计算材料学课件：计算材料学1

1、计算材料学II 1 尚 家 香新主楼 D431房间82316500 (O)2. 教学内容 量子力学基础电子结构计算方法及应用分子动力学方法及应用3. 教学安排及方式 4. 考核方式 考试：成绩按100分计。其中期末考试占80，平时成绩占20。第一原理：First-principles, ab initio calculation分子动力学Monte Carlo 方法相场相图计算有限元方法 尺寸基本单元：宏观(Macroscopic)介观(Mesoscopic)微观(Microscopic)时间尺度：ps (10-12s) 年分子动力学腐蚀、疲劳、蠕变晶体结构层内晶粒层状结构试样电子结构2.3

2、经典物理学的困难和量子力学产生19世纪末，物理学普遍存在一种乐观情绪，认为对复杂纷纭的物理现象的本质的认识已经完成。牛顿力学热力学和统计物理麦克斯韦方程：电、磁、光两朵乌云经典物理学在微观领域遇到困难： （1）不能解释黑体辐射的能谱、比热容随温度变化 （2）光的波动说无法解释光电效应 （3）不能给出原子的稳定结构，不能说明原子光谱 的规律。为什么天体能够无摩擦穿行于“以太”？为什么无法测量“以太”速度？黑体辐射的紫外灾难？1. 黑体辐射问题问题的提出：研究黑体辐射与周围物体处于平衡状态 时的能量密度随波长的分布曲线与经典理论不符合黑体：一个物体能够全部吸收投射到它上面的辐射而没有反射。圆圈代表

3、实验数据. 基于热力学基于经典电动力学统计物理学理论物理学家试图用经典物理来说明能量分布规律，都没有成功！维恩1893年用热力学并加上一些假设，得到维恩公式：瑞金公式：只在高频段与实验符合，低频不符合Rayleigh and Jeans利用电动力学导出了另一式子：在低频段与实验符合，而在高频段不符合。在极高频率时能量趋于无穷大。紫外灾难普朗克(理论物理学家)，1900年研究，从实验着手，密切关注实验进展。从鲁本斯得到信息。普朗克公式频率低频率高维恩公式: 瑞金公式普朗克并不满足找到一个经验公式，探求理论基础？经过三个月的紧张工作，试图从热力学普遍理论的基础上推出这个与实验完全一致的公式。但是失

4、败了最后只好“孤注一掷”，采用玻尔兹曼统计分布来试一试，即能量分成一份一份地分给有限个谐振子。普朗克量子假说： 对于一定频率的辐射，物体只能以 h 为能量单位吸收或发射它，h是一个普适常数。 即物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为 在此基础上，推导出：普朗克根据黑体辐射的数据常数，计算出普朗克常数1900年12月14日，普朗克在德国物理年会上报告了他的结果，完成了从经典物理学到量子理论的第一个飞越，开创了量子理论的先河。1918年获奖普朗克常数相对论力学退化为牛顿力学h的作用可以忽略，量子力学退化为经典力学2. 光电效应 1902年Lenard发现了光电效应： 19

5、05年获奖 (1) 要从一个给定的金属表面获得电子，只有大于 一定频率的入射光才是有效的；(2) 发射出来的电子最大速度不依赖于光的强度，只与光的波长有关，波长减小时电子动能增加。1905年Einstein在普朗克量子假说的启发下，大胆地提出了光量子的假说。光是由光量子组成，每个光量子的能量与频率的关系为：根据能量守恒定律，得出Einstein 光电方程还没有得到承认；但同时实验工作者开展了全面工作。密立根(1905)1914从实验上证实了Einstein 光电方程。1919年康普顿散射实验进一步证明光有粒子性，（1927年获奖） 高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后,波长随入射角的增大而增

6、大.按照经典电动力学,电磁波被散射后波长不应改变.如果把这个过程看作是光子与电子碰撞的过程,就可以解释这个过程.以上三个实验说明： 光 既有波动性又有粒子性 即波粒二象性Einstein1921年获奖密立根1923年获奖3. 原子结构的困难（1）Rutherford 提出了原子的有核模型，1908化学奖 1910发现原子的有核模型原子的稳定性问题：原子就不稳定，最后落入原子核中，致使整个原子塌陷而实际上并非如此。电子绕原子核做高速旋转（2）原子光谱原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱线是一样的。1885年Balmer 给出了计算氢原子光谱的公式为：根

7、据经典物理，如果电子绕原子核做高速旋转，辐射频率应该是连续的。而且原子也不稳定。无法解释实验现象？（3）玻尔的原子结构理论玻尔量子论（假设）原子中电子只能处于一系列特定轨道电子在这些轨道上可以稳定运动，不辐射电磁波，但可以突然从一个轨道跃迁到另一个轨道，同时吸收或放出能量（电磁波），频率为量子化条件：广义动量广义坐标周期运动积分电子落入核中 光谱连续复杂光谱 光谱强度 有核模型经典模型 量子化条件 玻尔理论导致困难导致玻尔理论的局限：将微观粒子看成经典力学中的 质点，不能解释稍复杂原子(氦)的谱线。也 不能给出处理谱线强度的方法。2.4 微粒的波粒二象性1924年，法国青年德布罗意逆向思维：光

8、：波 =粒子 ； 反之： 粒子波？大胆提出：实物粒子具有波动性. 波矢运动方向单位矢量其中德布罗意关系德布罗意在他的博士论文提出：在一定的情形下，任一运动质点能够被衍射。穿过一个相当小的开孔的电子群会表现为衍射现象。正是这一方面，有可能寻得我们观点的实验证据。问：有没有办法验证这一新的观点？答：通过电子在晶体上的衍射实验，应当有可能观察到这种波动的效应。被1927年戴维革末的电子衍射实验证实德布罗意1929年获得Nobel奖电子被有序合金Cu3Au衍射照片电子具有波动性，验证德布罗意的预言。根据德布罗意关系：可以计算任何实物粒子的波长（物质波）对于自由粒子，动能和动量都是常量，所以与自由粒子对

9、应的德布罗意波长不变，因此可以用平面波来描述：用复数表示波函数自由粒子的波函数用复数表示：为什么？求自由粒子的德布罗意波长设自由粒子的动能为E，粒子的速度远小于光速，有则德布罗意波长为：如果电子用v伏电压加速，则代如上式得:如v=150伏，则如v=10000伏，则所以要观察电子衍射，用普通光栅不行，必须采用晶体作光栅。例1. 设有一个重为m=50kg的短跑运动员，以v=10ms-1 的速度运动，求其相应的德布罗意波长。解 : 该运动员的动量为P=mv=500kg. m. s-1相应的德布罗意波长为:答:运动员相应的德布罗意波长为1.521036m。讨论：他的德布罗意波长与自身的尺寸相比太小。例

10、2. 求能量为100eV的自由电子的德布罗意波长。解：由计算德布罗意波长公式可知讨论：电子的德布罗意波长远大于它本身的 尺寸，它的波动性不能忽略。答:略（利用德布罗意关系式，讨论波动性与粒子性的关系.）2.5 波函数 薛定锷方程 (1) 薛定锷方程 其中E为能量本征值， 为描述体系状态的波函数，H为体系的哈密顿量， 定态问题，即 不随时间改变，可得到定态薛定锷方程 (2) 定态薛定锷方程 定态薛定谔方程推导有一种特殊情况，势场不随时间而变:用分离变量法解方程设VVVV左、右两边变量独立，两边必为常数，记为E同除上式两端得VV其中E的物理意义是粒子的总能量由（2）V方程定态薛定谔方程对给一个具体

11、问题，就给定一个 ，由(3)解出 满足方程能量本征函数(4)(6)(5)(7)VVV能量算符哈密顿算符能量本征方程能量本征函数， 本征值(7)V 若能量本征方程 的本征值为：本征函数为：则体系的第n个定态波函数为通解应为其中Cn由初始条件定波函数绝对值的平方为粒子在空间一点出现的几率，由波函数可以得出体系的各种性质 ，因此说波函数描写体系的量子状态表示在r点处 的体积元xyz中找到粒子的几率.归一化条件(3) 波函数统计解释波函数的标准条件: 有限性, 连续性和单值性边界条件和归一化条件. (4) 态叠加原理 也是可能的态。如果是体系的可能状态，则他们的线性叠加态迭加原理推广到更一般的情况：如

12、果 是粒子可能的态，则意义: 当体系处于线性叠加态时, 粒子既可处在1态,也可处于2态. 测量时将会发现, 粒子分别以一定的几率存在2.6 算符和力学量 3 1.算符：作用在一个函数上变成另一个函数的符号。 通常使用 表示算符，则其定义可表示为：2. 本征值方程如果算符 作用于一个函数 ，结果等于 乘以一个常数的本征值本征函数本征值方程动量算符：坐标算符：能量与哈密顿算符相对应怎样得到的？如果量子力学中的物理量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经典表示式 将P换成算符 即得算符与它表示的力学量之间的关系？体系处于哈密顿算符本征态，能量有确定值，这个值就是H在本征态时本征值

13、。只有量子力学中才有, 而经典力学中没有的力学量(自旋)算符的引进到后面再讲.3. 厄米算符定义：如果 满足下式，叫厄米算符其中， 和 都是任意函数， x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。基本假设：如果算符力学量 表示力学量F，那么 当体系处于 的本征态时，力学量有确定值， 这个值就是 在这个态中的本征值。力学量的数值都是实数。厄米算符的性质：（1) 厄米算符的本征值是实数（2）厄米算符属于不同本征值的本证函数相互正交属于动量算符不同本征值的两个本征函数相互正交一般地，如果两函数 满足关系式：式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称相互正交。可以证明:厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。（3）厄米算符本征函数组成完全系 如果一套本征函数 能将任一函数 线性组合而成则这套本征函数就是一个完全系。厄米算符本征函数组成正交归一完全系4. 力学量与算符的关系（基本假定）量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，他们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数 所描写的