苏教版高中数学选择性必修一第5章5.3.3《最大值与最小值》教案

1、本资料分享自千人教师QQ群483122854 期待你的加入与分享 300G资源等你来本资料分享自千人教师QQ群483122854 期待你的加入与分享 300G资源等你来5.3.3最大值与最小值学习目标1.理解最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上的最值并能解决生活中的最值问题导语同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值一、极值与

2、最值的关系问题1如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值你能找到函数的最大值和最小值吗？提示最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得，最小值ymf(x4)在xx4处取得显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在问题2开区间上的连续函数有最值吗？提示如图容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到知识梳理函数最值的定义(1)一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么

3、它必有最大值和最小值(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意xI，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意xI，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间a，b上连续是f(x)在闭区间a，b上有最大值和最小值的充分不必要条件例1如图是函数yf(x)在区间a，b上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值解由题图可知，yf(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为feq blc(rc)(av

4、s4alco1(x1)，feq blc(rc)(avs4alco1(x3)，极大值为feq blc(rc)(avs4alco1(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是feq blc(rc)(avs4alco1(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)反思感悟最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得跟踪训练1设f(x

5、)是区间a，b上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()Af(x)的极值点一定是最值点Bf(x)的最值点一定是极值点Cf(x)在区间a，b上可能没有极值点Df(x)在区间a，b上可能没有最值点答案C解析根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间a，b上单调，则函数f(x)在区间a，b上没有极值点，所以C正确二、求函数的最值知识梳理求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将(

6、1)中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值例2求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)eq f(1,2)xcos x，x0,2解(1)因为f(x)2x312x，x2,3，所以f(x)6x2126(xeq r(2)(xeq r(2)，令f(x)0，解得xeq r(2) 或xeq r(2).因为f(2)8，f(3)18，f(eq r(2)8eq r(2)，f(eq r(2)8eq r(2)，所以当xeq r(2)时，f(x)取得最小值8eq r(2)；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)eq f(1,2)sin x

7、，x0,2，令f(x)0，得xeq f(,6)或xeq f(5,6).因为f(0)1，f(2)1，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(,12)eq f(r(3),2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)eq f(5,12)eq f(r(3),2).所以当x2时，f(x)有最大值f(2)1，当xeq f(5,6)时，f(x)有最小值feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)eq f(5,12)eq f(r(3),2).反思感悟求函数最值需注意的点(1)确定函数的定义域(2)求出定义域内的每一个极值与最值(3)比较所求的每一个极值与最

8、值(4)得出结论跟踪训练2求下列函数的最值：(1)f(x)2x36x23，x2,4；(2)f(x)eq f(x1,ex).解(1)f(x)6x212x6x(x2)令f(x)0，得x0或x2.又f(0)3，f(2)5，f(4)35，f(2)37，当x4时，f(x)取最大值35.当x2时，f(x)取最小值37.即f(x)的最大值为35，最小值为37.(2)函数f(x)eq f(x1,ex)的定义域为R.f(x)eq f(1exexx1,ex2)eq f(2x,ex)，当f(x)0时，x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示.x(，2)2(2，)f(x)0f(x)eq f(1,e2)f

9、(x)在(，2)上是增函数，在(2，)上是减函数，f(x)无最小值，且当x2时，f(x)maxf(2)eq f(1,e2).三、用导数解决实际问题例3如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解AEx，HEeq r(2)x，EF602x，EGeq f(r(2),2)(602x)，V(

10、x)(eq r(2)x)2(602x)eq f(r(2),2)eq r(2)x2(602x)2eq r(2)x360eq r(2)x2(0 x30)V(x)6eq r(2)x2120eq r(2)x6eq r(2)x(x20)令V(x)0，得x0(舍去)或x20.当0 x0；当20 x30时，V(x)0.V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值包装盒的底面边长为eq r(2)x20eq r(2)(cm)，高为eq r(2)(30 x)10eq r(2)(cm)，当x20时，包装盒的容积最大，此时高与底面边长的比值为eq f(1,2).延伸探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(c

11、m2)最大，试问x应取何值？解AEx，HEeq r(2)x.EF602x，EGeq f(r(2),2)EFeq f(r(2),2)(602x)eq r(2)(30 x)S4HEEG4eq r(2)xeq r(2)(30 x)8x(30 x)8x2240 x8(x15)28152(0 x30)当x15时，S取得最大值，最大为1 800 cm2.反思感悟解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造

12、可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)eq f(k,3x5) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)由题设可知，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)eq f(k,3x5)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)eq f(40,3x5).又建造费用为C1(x)6x.则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)

13、20C(x)C1(x)20eq f(40,3x5)6xeq f(800,3x5)6x(0 x10)(2)f(x)6eq f(2 400,3x52)，令f(x)0，即eq f(2 400,3x52)6，解得x15，x2eq f(25,3)(舍去)当0 x5时，f(x)0；当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)65eq f(800,155)70.即当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元1知识清单：(1)函数最值的定义(2)求函数最值(3)函数最值的应用2方法归纳：转化化归、分类讨论3常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系1下列结论正确的是()

14、A若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是在xa和xb处取得D若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值答案D解析函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A.eq f(10r(3),3) cm B.eq f(20r(3),3) cmC.eq f(16r(3),3) cm D.eq f(r(3),

15、3) cm答案B解析设圆锥的高为h cm,0h0，当heq blc(rc)(avs4alco1(f(20r(3),3)，20)时，V2时，f(x)0，f(x)是增函数，当x2时，f(x)0，则函数在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)上是增函数，所以y的最大值为ymaxsin .3函数f(x)x33x1在区间3,0上的最大值和最小值分别是()A1，1 B1，17 C3，17 D9，19答案C解析f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1.又f(3)279117，f(0)1，f(1)1313,13,0所以函数f(x)的最大值为3，最小值为17.4如图所示，函数f

16、(x)导函数的图象是一条直线，则()A函数f(x)没有最大值也没有最小值B函数f(x)有最大值，没有最小值C函数f(x)没有最大值，有最小值D函数f(x)有最大值，也有最小值答案C解析由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，即f(x)在x1处取得最小值，没有最大值5某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元 C28 000元 D23 000元答案D解析设毛利润为L(P)则L(P)PQ20Q(8 300170P

17、P2)(P20)P3150P211 700P166 000，所以L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30或P130(舍去)此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元6(多选)下列关于函数f(x)(2xx2)ex的判断正确的是()Af(x)0的解集是x|0 x0得0 x2，故A正确f(x)(2x2)ex，令f(x)0，得xeq r(2)，当xeq r(2)时，f(x)0，当eq r(2)x0，当xeq r(2)时，f(x)取得极小值，当xeq r(2)时，f(x)取得极大值，故B正确当x时，f(

18、x)0，当x时，f(x)，且f(eq r(2)0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确7函数f(x)exsin x在区间eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上的值域为_答案eq blcrc(avs4alco1(0，)解析f(x)ex(sin xcos x)因为xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，所以f(x)0.所以f(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上为增函数，所以f(x)minf(0)0，f(x)maxfeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2).8已知f(x)x2mx1在区间2，1上的

19、最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_答案4，2解析f(x)m2x，令f(x)0，得xeq f(m,2).由题设得eq f(m,2)2，1，故m4，29求下列函数的最值：(1)f(x)sin xcos x，xeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)；(2)f(x)ln(1x)eq f(1,4)x2，x0,2解(1)f(x)cos xsin x.令f(x)0，即tan x1，且xeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，所以xeq f(,4).又因为feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)，feq blc(rc)(a

20、vs4alco1(f(,2)1，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)1，所以当xeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)时，函数的最大值为feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)，最小值为feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)1.(2)f(x)eq f(1,1x)eq f(1,2)x，令eq f(1,1x)eq f(1,2)x0，化简为x2x20，解得x12(舍去)，x21.当0 x0，f(x)是增函数；当1x2时，f(x)0，f(1)f(2)所以f(0)0为函数f(x)ln(1x)eq f(1,4)x2在0,2

21、上的最小值，f(1)ln 2eq f(1,4)为函数在0,2上的最大值10.如图，某段铁路AB长为80公里，BCAB，且BC10公里，为将货物从A地运往C地，现在AB上距点B为x公里的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元，公路运费为每公里4元(1)将总运费y表示为x的函数；(2)如何选点M才能使总运费最少？解(1)依题意，铁路AM上的运费为2(80 x)元，公路MC上的运费为4eq r(100 x2)元，则由A地到C地的总运费y2(80 x)4eq r(100 x2)(0 x80)(2)y2eq f(4x,r(100 x2)(0 x80)，令y0，解得xeq f(10r(3),3)或

22、xeq f(10r(3),3)(舍去)当0 xeq f(10r(3),3)时，y0；当eq f(10r(3),3)x80时，y0.故当xeq f(10r(3),3)时，y取得最小值，即当在距离点B为eq f(10r(3),3)公里的点M处修筑公路至C时总运费最少11已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)bCab Da，b的大小不能确定答案A解析f(x)的定义域是e

23、q blc(rc)(avs4alco1(0，)，f(x)1eq f(1,x)eq f(x1,x)，令f(x)0，解得0 x0，解得x1，则f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，f(x)的最小值是feq blc(rc)(avs4alco1(1)1，故a1，g(x)xexln xx，定义域为(0，)，g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(x1)exeq f(1,x)1eq f(x1,x)eq blc(rc)(avs4alco1(xex1)，令h(x)xex1，则h(x)eq blc(rc)(avs4alco1(x1)ex0，x(0，)则可得h(x)在(0，)上是增函数，且heq blc(rc)(avs4alco1(0)10，故存在x0(0,1)使得h(x)0，即x01，即x0ln x00，当x(0，x0)时，h(x)0，g(x)0，函数g(x)是增函数，故当xx0时，函数取得最小值g(x0)x0ln x0 x01ln x0 x01，即b1，所以ab.14.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为_时，其容积最大答案eq f(2,3)解析