函数的极限99221课件

1、 第一章 二、自变量趋于有限值时函数的极限第三节一、自变量趋于无穷大时函数的极限下页 结束 函数的极限 三、函数极限的性质四、小结一、自变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 一、自

2、变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义： 上页 下页 返回 结束 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,记作A 为函数几何解释: 上页 下页 返回 结束 例7. 证明证:取因此注:就有故欲使即 上页 下页 返回 结束 补例证 上页 下页 返回 结束 注:直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如， 上页 下页 返回 结束 二、自变量趋向有限值时函数

3、的极限 上页 下页 返回 结束 1、定义： 上页 下页 返回 结束 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或若记作当时, 有2、几何解释:注意： 上页 下页 返回 结束 使得当定理2(P36函数极限的局部有界性)这表明: 如果那么存在常数时，有 上页 下页 返回 结束 例1证例2证 上页 下页 返回 结束 例3. 证明证:欲使取则当时 , 必有因此只要 上页 下页 返回 结束 例4证函数在点x=1处没有定义. 上页 下页 返回 结束 例5证 上页 下页 返回 结束 3.单侧极限:例如, 上页 下页 返回 结束 左极限右极限 上页 下页 返回 结束 例6.

4、设函数讨论 时的极限是否存在 . 解: 利用定理 .因为显然所以不存在 . 上页 下页 返回 结束 左右极限存在但不相等,补例证 上页 下页 返回 结束 三、函数极限的性质2.有界性（前面已讲）1.唯一性 上页 下页 返回 结束 使得当定理2(P36函数极限的局部有界性)如果那么存在常数时，有函数极限的保号性定理定理3 . 若且 A 0 ,证: 已知即当时, 有当 A 0 时, 取正数则在对应的邻域上( 0)则存在( A 0 )(P37定理3) 上页 下页 返回 结束 若取则在对应的邻域上 若则存在使当时, 有定理3(P37 定理3)分析: 上页 下页 返回 结束 推论 . 若在的某去心邻域内

5、, 且 则证: 用反证法.则由定理 3,的某去心邻域 ,使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证的情形)思考: 若推论 中的条件改为是否必有不能! 存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故 上页 下页 返回 结束 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理4 上页 下页 返回 结束 证 上页 下页 返回 结束 例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. 上页 下页 返回 结束 补例证 上页 下页 返回 结束 二者不相等,四、小结函数极限的统一定义(见下表) 上页 下页 返回 结束 过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 函数极限的或定义及应用2. 函数极限的性质:思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且