《复变函数》期末试卷及答案(A卷)

1、XXXX学院20162017学年度第一学期期末考试复变函数试卷学号(最后两位)QO7.哥级数 (-1)n=0n ,2 n!的和函数是学号和姓 名务必正确清 楚填写。因填 写错误或不清 楚造成不良后 果的，均由本 人负责；如故 意涂改、乱写 的，考试成绩 视为无效。题总分题号一二三四统分人题分30203030复查人得分一、单项选择题(本大题共 10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项， 并将其前面的字母填在题中括号内。)得分评卷人复查人1.Re(iz);(A.- Re(iz)B.Im(iz)C.-Im zD.Im z2.函数 f (z)=:乙在复平面上A.处处不连

2、续B.)处处连续，处处不可导D.C.处处连续，仅在点 z = 0处可导3.设复数a与b有且仅有一个模为1,A.大于1 B.4.设z=x+iy,A. 1 iB.5.设C是正向圆周A. -1B.等于1 C.f (z) = y + ix,则C.处处连续，仅在点 z = 0处解析贝Hg二b的值|1 -ab小于1f (z)=-1D.D.无穷大A. eB.C.D.sinz8.设C是正向圆周A. 0B.-2： i9.设函数f (z)在0 z- z0的充要条件是A.C.10.A.C.6. z=0 是 f (z) =A. 1阶极点B.z =1ez -12- zc. 二 iD. R (0 z0lim f (z)不

3、存在z )ZoD.lnz在z= 1处的泰勒级数展开式为aO(-1)nTQOV (-1)nTn (z-1)n 1z-1n 1n(z-1)z- 1(B.B.D.aO z ndoOzn-0lim f (z) =二 z z)以上都对()(_1)nCz支z-1 ： 1sin zC 1nC zdz =2一：则整数n等于 ()C.D.2阶极点 C.可去奇点D.本性奇点得分评卷人复查人二、填空题11. z= 1 + J2i的共轲复数z =12.设 z = (2 3i)(2+i),则 argz =(本大题共5小题，每题3分，共15分)13.在复平面上，函数f (z) = x2 - y2x+i(2xyy2)在直线

4、14.设C是正向圆周z = 1,则cos5zdz 二z15.若级数Z zn收敛，而级数Z 4发散，则称复级数 zn为nWnA上可导.得分评卷人复查人16.利用柯西-黎曼条件讨论函数1 -i 、20.计算积分f z2dz.得分评卷人复查人三、证明题(本大题共1小题，每小题15分，共15分)三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)f (z) = z的解析性.,2017 ni 一 4,.判断数列zn =20 ni的收敛性.若收敛，求出其极限 n 12.求在映射w=z下，z平面上的直线z = (2+i)t被映射成w平面上的曲线的万程且在C21.试证明柯西不等式定理：设函数f (z)在圆C :

5、 z- z0 = R所围的区域内解析, 上连续，则19.求ez在z = 0处的泰勒展开式产)E其中M是f (z)在C上的最大值.Mn!Rn(n = 1,2,.)x= 2t,(-二二 t ：二)XXXX学院2016-2017学年度第一学期期末考试复变函数答案(A卷)一、单项选择题(本大题共10小题，每题3分，共30分)15 C C B B D6-10 A C A B C二、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)11. 1 - 2i 12. 二-arctan8 13. y =-214. 2n i 15.条件收敛三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)16.解：因 f (z) =

6、z = xiy ,故 u(x, y)= x, v(x, y) = y ,从而 TOC o 1-5 h z 在w = z2映射下，该直线被映射成 w平面上的曲线 22 22w= z2 = (2 i)2t2 = (3 4i)t2于是u = 3t2, v = 4t2,，-4，八、消去 t ,得v=-u (u 0)这是w平面上第一象限内的一条半直线。19.解：因为(ez严= ez(n=0,1,2,.),其展开式中泰勒系数为 f (n) (0)1于是ez在z=0处的泰勒展开式为刃nnnez =，=1 znwn!2!n!,Ut v一丰一, .x二 y因此在任何点(x,y)处,所以f(z)在复平面内处处不解析1i21 3 1 - i 132.解：z z2dz =z3/=(1+i)3 =、(-1+i) 0333五、证明题(本大题15分).证：由假设条件及高阶导数公式，有17.解：而所以zn2016 ni =32i2016一 0,-n-1 （n-）n 1于是（z） =n!2二 ic, f（z）n1d