中国矿业大学徐海学院高等数学-方法上3

1、 2-1 计算导数的方法与技巧一. 方法指导1. 利用导数定义求导 ( P45 中 3(1) )2. 用导数公式和求导法则求导 ( P46 中 3(2) )复合函数求导法则隐函数求导法则参数方程求导法则3. 特殊求导方法对数求导法利用一阶微分形式不变性( P49 中 4(3)14、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz) 公式及设函数25. 高阶导数的求法 ( P49 中4 )(1) 递推归纳求出(2) 利用莱布尼兹公式(3) 转化间接求出(4) 参数方程求高阶导数6. 初等函数在定义区间内可导 ;界点处按左、右导数定义讨论 .若 f (x) 在界点处左

2、 连续, 左 近旁可导,这是因为( 参考P86 例15 )分段函数分段求导 , (右)存在 , (右)3二. 实例分析例1. 求下列函数在指定点处的导数 :求求且对任意 x 有设求解: (1)4(2)求 且对任意 x 有设求(3)5(4) 设其中n为正整数，（）；解 因为2012考研A、B、C、D、62、设是由方程的隐函数，则 ；解 将代入方程得 方程两边对x求导得则再求导得 ，即所确定2012考研73、设函数 ；解 由的表达式可知，则2012考研8例2. 设试确定常数 a , b 使 f ( x ) 处处可导, 并求( P53 例3 )解:时时9利用在处可导 ,即思考:必有是否为连续函数 ?

3、10例3. 设求复合函数的导数 , 并讨论的连续性 .解:1112例4 设函数解(2005 考研），则在内（ ）；A、处处可导； B、恰有一个不可导点；C、恰有两个不可导点； D、至少有三个不可导点。在显然可导，13例4 设函数解(2005 考研），则在内（ ）；A、处处可导； B、恰有一个不可导点；C、恰有两个不可导点； D、至少有三个不可导点。在分段点处，所以为不可导点；则共有2个不可导点。C处，所以在分段点为不可导点；14例5 设函数解(2005 考研）连续，求极限令原式由积分中值定理 或原式15例6. 设有求解: 在中, 令得令 x = 1 ,得 C = 0 ,故16例7. 设函数的反

4、函数及均存在 , 且求解:及172. 试从 导出解：同样可求(见 P103 题4 )18例7. 设函数的反函数及均存在 , 且求及19例8、求的值，使函数在处可导，并求 解 函数在x = 0处连续有则函数在x = 0处可导有20例9. 设曲线方程为求解: 已知曲线的参数方程为则21例10.设函数(2005 考研）是由参数方程在处的法线与x轴交点的横坐标.解 时，解得由于的定义域为，所以，该处法线的斜率为法线方程，令，得为法线与x轴交点的横坐标。求曲线确定，22例11. 求下列函数的 n 阶导数 :解:(1)23例12 设解得，求 由公式 和莱布尼茨公式24例13 试确定常数的值解 根据题设和洛

5、必达法则，由于得解得 使得(2006 考研）252-2 微分中值定理的理解及其应用方法 (P65)一. 方法指导1. 微分中值定理的理解及它们之间的关系(1) 几个中值定理的关系 ( P71 图2-4 )26罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理27(2) 中值定理的条件是充分的, 但非必要.可适当减弱. 因此例如, 设在内可导,且则至少存在一点使证: 设辅助函数显然在上连续,在内可导,由罗尔定理可知 , 存在一点使即阅读 P85 例13 , 例1428二. 实例分析例1. 当 时, 试证(P76 例2)证: 设当 时,在上满足拉氏中值定理条件, 因此有解出, 则时29又因及在单调递

6、增 , 于是 说明: 中值定理只告诉位于区间内的中值存在 , 一般不能确定其值 , 此例也只给出一个最好的上下界 .302、(1)证明拉格朗日中值定理，若函数(2009考研）证明（1） 令在上连续，在内可导，则存在使得由题意可知在上连续，在内可导，根据罗尔定理可得，存在使得且即存在使得，31第三讲 导数的计算方法 及微分中值定理 的应用322、 (2)证明：若函数(2009考研）证明（2）对于任意的在处连续，在内可导，且,则存在，且，函数在上连续，在内可导，由右导数定义及拉格朗日中由于 , 故 存在，且 值定理有33例2. 设函数在内可导, 且证明在内有界. (P77 例3)证: 取点再取异于

7、的点对在以为端点的区间上用拉氏中值定理得( 界于 与 之间)令则对任意即在内有界.34例3. 设在上连续, 在证明存在内可导,且使证:因为所证结论左边为设辅助函数由于上满足拉氏中值定理条件,且易推出所证结论成立 .在35例4. 设函数在上二阶可导, 且证明至少存在一点使分析: 在结论中将换为得积分证: 设辅助函数因在上满足罗尔定理条件,所以存在因此在上满足罗尔定理条件,故必存在使即有使36例5. 设函数在上连续, 在但当时内可导,且求证对任意自然数 n , 必有使分析: 在结论中换 为得积分因所以证: 设辅助函数显然在上满足罗尔定理条件,因此必有使即37例6. 设在上连续, 在证明存在内可导,

8、且使证:转化为证设辅助函数由于它在满足拉氏中值定理条件,(P118 题8)即证因此存在使38再对转化为证在上用拉氏中值定理 ,则存在使因此39例7（1）证明方程在内有且仅有一个实根。（2）记上式方，证明存在，并求此极限。则 在 上连续，且由闭区间上连续函数的零点定理知，方程在内至少有一个实根。当时，故 在内单调增加。综上所述，方程2012考研程的实根为证 （1）令40综上所述，方程在内仅有一个实根。知数列有界，又 因为 所以，,于是有 即 单调减少。综上所述，数列单调有界，故收敛，记 ，由于 令 ，并注意到，则有解得 ，即 （2） 解 由41例8. 已知函数内可导, 且证: (1) 令故存在使

9、 即(2005 考研）42内可导, 且(2) 根据拉格朗日中值定理, 存在使3. 已知函数43二阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足例9. 设函数证:据泰勒定理, 存在使 由此得即有(2007 考研）情形1.则有内具有44阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足情形2.因此据零点定理, 存在即有则有12. 设函数应用罗尔定理得内具有二45例10. 设函数在上三阶可导, 且设使证: 因因因此试证存在利用二阶泰勒公式 , 得46例11. 设函数在上二阶可导,且证明(P78 例5)证:由泰勒公式得两式相减 , 得47例12. 设函数在上二阶可导, 且证明方程内有且仅有一根 . (P80 例9)证: 在在上由泰勒公式可知因所以又因利用的单调性及连续函数零点定理 , 可知在内有且仅有一根 .48例13.设函数上具有二阶导数，且满足证明序列发散. 证：故序列发散. (2007 考研）49例14设上可导，且 证明在内必有唯一的