苏教版高中数学选择性必修一第1章1.1《直线的斜率与倾斜角》课件

1、苏教版高中数学课件1.1 直线的斜率与倾斜角我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？导语一、直线的斜率问题1交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k .若k0，则表示上坡，若k0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是

2、如何来刻画道路的倾斜程度的呢？提示坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦.问题2若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1x2时，你能用一个量反应直线l的倾斜程度吗？问题3运用k (x1x2)计算直线AB的斜率时，需要考虑A，B的顺序吗？对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(1)如果x1x2：知识梳理(2)如果x1x2，那么直线l的斜率不存在.注意点：直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式.例1如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3,2).(1)试计算直线l1，

3、l2，l3的斜率；解由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在.设它们的斜率分别为k1，k2，k3.(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率.解当a3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在.反思感悟(1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”.(2)由例题中图可以看出：当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合.跟踪训练1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)

4、C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10)；(4)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.解不存在.因为xPxQ3，所以直线PQ的斜率不存在.解当a3时，斜率不存在；二、直线的倾斜角1.直线的倾斜角(1)倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按 方向旋转到与直线重合时，所转过的最小 也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角称为这条直线的倾斜角.(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为 .(3)倾斜角的范围为 .逆时针正角00，)知识梳理2.直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的

5、点，直线l的倾斜角为，则：(1)当y1y2时(此时必有x1x2)， .(2)当x1x2时(此时必有y1y2)， .(3)当x1x2且y1y2时，tan .090例2(1)(多选)下列命题中，正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为30C.倾斜角为0的直线有无数条D.若直线的倾斜角为，则sin (0,1)解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.D中，当0时，sin 0；当90时，sin 1，故D错误.(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，

6、得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为A.45 B.135C.135 D.45解析根据题意，画出图形，如图所示.通过图象可知，当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.(2)注意倾斜角的范围.跟踪训练2已知直线l1的倾斜角为115，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120，如图所示，求直线l2的倾斜角.解l1与l2向上的方向之间所成的角为120，l2与x轴交于点B，倾斜角ABx12015135.三

7、、倾斜角和斜率的应用问题4当直线的倾斜角由0逐渐增大到180，其斜率如何变化？为什么？提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.设直线的倾斜角为，斜率为k.的大小009090900增大k0增大注意点：正切函数在0，)上不单调.知识梳理例3已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(，11，).(2)求直线l的倾斜角的取值范围.解由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB

8、的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.跟踪训练3已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2).(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.解如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，1.知识清单：(1)直线斜率的定义和斜率公式.(2)直线的倾斜角及其范围.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.课堂小结随堂演练1234

9、1.(多选)下列说法正确的是A.若是直线l的倾斜角，则0180B.若k是直线的斜率，则kRC.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12342.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45，则m等于A.2 B.1 C.1 D.21234解析设直线AB，BC的斜率分别为kABkBC，A，B，C三点共线，kABkBC，4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角的取值范围是_.(其中m1)1234解析当m1时，倾斜角90；090故090.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.下面选项中，两点确定的直线的斜率

10、不存在的是A.(4,2)与(4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3，1)与(2，1) D.(2,2)与(2,5)解析D项，因为x1x22，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90，斜率不存在.2.(多选)已知直线斜率的绝对值为 ，则直线的倾斜角可以为A.30 B.60 C.120 D.15012345678910111213141516故直线的倾斜角为60或120.123456789101112131415163.已知经过点P(3，m)和点Q(m，2)的直线的斜率为2，则m的值为12345678910111213141516所以kABkAC，123456789101112131415161234

11、56789101112131415166.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是A.0,2 B.0,1解析如图所示，当直线l在l1的位置时，ktan 00；故直线l的斜率的取值范围是0,2.7.已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135，则点P的坐标为_.12345678910111213141516(3,0)或(0,3)12345678910111213141516解析由题意知，kPA1，若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m1)，解得m3，即P(3,0).若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，解得n3，即P(0,3).综

12、上，点P的坐标为(3,0)或(0,3).8.若经过点A(1t,1t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是_.12345678910111213141516因为直线的倾斜角为钝角，(2,1)解得2t0，解得1m1.123456789101112131415161234567891011121314151610.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知BOD60，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.解在菱形OBCD中，ODBC，BOD60，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60，所以kODkBCtan 60 .因为CDO

13、B，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0，所以kOBkCD0，由菱形的性质，知COB30，OBD60，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30，120，123456789101112131415161234567891011121314151611.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是A.2 B.1 C.1 D.2综合运用解析设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A (a2，b2)，12.已知点A(2,3)，B(3，2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是直线l与线段AB始终没有交点，1234567891011121314151612345678910111213141516(，11，)综上，直线l的斜率的取值范围是(，11，).14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，AOy15，则斜边AB所在直线的斜率为_.12345678910111213141516解析设直