方程八，且其图形在点岸（0，1）处的板切线与曲线坝y=x斑2隘-x+1白在该点的切线重颁合，求函数八y=y(x).巴六、（本题满分傲9分）设位于点把（0，1）的质昂点A对质点M

5、的氨引力大小为办（半k艾0为常数，白r昂为质点A与M之拜间的距离），质跋点M沿曲线邦自B（2，0）癌运动到O（0，摆0），求在此运肮动过程中质点A佰地质点M的引力案所作的功霸.背七、（本题满分暗6分）已知AP岸=PB，其中芭，八，求A及A爱5把.斑八、（本题满分拌8分）已知矩阵邦与罢相似，班（1）求靶x板与岸y澳；（2）求一个靶满足P拜-1翱AP=B的可逆暗矩阵P氨.搬九、（本题满分败9分）设函数挨f(x)败在区间敖a,b爱上连续，且在拜（奥a,b蔼）内有绊.白证明：在背(a,b)澳内存在唯一的摆哎，使曲线捌y=f(x)扳与两直线蔼y=f(白柏),x=a伴所围平面图形S肮1伴是曲线办y=f(x

6、)罢与两直线爸y= f(颁埃),x=b背所围平面图形面笆积S拜2八的3倍靶.耙十、填空题（本啊题满分6分，每拜小题2分）拌设三次独立试验板中，事件A出现办的概率相等，若肮已知A至少出现邦一次的概率等于艾，则事件A在一安次试验中出现的岸概率为半 拜.敖在区间（0，1板）中随机地取两班个数，则事件班“耙两数之和小于扒”哀的概率为爸 凹.扳设随机变量X服鞍从均值为10，扮均方差为凹0.02哎的正态分布柏.碍已知叭，爱拌（2伴.昂5）=爸0.9938岸，则X落在区间巴（9.95傲,10.05班）内的概率为颁 靶.版十一、（本题满皑分6分）设随机哀变量X的概率密哀度函数为安，求随机变量Y癌=1-摆的概率

7、密度函数白f芭Y跋(y).按一九八八年试卷矮二办一、（同试卷一半第一题）傲二、（同试卷一傲第二题）绊三、（同试卷一稗第三题）办四、（本题满分柏18分，每小题八6分）罢（同试卷一第四捌题）计算.蔼求椭球面伴x扮2胺+2y邦2靶+3z佰2矮=21埃上某点M处的切邦平面隘傲的方程，使平面柏哎过已知直线袄.鞍五、（同试卷一白第五题）隘六、（同试卷一捌第六题）澳七、（同试卷一跋第七题）霸八、（同试卷一斑第八题）八九、（同试卷一安第九题）胺一九八八年试卷佰四板一、（本题满分叭12分）在下列敖各题中将答案填翱入横线上方空白胺处（每空1分）班（一）已知函数蔼,班=袄 爸 胺；袄f(x)佰的单调性：哎 癌 扮；

8、叭f(x)吧的奇偶性：罢 绊 霸；拜f(x)安的图形的拐点：盎 岸 霸；柏f(x)澳图形的凹凸性：板 扒 袄，把 氨 版；耙f(x)哀图形的水平渐近爱线：蔼 癌 熬 佰 败 .哀（二）拔=翱 胺 懊.版（暗三）啊=袄 柏 笆.俺（四）假设P（癌A）=岸0.4阿，P（A蔼耙B）=稗0.7.俺那么八（1）若A与B阿互不相容，则P背（B）=肮 傲 澳；（2）若A与半B相互独立，则伴P（B）=胺 爸 跋.版二、（本题满分奥10分）判断下叭列各命题是否正般确：白若极限坝与办都存在，则极限邦必存在安.矮若伴x氨0背是函数俺f(x)袄的极值点，则必安有叭.敖（ ）叭等式半对任何实数啊a般都成立敖.耙（ ）安

9、若A和B都是爸n蔼阶非零方阵，且懊AB=0，则A熬的秩必小于碍n.半（ ）袄若事件A，B，拌C满足等式A班熬C=B傲芭C，则A=B熬.百（ ）耙三、（本题满分哎16分，每小题艾4分）：求极限.白已知版u+e芭u哀=xy版，求奥.求定积分求二重积分扒四、（本题满分按6分，每小题3办分）霸讨论级数熬的敛散性隘.哎已知级数半和瓣都收敛，试证明巴级数扳绝对收敛柏,般五、（本题满分斑8分）已知某商艾品的需求量D和啊供给量S都是价吧格吧p靶的函数：哎其中跋a氨0和案b扒0为常数；价摆格阿p袄是时间把t搬的函数且满足方瓣程岸 （捌k傲为正的常数）隘假设当版t=0扒时价格为1，试爸求拔需求量等于供给败亘时的均

10、衡价格摆p盎e埃；办价格函数版p(t)搬；极限芭六、（本题满分捌8分）在曲线般y=x凹2板(x半耙0)上某点A处胺作一切线，使之佰与曲线以及傲x癌轴所围图形的面疤积为1/12八.凹试求：切点A的坐标；凹过切点A的切线版方程；稗由上述所围平面捌图形绕笆x叭轴旋转一周所成按旋转体的体积扒.坝七、（本题满分埃8分）已给线性瓣方程组隘问皑k败1办和翱k哎2笆各取何值时，方斑程组无解？有唯按一解？有无穷多爱组解？在方程组癌有无穷多组解的澳情形下，试求出癌一般解扳.般八、（本题满分蔼7分）已知向量昂组巴扒1凹，肮盎2岸，熬澳s拔，柏(s埃矮2)线性无关搬.昂设靶耙1俺=凹搬1巴+隘扒2伴，拌摆2背=八蔼2

11、靶+扮蔼3澳，耙傲，爱哎s-1袄=靶瓣s-1哀+奥肮s疤，耙稗s吧=般耙s拔+捌笆1靶.笆九、（本题满分叭6分）设A是三胺阶方阵，A摆*跋是A的伴随矩阵隘，A的行列式疤.昂求行列式胺的值柏.熬十、（本题满分跋7分）玻璃杯成暗箱出售，每箱2颁0只，假设各箱矮含0，1，2只唉列次品的概率相柏应为板0.8,斑0.1般和皑0.1,芭一顾客欲购一箱板玻璃杯，在购买耙时，售货员随意扒取一箱，而顾客癌开箱随机地察看板4只：若无残次半品，则买下该箱艾玻璃杯，否则退岸回板.稗试求：版（1）顾客买下案该箱的概率瓣拌；（2）在顾客案买下的一箱中，蔼确定没有残次品捌的概率澳拜.靶十一、（本题满颁分6分）某保险百公司多

12、年的统计柏资料表明，在索俺赔户中被盗索赔凹户占20%，以坝X表示在随意抽埃查的100个索办赔户中因被盗向捌保险公司索赔的挨户数扳.靶（1）艾写出X的概率分败布；俺（2）利用棣莫懊佛跋笆拉普拉斯定理，扒求被盗索赔户不白少于14户且不八多于30户的概澳率的近似值搬附表设罢扳(x)癌是标准正态分布傲函数瓣.阿x邦0把0.5蔼1.0蔼1.5凹2.0拌2.5扳3.0版胺(x)岸0.500肮0.692吧0.841爱0.933摆0.977哎0.994案0.999唉十二、（本题满扳分6分）假设随扳机变量X在区间敖（1，2）上服哎从均匀分布，试耙求随机变量Y=背e昂2巴x氨的概率密度拔f(y).拌一九八八年试卷摆五疤一、（同试卷四碍第一题）拜二、（同试卷四摆第二题）板三、（本题满分案16分，每小题啊4分）求极限败（同试卷四第三爸、（2）题）懊（同试卷四第三氨、（2）题）案（同试卷四第三稗、（2）题）傲四、（本题满分爸6分）确定常数班a瓣和疤b八，使函数班处处可导袄.叭五、（同试卷三矮第五题）岸六、（同试卷四胺第六题）笆七、（同试卷四败第七题）艾八、（本题满分斑6分）已知笆n皑阶方阵A满足矩坝阵方程A鞍2爸-3A-2E=胺O，其中A