1 数学建模概论

1、数学模型概论 广州中医药大学数学模型课程教师简介:田振明(讲师)经济与管理学院数学教研室(经管楼210室)33194795(H) ; 39358502(O学模型课程简介我们的目的:1 开拓学生的视野，增进对世界的认识,了解专业以外的世界与经济社会;2 准备选一部分同学参加每年一次的全国大学生数学建模竞赛;数学模型教学大钢课程内容提纲及学时安排（总课时：36学时） 第一章 数学模型概论 9学时 第二章 初等数学模型的理论与方法 6学时 第三章 优化数学的应用模型 6学时 第四章 代数模型的理论与方法 6学时 第五章 离散数学模型 6学时 第六章 微分方程的数学模型 3学

2、时数学模型对学生的要求1 不限专业，不限年级。2 想学, 好学, 敢学, 能学。3 考试方式: 考勤+开卷考试 绪论1 现状： 数学模型是一门新兴的学科，20世纪70年代初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来越得到重视。原因：一是由于新技术特别是计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。二是社会对大学生的要求越来越高 ，大学生毕业后要适应社会的需求，一到

3、工作岗位就能创造价值。2 课程特点很强的实用性：教材的内容来自于实际。知识的广泛性：依赖于各方面的基础知识。内容的趣味性：有些问题就象是做游戏，引人入胜。教学方式的多样性：教师讲授方式，小组讨论方式， 学生报告方式，课堂教学方式，课外教学方式等。3 教学目的培养学生解决实际问题的综合能力。1）“双向翻译”能力 2）运用数学思想进行综合分析能力3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力4）观察力和想象力 5）提高撰写科研论文的能力6）团结协作的精神4 教学用书与参考书1田振明,数学模型,广州中医药大学数学教研室,2006年1月参考书:2 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版).高等教育出版

4、社. 数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。1.1 数学模型与数学建模 数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。3）姜启源（中）的定义

5、：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间

6、最短的路径前进”牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二 定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律 方法论: “推测(prediction)”在数学模型研究中的地位-基本形式：“若A则B”（If-A-then-B） (不同的前提条件,得到的结论(结果)是不同的.) -规格（凡事皆有规律） 来自一套理论 可检验： （1）可错；（2）可观察 -检验 -再提升、一般化数学建模的分析方法 数学建模的分析方法 约束条件是重点：简化真实最蠢的是解释不存在的现象数学模型解释：观察、问题、提出前提是真实的并可操作的假说、检验、一般化汽车与它的安全设施.快餐店现象(麦当劳

7、、肯德基、火锅店)与其自助餐；金币掉在大街上，将会发生什么？切蛋糕：技术、人、规则食堂的规则。举例 1、两个男孩各骑一辆自行车，从相距2O英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1O英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？例 1答案:每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍

8、蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。据说，在一次鸡尾酒会上，有人向约翰.冯.诺伊曼（John von Neumann, 19031957,20世纪最伟大的数学家之一。）提出这个问题，他思索片刻便给出正确答案。提问者显得有点沮丧，他解释说，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。例 2 有一列长为100米的队伍正在行进中, 位于队尾的通信员要

9、去队头送信, 当他从队尾到达队头再返回队尾时,整个队伍恰好前进了100米,问这位通信员实际共走了多少米?(假设队伍与通信员的速度都是恒速的)答案: 100 (1+ ) 例（万有引力定律的发现 ） 十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。1.行星轨道是一 个椭圆， 太阳位于此椭圆的一个焦 点上。 2.行星在单位时间

10、内 扫过的 面积不变。3.行星运行周期的平方正比 于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而 改变 （绝对常数）开普勒三大定律 这其中必 定是某一 力学规律 的反映，哼哼，我 要找出它。 如图，有椭圆方程 :矢径所扫过的面 积A的微分为:由开普勒第二定 律:常数立即得出:即:椭圆面积由此得出常数简单推导如下：行星r太阳我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：进而有 加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是因此得出由于也就是说行星的加速度为由开普勒第三定

11、律知为常数。若记那么就导出著名的 万有引力定律：再将椭圆方程 两边微分两次，得将前面得到的结果和焦参数代入，即得 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也应当借助 计算机 求出数值解。 1.2 数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用1.3 数学模型的分

12、类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生 态系统模型 、交通流模型、经 济模型、 基因模型等数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研

13、究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 1.4 数学建模与能力的培养 开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 题的本领。 在最近几年里，我校学生都在只参加了半年左右的学习和实践后，就在全国大学生数学建模竞赛中交出了非常出色的参赛论文，夺得了二等奖5项（2006年国家级二等奖与省级一等奖各一项,省级二等奖与三等奖各三项）、三等奖十几项的好成绩。例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然

14、然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？ 1.5 一些简单实例 似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？附例: 某人家住T市在他乡工作，每天下班后

15、乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？车站家5：30相遇早10钟5分钟5分钟6：005：55共走了25分钟。例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什

16、么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明） 练习1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？AB甲乙37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？一般思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。3甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙

17、两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09 x=8:098:098:194 某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）dAB河例3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如

18、你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见左图。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，

19、从而 L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来 （ 留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D）/v。 DL例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的 ? 不妨假设我

20、们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后 一清洗。 不难看出，是水 的温度在决 定洗盘子的数量 。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为 水不够热了。 那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子， 杀鸡 焉用牛刀？ 不妨可以提出以下 简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为 T2（4）每个盘子的洗涤时间 T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉 不要）根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。 可见 ，假设条件 的提出不 仅和你 研的 问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识 、准备建立什么样的模型以及你准 备研究的深入程度有关，即在你提出假设