苏教版高中数学选择性必修一第4章习题课《等差数列的性质》课件

1、苏教版高中数学课件等差数列的性质同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说ann，这是一个正整数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2,4,6,8,10容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质.导语一、由等差数列构造新等差数列问题1若数列 是等差数列，首项为a1，公差为d，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？则有b1a1，b6a2，所以b6b1a2a1d，故有5dd，若an，bn分别是公差

2、为d，d的等差数列，则有知识梳理数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为kd的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)例1有两个等差数列2,6,10，190和2,8,14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为A.15 B.16 C.17 D.18解析易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an12n10，而nN*，所以n的最大值为16.反思

3、感悟对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：anan1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数.跟踪训练1已知两个等差数列an：5,8,11，与bn：3,7,11，它们的公共项组成数列cn，则数列cn的通项公式cn_；若数列an和bn的项数均为100，则cn的项数是_.解析由于数列an和bn都是等差数列，所以cn也是等差数列，且公差为3412，又c111，故cn1112(n1)12n1.又a100302，b100399，12n12525，故cn的项数为25.二、等差数列中任意两项之间的关系问题2如果 是等差数列，a35，d2，如果不求首项，你能

4、求数列的通项公式吗？提示由定义可知a3a12d，ana1(n1)d，两式相减得ana3(n3)d，即ana3(n3)d.设等差数列an的首项为a1，公差为d，则(1)andn(a1d)(nN*)；(2)anam (m，nN*)；(3)d (m，nN*，且mn).知识梳理(nm)d例2已知an为等差数列，a158，a6020，求a75.解方法一(利用anam(nm)d)设数列an的公差为d，则a60a15(6015)d845d，方法二(利用隔项成等差数列)因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60a153d

5、，解得d4，所以a75a60d24.反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m1，anam(nm)d即变为ana1(n1)d，可以减少记忆负担.跟踪训练2已知bn为等差数列，若b32，b1012，则b8_.解析方法一bn为等差数列，可设其公差为d，8bnb3(n3)d2n8.b82888.三、等差数列中多项之间的关系问题3若数列 是等差数列，公差为d，mnpq(m，n，p，qN*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？提示由等差数列的定义可知，ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，容易发现aman2a1(mn2)d，apaq2a1

6、(pq2)d，因为mnpq，故有amanapaq.1.下标性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman .2.特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman .注意点：(1)推广：若mnpxyz，则amanapaxayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1ana2an1.知识梳理apaq2ap例3已知数列an是等差数列，若a1a9a177，则a3a15等于A.7 B.14 C.21 D.7(n1)解析因为a1a9a17(a1a17)a92a9a9a97，所以a3a152a92714.延

7、伸探究在等差数列an中，a3a72a1540，求a10.解方法一设数列an的公差为d.则a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.反思感悟等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则amanapaq2ar.跟踪训练3数列an满足3anan1且a2a4a69，则log6(a5a7a9)的值是解析由3

8、anan1，得an1an3.所以an是公差为3的等差数列.又a2a4a69，且a2a62a4，所以3a49，则a43，所以a7a43d33312，故log6(a5a7a9)log6(3a7)log6362.1.知识清单：(1)由等差数列构造新的等差数列.(2)等差数列中任意两项之间的关系.(3)等差数列中多项之间的关系.2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法.3.常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐.课堂小结随堂演练1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于A.3 B.6 C.4 D.3解析由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，123412342.在等差数列an中，a

9、4a515，a712，则a2等于解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.12343.在等差数列an中，a3a74，则必有A.a54 B.a64C.a52 D.a62解析因为a3a72a54，所以a52.12344.在等差数列an(nN*)中，若a1a2a4，a83，则a20的值是_.解析数列an是等差数列，a1a5a2a4，又a1a2a4，a50，15 课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知数列an，bn为等差数列，且公差分别为d12，d21，则数列2an3bn的公差为A.7 B.5C.3 D.1解析由于an，bn为等差数列，故数列2an3b

10、n的公差d(2an13bn1)(2an3bn)2(an1an)3(bn1bn)2d13d21.123456789101112131415162.在等差数列an中，a12，a3a510，则a7等于A.5 B.8C.10 D.14解析方法一设等差数列的公差为d，则a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.方法二由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.123456789101112131415163.已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为A.12 B.8C.6 D.4解析由等差数列的性质，得a3a6a10a13(

11、a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.123456789101112131415164.在等差数列an中，a1a5a7a9a13100，a6a212，则a1等于A.1 B.2 C.3 D.4解析a1a5a7a9a13100，5a7100，a720，a6a212，4d12，d3，a7a16d20，a12.123456789101112131415165.若等差数列an的首项a15，am3，则am2等于解析设等差数列an的公差为d，因为a15，am3，123456789101112131415166.(多选)若an是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是A.|an

12、| B.an1anC.panq(p，q为常数) D.2ann解析数列1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立.若an是等差数列，利用等差数列的定义知，an1an为常数列，故是等差数列，B成立.若an的公差为d，则(pan1q)(panq)p(an1an)pd为常数，故panq是等差数列，C成立.(2an1n1)(2ann)2(an1an)12d1为常数，故2ann是等差数列，D成立.1234567891011121314151612345678910111213141516(a2a6)(a2a10)16，2a42a616，a4a64.41234567891011121

13、31415168.设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.解析因为数列an，bn都是等差数列，所以数列anbn也构成等差数列，所以2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，所以2217a5b5，所以a5b535.35123456789101112131415169.在等差数列an中.(1)已知a2a3a23a2448，求a13；解根据已知条件a2a3a23a2448，得4a1348，a1312.12345678910111213141516(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.解由a2a3a4a534，得2(a2a5)34，即a2a517，若a3

14、a8a1312，则3a812，则a84，又由a3a8a1328，得a3a13(45d)(45d)7，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求a23的值.则a2313或5.综合运用11.在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9 a11的值为A.14 B.15 C.16 D.17解析设公差为d，a4a6a8a10a12120，5a8120，a824，123456789101112131415161234567891011121314151612.等差数列an中，若a2，a2 020为方程x210 x160的两根，则a1a

15、1 011a2 021等于A.10 B.15 C.20 D.40解析a2，a2 020为方程x210 x160的两根，a2a2 02010，由等差数列的性质得2a1 01110，即a1 0115，a1a1 011a2 0213a1 01115.1234567891011121314151613.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有A.a1a1010 B.a2a1010C.a3a990 D.a5151解析由等差数列的性质得，a1a101a2a100a50a522a51，由于a1a2a3a1010，所以a510，故a3a992a510.1234567891011121314151614.已知等差数列an，若a1a2a3a12