《数学分析（下）》教学大纲

1、 数学分析（下）教学大纲前言数学分析（下）是数学各专业非常重要的一门基础课，许多后续课程都是它的延伸、发展或应用，它的主要内容是多元函数的极限和连续，多元函数微分学与积分学，含参变量积分，Fourier级数。通过对本课程的学习，使学生了解和掌握：多元函数极限、连续的基本概念及分析方法；多元微积分的基本知识和应用。本课程注重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，为他们进一步学习现代数学理论和从事实际应用研究打下坚实的基础。先修课程：数学分析（上），数学分析（中），空间解析几何本课程计划：108学时，6学分选用教材：数学分析（上、下册），陈纪修

2、，於崇华，金路，高等教育出版社，2004，第二版教学手段：课堂讲授为主，习题课、课外辅导为辅考核方法：考试教学进度安排表周次学时数主要教学内容教学环节备注16n维Euclid空间，多元函数的极限讲课26多元连续函数及其性质，偏导数，方向导数讲课36多元函数的微分，多元复合函数术导法则讲课46Taylor公式，隐函数存在定理讲课，习题课56偏导数在几何上的应用讲课66无条件极值，条件极值讲课76重积分的定义、性质、计算讲课，习题课86重积分的变量转换讲课96反常重积分的定义与计算讲课，习题课106第一类曲线积分，第一类曲面积分讲课116第二类曲线积分，第二类曲面积分讲课126Green公式，Ga

3、uss公式，Stokes公式讲课136数量场，向量场，梯度，散度，旋度讲课，习题课146含参变量常义积分，含参变量广义积分一致收敛讲课156含参变量广义积分的性质，Bata函数与Gamma函数讲课166Fourier级数，Fourier级数的收敛定理讲课，习题课176Fourier级数的性质讲课186复习习题课第十一章Euclid空间上的极限和连续一、学习目的通过本章的学习，了解几维欧氏空间的有关概念，理解多元函数极限、连续的定义，掌握计算多元函数极限的方法，了解多元连续函数的性质。本章计划9学时。二、课程内容1. Euclid空间上的基本定理Euclid空间上的距离与极限，开集与闭集，Euc

4、lid空间上的几个基本定理，紧集。2.多元连续函数多元函数的概念，多元函数的极限，累次极限，多元函数的连续性，向量值函数极限、连续有关概念与结论。3.连续函数的性质紧集上的连续映射的定义及若干重要性质，连通集与连通集上连续映射的性质。三、重点、难点提示及教学手段重点：多元函数的极限、连续，多元连续函数的性质。难点：多元函数极限的计算，多元连续函数的性质。教学手段：课堂讲授。四、思考与练习见教材中习题第十二章多元函数微分学一、学习目的通过本章的学习，了解多元函数的偏导数、方向导数、全微分的概念及求法，掌握多元复合函数的求导法则，了解多元函数Taylor公式，了解隐函数存在定理及多元隐函数微分法，

5、掌握偏导数在几何上的应用和多元函数极值问题的求法。本章计划27学时。二、课程内容1.偏导数与全微分偏导数的概念及基本求法，方向导数的定义及求法，全微分的概念及计算方法，梯度，高阶偏导数与高阶微分，向量值函数的导数。2.多元复合函数的求导法则多元复合函数求偏导数的链式法则，一阶全微分的形式不变性。3.中值定理和Taylor公式多元函数中值定理，多元函数Taylor公式。4.隐函数一元隐函数存在定理，多元隐函数存在定理，多元向量值隐函数存在定理，多元隐函数偏导数求法。5.偏导数在几何中的应用空间曲线切线和法平面的求法，曲面的切平面及法线的求法。6.无条件极值无条件植的概念与计算方法，多元函数的最值

6、问题。7.条件极值问题与Lagrange乘数法条件极值的概念，Lagrange乘数法三、重点、难点提示和教学手段重点：偏导数与全微分的概念及求法，链式法则，多元隐函数微分法，Lagrange乘数法。难点：多元函数的Taylor公式，隐函数存在定理，向量值函数的导数与微分，Lagrange乘数法。教学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题第十三章重积分一、学习目的了解二重积分的定义、几何意义及可积性分析，理解n重积分的概念和性质，掌握二重积分、三重积分的各种计算方法，了解简单的n重积分的计算，了解反常重积分概念，会求简要无界区域上反常积分。本章计划18学时。二、课程内容1.有界闭区域上的重积分

7、平面上有界点集的面积的定义，二重积分的概念与可积性讨论，n重积分的概念。2.重积分的性质与计算重积分的一些基本性质，矩形区域上二重积分的计算，一般区域上的二重积分的计算，三重积分的计算。3.重积分的变量代换二重积分的变量代换，利用极坐标计算二重积分，三重积分的变量代换，利用柱面坐标及球面坐标计算三重积分，n重积分的变量代换，简单n重积分的计算。4.反常重积分反常重积分的有关概念，反常重积分的计算三、重点、难点提示和教学手段重点：重积分的概念，二重积分、三重积分的计算难点：重积分的变量代换。教学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题第十四章曲线积分、曲面积分与场论一、学习目的了解两类曲线积分、

8、两类曲面积分的概念，掌握曲线积分、曲面积的计算方法，掌握各类积分之间联系及其应用。本章计划24学时。二、课程内容1.第一类曲线积分与第一类曲面积分第一类曲线积分的概念与计算，曲面面积的计算，第一类曲面积分的定义与计算方法。2.第二类曲线积分与第二类曲面积分第二类曲线积分的概念、性质与计算，定向曲面的概念，第二类曲面积分的定义、性质和计算。3. Green公式、Gauss公式和Stokes公式Green公式及其在计算第二类曲线积分中的应用，曲线积分与路径无关的条件，Gauss公式及其应用，Stokes公式及其应用。4.场论初步数量场、向量场的概念，梯度，通量与散度，环量与旋度，Hamilton计

9、算与Lap lace算子。三、重点、难点提示和教学手段重点：两类曲线积分与两类曲面积分的定义与计算，Green公式、Gauss公式、Stokes公式。难点：两类曲面积分的计算，Green公式，Gauss公式，Stokes公式。教学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题第十五章含参变量积分一、学习目的了解含参变量常义积分及反常积分的概念，掌握这两类含参变量积分的分析性质及其应用，了解Bata函数和Gamma函数的定义、性质和应用。本章计划12学时。二、课程内容1.含参变量的常义积分含参变量常义积分的定义，含参变量常义积分的分析性质及应用。2.含参变量反常积分含参变量反常积分的一致收敛概念，一致

10、收敛的判别法，一致收敛的反常积分的分析性质和应用。3. Bata函数与Gamma函数Bata函数的定义及性质，Gamma函数的定义及性质，Bata函数与Gamma函数的关系。三、重点、难点提示及教学手段重点：两类含参变量积分的分析性质及应用。难点：含参变量反常积分一致收敛的判别问题。教学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题第十六章Fourier级数一、学习目的了解Fourier级数产生的背景，掌握函数的Fourier级数展开方法，了解Fourier级数收敛性的判别方法以及Fourier级数的性质。本章计划12学时。二、课程内容1.函数的Fourier级数展开Fourier级数产生的背景，周期为2的函数的Fourier级数展开，正弦级数和余弦级数，任意周期的函数的Fourier级数展开。2. Fourier级数的收敛判别法Dirichlet积分，Riemann引理及其推论，Fourier级数的收敛判别法。3. Fourier级数的性质Fourier级数的分析性质，Fourier级数的逼近性质。三、重点、难点提示和教学手段重点：函数的Fourier级展开。难点：Fourier级数收敛性分析。教学手段：课堂讲授四、思考与练习见教材中习题阅读书目1数学分析教程，常庚哲，史齐怀，江苏教育出版社，19982数学分析，北京大学编，高等教育出版社，19863数学分析新讲，张筑生，北京大