矩阵秩以及其求法

1、关于矩阵的秩及其求法第一张，PPT共二十二页，创作于2022年6月21. k 阶子式定义1 设在A中任取k 行k 列交叉称为A的一个k 阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念设，例如矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为第二张，PPT共二十二页，创作于2022年6月3设，共有个二阶子式，有个三阶子式。例如而为 A 的一个三阶子式。显然，矩阵 A 共有个 k 阶子式。第三张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2. 矩阵的秩设，有r 阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。 子式(如果存在的话)全为0 ,定义2称r为矩阵A的秩，二、矩阵秩

2、的求法1、子式判别法(定义)。 例1为阶梯形矩阵，求R(B)。解，由于二阶子式不为0，所以 R(B) = 2.第四张，PPT共二十二页，创作于2022年6月例2求R(A)。5解：存在一个三阶子式不为0，所以 R(A) = 3.A没有4阶子式，第五张，PPT共二十二页，创作于2022年6月6例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”非零行的行数。第六张，PPT共二十二页，创作于2022年6月7如果求 a .解或例3 设分析：R（A)3,A所有的3阶子式为零，即A的行列式为零。第七张，PPT共二十二页，创作于2022年6月8则例3A有非零的1阶子式，但A所有的2阶子式都为0，所以R（A）=1舍去

3、K=1。得K=-3。分析：R（A)=34,A所有的4阶子式为零，即A的行列式为零。第八张，PPT共二十二页，创作于2022年6月92、用初等变换法求矩阵的秩定理1 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即则注：只改变子行列式的符号。是 A 中对应子式的 k 倍。是行列式运算的性质。第二种求矩阵A的秩方法：1）2）R（B）等于非零行行数，第九张，PPT共二十二页，创作于2022年6月10例4解R(A) = 2 ， 求第十张，PPT共二十二页，创作于2022年6月求矩阵的秩。解所以R（A）= 2 。例5第十一张，PPT共二十二页，创作于2022年6月12例6第十二张，PPT共二十二页，创作于2022年6月

4、Ex1. 求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。解先求A 的秩，对A 作初等行变换化为行阶梯形：故R（A）= 3 。第十三张，PPT共二十二页，创作于2022年6月再求A 的一个最高阶非零子式。因R（A）= 3 ，知A 的最高阶非零子式为 3 阶，返回易计算A 的前三行构成的子式因此这个子式便是A 的一个最高阶子式。第十四张，PPT共二十二页，创作于2022年6月15三、满秩矩阵称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）可见：A 为 n 阶方阵时，定义3对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等

5、阵左乘A,由此得到下面的定理.定理2设A是满秩方阵，则存在一系列初等方阵使得第十五张，PPT共二十二页，创作于2022年6月16例7A为满秩方阵。此过程相当于第十六张，PPT共二十二页，创作于2022年6月17关于秩的一些结论（熟记）：规定： 零矩阵的秩为 0 .(1) 根据行列式的性质，(2) A为mn矩阵, 0 R(A) min m , n .定理3 R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。设A是矩阵，B是矩阵，定理4推论1 如果 A B = 0 则推论2 如果 R(A)= n, A B = 0 则 B = 0。推论3 若A,B均为 矩阵，则第十七张，PPT共二十二页，创作于2022年6月18设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）n证： R（A+E）+ R（ E-A ） R(A+E)-(A-E) =R（2E）=n R（A+E）+R（A-E）n例8推论3 若A,B均为 矩阵，则第十八张，PPT共二十二页，创作于2022年6月19作业P109 1 2 3第十九张，PPT共二十二页，创作于2022年6月性质1证明：