分形几何期末报告

1、分形学期末报告人们常说，数学是一门古老的学科，无论是历史悠久的九章算术，还是让欧几里德全球闻名的不朽名著几何原本，都在古代起就对数学这门学科的发展起到极其重要的作用。但是也有一些新问题是在二十世纪中后期才被发现的分形几何就是其中最具有代表性的。分形几何被誉为大自然的几何学，它又是现代数学的一个崭新分支。它的发现填补了数学领域上实际应用较少的空白，但是它的本质却是一种新的世界观和方法论。它的发现是人类打开了一个完全崭新、令人兴奋中带着些惊讶的几何学大门。但人熟知分形几何时，他们会有不可思议的发现原来分形几何无处不在，而且正因为在地球上有了分形几何之一学科，世界才会变得更加精彩分形（Fractal

2、）理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。它是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理论的研究对象。分形的类型有自然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。它被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。随着分形理论在地理学研究中的应用，到了20世纪90年代，逐渐形成了一个新兴的分支学科，即分形地理学。什么是分形“分形”这个名词是由美国IBM公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学教授曼

3、德勃罗特（BenoitB.Mondelbrot）在1975年首次提出（创造）的，其原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名词是参照了拉丁文fractus（弄碎的）后造出来的。它含有英文中frature（分裂）fraction（分数）的双重意义。而我国在山西五台山南山寺的影壁墙上的碑文中，早在清朝时代就有了“日月光明，分形变化”的语句。人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多现象，如各种工业

4、产品的现状，建筑的外形和结构等。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要一种新的几何学来描述。所以,一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然的几何。下面给出“分形”的三个定义：定义1（Mandelbrot,1986）,部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。定义2（Edgar,1990）,分形集合是这样一种集合，它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregular）,无论是放大还是缩小，甚

5、至进一步缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。定义3（现代）设几何F的Hausdorff维度是D，如果F的Hausdorff维度D严格大于其拓补维度，我们称F为分形集。分形的自相似性分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上分叉长出

6、来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形。另外，还有所谓有规分形,这类分形,由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的自相似性。所谓koch曲线，就是属于有规分形,如图1所示。图1三次koch曲线它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为600的二条等长(1/3)的

7、折线来代替，形成一个生成单元，如图1(b).然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。分形的标度不变性所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标度不变性，或者说这

8、类物体设有特性长度。上面介绍的koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很显然，它具有标度不变性。分形维数的定义和测算维数是几何对象的一个重要特征量，传统的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的几何形体。按照传统几何学的描述，点是零维，线是一维，面是二维，体是三维。但仔细观看，对于大自然用分型维数来描述可能会更接近实际。拓扑维数一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。对于一个二维几何体一一边长为单位长度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所需要的小正方形的数目N（r）和尺度r满足如下关系式（1）2

9、若r=l/4,则二16二亠（1）2当r=1/k（k=l，2，3,）时，贝VN（g二k2二（k）2一般地，如果用尺度为r的小盒子覆盖一个d维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子数目N（r）和所用尺度r的关系为N（r）=丄，变形得d=迥凹定rdln（1/r）义为拓扑维数。Hausdorff维数几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d为整数；二是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何对象的总长度（或总面积，总体积）保持不变。但总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限图形，可以得出分形维数的定义=liminer

10、TOln(1/r)上式就是Hausdorff分形维数，通常也简称为分维。拓扑维数是分维的一种特例，分维D大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。0信息维数如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第i个小盒子的概率为P，那么用尺度为r的小盒子所测算的平均信息量为iI=-生PinPiii=1若用信息量I取代小盒子数N(r)的对数就可以得到信息维D的定义1迓PinPiiD=iimi=1oin(1/r)如果把信息维看作Hausdorff维数的一种推广，那么Hausdorff维数应该看作一种特殊情形而被信息维的定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即p=

11、丄,iN一迟丄in丄NN、.inND=iimi=i=iim1oin(1/r)rTin(l/r)可见，在均匀分布的情况下，信息维数D和Hausdorff维数D相等。在非均匀情形，D0为Heaviside阶跃函数。0,x0若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，C(r)=l，lnC(r)=O。测量不出相点之间的关联。适当缩小测量尺度r,可能在r的一段区间内有C(r)*rD如果这个关系存在，D就是种维数，把它称为关联维数，用D表示，即2=limlnC(r)2rTOInr标度律与多重分形。标度律分形的基本属性是自相似性。表现为，当把尺度r变换为入r时，其自相似结构不变，只不过是原来的放大和缩小，入称

12、为标度因子，这种尺度变换的不变性也称为标度不变性，是分行的一个普适规律。有N(Xr)=亠DoN(r)。(入r)Do海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化，L(Xr)=XrN(Xr)=Xi-Dy-N(r)=XL(r)a=1-D为标度指数。上式表明，把用尺度r测量的分形长度L(r)再缩小(或放o大)入a倍就和用缩小(或放大)了的尺度入r测量的长度相等。最重要的是这种关系具有普适性。究竟普适到什么程度是由标度指数a来分类的，这称为普适类。具有相同a的分形属于同一普适类，同一普适类的分形也具有相同的分维D。0一般情况下，可以把标度律写为f(Xr)=Xaf(r)，f是某一被标度的物理量，标度指数a与

13、分维D之间存在着简单的代数关系a=d-D，d为拓扑维数。0o多重分形对于非均匀分布的分形，可以看作由单分形集合构成的集合，它的标度指数a和分维D都不再是常量，这样的分形称为多重分形。理想的表达方法是，把a看作是连续变化的，在a和a+da这个间隔是一个以单值a为特征和分维为f(a)的单分形集合，把所有不同a的单分形集合相互交织在一起就形成多重分形。分形的应用6.1.甘省城镇体系的分形研究城镇体系规模结构的分形特征城镇体系规模分布具有自相似性，即满足分形的特征。对于一个区域的城镇若给定一个人口尺度r去度量，则人口大于r的城镇数N(r)与r的关系满足：N(r)*r-dInN(r)=A-DInr3.5

14、2.51.50.551015采用甘肃省1999年14个城市的数据，模拟的结果可见下图，分维值D=0.8714，lnr由于D1,这说明甘肃省城镇规模分布较为分散，首位城市垄断性强，人口分布差异程度大。分维值也验证了上面首位指数及不平衡指数有效性。城镇体系空间结构的分形特征各城镇在地域空间上的布局，反映了一个区域城镇体系的空间结构。从理论上讲，在一个区域内，各个城镇之间的相互作用与空间联系是客观存在的。因此，可以运用分形理论中的关联维数来模拟城镇之间的相互作用和空间联系。其基本模型如下：D=limrtOlnC(r)lnrC(r)=-12EH(r-dij)N2i,j=1jH(r-dj)Tod.rij

15、r为给定的距离标度，d.为第i个与第j个城镇之间的距离。关联维数D反映了城镇体系空间布局的均衡性，D一般在02之间变化，当D0时，说明该区域内各城镇间联系紧密，分布高度集中于一地；当D-2时，城镇间空间作用力小，城镇布局分散到均匀的程度。借助于GIS测算到甘肃省14个城市间的直线距离距阵，以步长/r=5(50公里)来取距离标度r,可以得到一系列点对(r,C(r),在双对数坐标中画出(r,C(r)的散点图，然后用线性回归分析方法进行模拟，结果下如图所示。关联维数D=0.7485。因为D1,这说明甘肃省城镇体系在空间分布上比较集中。有许多城市，特别是有一定的人口规模的一些城市，形成了相对独立的城市

16、群。由此可见甘肃省城市空间布局特征是集中前提下的分散，或者说小集中，大分散。从总体来看，关联维数由于受集中影响更大，其值偏小，这一结果也是符合实际的。四川盆地油气田空间分布的分形特征选取四川盆地勘探项目部署总图为底图，将油气田标绘其上，利用数盒子法求得分维值D为1.308，相关系数为0.999，表明四川盆地油气田的空间分布具有分维结构。将四川盆地分为川东南、川中和川西三个分区，分别计算出油气田空间分布的分维为：1.387，1.401，1.078，分维值的总体变化趋势由东南向西北降低，正好反映油气田在东南部较密，西北部较稀疏的特点。这说明，分维与油气田总面积呈正相关关系，油气田分布面积总和越大的区域，其分维值越大。另一方面，油气田空间分布的均匀程度也影响分维。在油气田总面积基本相同的情况下，油气田分布愈不均匀，其分维反而愈低。课程心得首先感谢xx老师的辛勤授课，通过这次学习，我收获不少。第一次知道分形是在研一时候