9几个算符的本征值问题

1、 第九讲（2学时）一、授课题目：动呈算符、角动呈算符二、教学匸I的及要求：熟悉动虽算符的厄米性及其条件，动虽算符木征值和本征函数的不同选择，角动呈算符的木征值和木征函数三、教学重点与难点：动虽算符的厄米性条件和木征函数归一化，角动虽算符的本征值和木征函数四、教学过程1、动显:算符在显子力学中.动晁算符为方任直角坐标系下的三个分显为A=-/:,=-/：p.=-ihdxdy*dz符的*-恫沖）=內卫）其分駅形式为-沖2中=阳阿dxQQ用分离变虽的形式求解.设中卫）=札飒则方程的解为匕（刁=6冲（討./）正是自由粒了的deBroglie波。由归化*件得常数为8CO8.8.J叮以厂Jexp他厂八）习必

2、Je迎*-”，）刃妙Jexp*g-pJ4龙8CO8二k（2尬）5（a-P05（A-八）（A一八）二必耐逾-万）取，则波函数可以归一化为一个5函数。（2祐）所以动虽算符的本征函数为卩”（刁=（占）exp（彳?）动显算符的本征函数之所以不能归一.而是一个5函数.是因为动显:算符的本征值可以取任色的实数.本征值组成连续谱的原因。任何连续谱的算符的本征函数都只能归一为一个5函数。任些具体的问题中.粒了在有限的范用内运动.我们如果加上适肖的边界条件.则可以是动屋的本征值取分立的不连续的值而且波函数也可以归化。这种情形叫箱归化。设粒子被限制在个边氏为z的箱了里.取箱的中心为坐标原点。波函数满足周期性边界条

3、件.即在点（-,-）和（-纟丿二）处波函数值相同,同理在（上,二）和（兀-2二）处波函数值相同.在（兀j;2）和（乂旳-三）处波函数值相同。我们町以从平面波出发來确定波函数和本22征值.也町以从本征方程出发來确定波函数和本征值。实际上.本征值方程为-市理=阳解得y/(-r)=Cexp(A)dxh由讥彳)=讥一彳)得Oexp(fp)=Cexp(-Ay)所以exp(/?/)=1U|1、p上=2再fth本征值为同理，有=竺越，夕=沁yLL # #这里常数w.=0+1,2,为整数。这时.本征波函数为y/（7）=Cexpi（27.r+r+27.r）。由归-化条件得hLLLL7TTJJJI步Fdxdydz

4、=Ct=1LLL6命0=尹exp乎(咸y+jr-)222所以归一化常数这样归-化的波函数为讨论：由p严辺色q=竺巴，戻=匹丄可以看山相邻两本征值的间隔LLLFi4=与Z成反比。当Z选的足够大时.本征值间隔町任意小.当Z-8时.本征值变成L为连续谱。从这里可以看只有分立谱才能归一化为一连续谱归一化为=rx(-防可它的三个分虽为 #在显子力学中.我们经常要用到角动显平方算符。其定义为=2?x+z/+z?它在直角坐标系中的农达式为22=-卅(；_r)2+(r_-r)3+(x_)2ctdi*drdrdi*dx由于这个表达式中含有关于坐标x9yt-的偏导数的交叉项.因此在求解本征值方程时.无法用分离变显

5、法.为此.我们引入球坐标系下的表达式.它在许多情形下是比较方便的。j=尸sin&cos0丁=尸sin8sin(fr=rcosO球坐标和直角坐标的关系：TOC o 1-5 h z严=F+丿丿+(1)cosO=r/r(2)tan0=j/才(3)5少则一=sinOcos(p=sin8sm0=cos6dxdydzdeAr=COS0COS0一=cosGsin(bQrdea?-sm6d(p1sin0dxrsin6d(p_1cos(pQrfsin6得本征值为L：=mti加=0,11,12, # #占&drddedd(PdqAd1a.dSin0d所以。有一=+=sm&cos0+-coscos一dxdxdrdx

6、d6dx50&rd6/-sin6d()ddrddddd(pd八013cos0d=+=sin0sin0+cossm0+TQr少劲.dOQrd(p3】d6/-sin6d(pdzdzdrdzd6dzd(pdrrd6代回到表达式中.有TOC o 1-5 h zdIdd2(=-加sinOsin0cos&-厂sin&sin(p-厂cosBsin6sin0-dr/dddr-/cos26sin(p-rcQs6l0S+cot0cos/)7-dd7sm6dtpde如2,=-z/?(rcos6sinOcoz(p+rcos20-cos01-/sin6cos0cos6+rsinOcos0-sindrrdIdL.=一仍(

7、尸sin&cos0sin0+sin&cos0cosOsm0+drrdd+/smOcostpJ&_/sm?8sincos-rsin6sin0-cos6cos(/-rsin6d(p&fd6+/smOsin0.心0匕)二-/?rsm6d(fd(f由此得屁创爲将伽哙+岛空2ed(i2P”得本征值为L：=mti加=0,11,12, # # #得本征值为L：=mti加=0,11,12, # #（2）角动毘算符的本征值方程我们先看Z的本征值方程-仍2讥g）=厶讥叭解之得心）=3（护这里c是枳分常数.也是归化常数。利用波函数的单值性.有i/(0)=y/(0+271)=exp(Z.2)=1所以h=K由归一化T诂

8、所以波函数可以写成0竹(0)=亠另外波函数还满足正交条件可以证明厶是厄密算符。我们再来看2的本征值方程-阳-(sme2)+尸(&4)=彼v(e,0)sinededesin26dp2这个方程正是我们在数学物理方法中熟悉的球谐函数.为使波函数F(e,0)在0s6n内都有限.a不能取任恿值而必须满足A=Z(Z+l),Z=0丄2,3,而波函数记为794)=(-1厂必7f(cose)RT这里w=Q丄2,厶另外有=(-1广人询(Q0)加S,.波函数满足正交归一化条件jJ丫；(&4)乙(e，0)sina/刑=bgo。归一化常数N_/(/-MD!(2/+1)伽*(/+|加|)!4兀所以角动虽平方算符的本征值为

9、a=z(z+1)护相应的本征函数为7(64)。另外还可以证明LYlw=mYiM即球谐函数也是的本征函数.本征值是处。3)本征值的简并度由于/表示角动虽的大小.因此称角显:子数而加叫瞰51:了数。可以看出.对于本征方程恋=/(/+1)恋得本征值为L：=mti加=0,11,12, # #当/给定后.磁显了数加的取值为O+UX，土/共有2/+1个值.因此在同一个本征值K有2Z+1个不同的波函数.我们把一个本征值对应多个波函数的请况叫简并.波函数的个数叫简并度.冈此角动晁平方算符的本征值的简并度为2/+1。由于Z几=沏/所以厶=皿即在同一个角动虽值下角动虽在Z轴的投影有2/+1个值。由于坐标轴的选収是任意的.冈此.角动显在任意方