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1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2017年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1. 设是定义在R上的函数，对任意实数有又当，则的值为_.2. 若实数满足，则的取值范围是_.3. 在平面直角坐标系中，椭圆C的方程为，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为_.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是_.5. 正三棱锥将其面积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为_.

2、6. 在平面直角坐标系中，点集.在K中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为的概率为_.7. 在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若,ABC的面积为，则的最小值为_.8. 设两个严格递增的正整数数列，对任意整数n,有，二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9. （本题满分16分）设k,m为实数，不等式成立。 证明：10. （本题满分20分）设是非负实数，满足求的最小值和最大值.11. （本题满分20分）设复数（其中表示复数的实部）. （1） （2）求参考答案及解析一，填空题：【答案】【解析】由条件知，所以2. 【答案】【解析】由于，

3、故，由可知，.因此当时，有最小值-1（这时）；当.由于的值域是，从而3. 【答案】【解析】：易知.设P的坐标是则其中4. 【答案】75【解析】考虑平稳数综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=755. 【答案】【解析】设AB,PC,的中点分别为K,M，则易证平面ABM就是平面，由中线长公式知所以又易知直线PC在平面上的射影是直线MK，而CM=1，,所以故棱PC与平面所成角的余弦值为6. 【答案】【解析】易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为种.将K中的点按右图标记为,其中有8对点之间的距离为.由对称性，考虑取两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有个三点组（不计每组中三点的次序）.对每个两点与之距离为（这里下标按模8理解），因而恰有这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56-8=48，进而所求概率为7. 【答案】【解析】由条件知，,故由于，进一步可得,从而8. 【答案】13,20【解析】有条件可知：均为正整数，且，由于，故.反复运用的递推关系知因此而， 另一方面，注意到 得到唯一的正整数，得到唯一正整数，此时综上所述，的所有可能值为13,209. 【证明】 4分 16分10.【证明】解：由柯西不等式时不等式等号成立，故欲求的最小值为1， 5分因为时不等式等号成立，故欲求的最大值为.20分11，【答案】解：（1）对因此又

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