高中物理选择性必修36.2.4组合数

1、6.2.4 组合数人教A版（2019） 选择性必修第三册新知导入从 a , b , c 三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab , ac , bc 已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合. ab , ac , ad , bc , bd , cd3种6种上面两个问题中，通过一一列举得到符合要求的组合的个数，但是随着元素个数的增加，一一列举变得越来越复杂甚至变得不可能。那么能否像排列数一样，找到一个用来计算组合个数的公式，根据公式方便的计算出组合的个数？新知讲解组合数从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个

2、元素的组合数，用符号 表示.问：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？组合与组合数有什么区别？组合是指“从n个不同元素中取出m（mn）个元素合成一组”，它不是一个数；组合数是指“从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个正整数.合作探究（1）通过导入一：从 a , b , c 三个不同的元素中取出两个元素的组合数为组合数 与排列数 之间有什么关系？怎么利用排列数来求组合数？（2）从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合数为abc ， abd ， acd ， bcd .分析：从4个元素中取出3个的排列数为 ，以”相同元素“为标准

3、，将这24个排列分组，一共有4组，因此合作探究组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb合作探究通过上图可以发现，求排列数 也可以分为以下两个步骤：（1）从4个元素中取出3个元素作为一组，共有 种不同的取法；（2）将取出的3个元素作全排列，共有 种不同的排法.根据分步乘法计数原理，所以，合作探究同理，求从n个元素中取出m个元素的排列数可以通过以下两个步骤得到：（1）从n个元素中取出m个元素作为一组，共有 种不同的取法（2）将取出的

4、m个元素作全排列，共有 种不同的排法根据分步乘法计数原理，所以，新知讲解组合数公式其中，m,nN*，且mn规定：例题讲解解：根据组合数公式，可得例题讲解分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，有什么发现？（2）例1中（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，对公式的选择有什么想法？分析：当所选元素个数较多时，选择第二种组合数公式；当所选元素个数较

5、少时，选用第一种组合数公式.新知讲解组合数性质性质1性质1说明：（1）等式两边下标相同，上标之和等于下标.（2）该性质适用于当mn/2时，计算 可以转换为计算 ，使计算简单.（3）当 时，则x=y或x+y=n.证明：新知讲解思考：一次旅游，有10名游客和1名导游。（1）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，则有多少种不同的中奖情况？（2）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，且导游必须中奖，则有多少种不同的中奖情况？（3）从这10名游客与1名导游中抽取3名幸运奖，且导游一定没有中奖，则有多少种不同的中奖情况？解析：（1）（2）（3）性质2通过上面的情况我们发现：新知讲解性质2通过上面的

6、情况我们发现：证明：例题讲解例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？解析：从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此是一个组合问题；所以从100件产品中任意抽取3件的抽法种数为：例题讲解（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？解析：可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件.先从2件次品中抽出1件的抽法有 种，再从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为：例题讲解（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解法一：从100件产品中抽出的3件中至少有1件是次

7、品，包括有1件次品和有2件次品两种情况.根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为：解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：课堂练习解：由组合数性质2可知，因此，2. 计算： 解：由题意可得又 ,得n=10课堂练习3. 若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（ ）A64 B46 C15 D360 C4. 从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）A 种 B3！ C 种 D以上均不对CD课堂练习6. 十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、

8、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（ ）A242种B220种C200种D110种 C7. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）A140种B420种C80种D70种 D课堂练习8. 要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ （1）甲当选且乙不当选；（2）至多有3名男生当选解：至多有3男当选时，应分三类：拓展提高9. 一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球

9、，红球的个数不比白球少的取法有多少种？根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种. 解：（1）从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法： 红球3个，红球2个和白球1个， 当取红球3个时，取法有1种；拓展提高（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？ 解：（2）使总分不少于 分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个，根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18+4=22种. 拓展提高男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，

10、女运动员2名；解：分两步完成：拓展提高（2）队长中至少有1人参加； （3）既要有队长，又要有女运动员 链接高考11. （2012全国高考真题（理）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A12种B10种C9种D 8种A12. （2020海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A2种B3种C6种D8种C链接高考13. （2010全国高考真题（理）某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A30种B35种C42种D48种A14. （2018全国