《常微分方程》教学大纲

1、 常微分方程教学大纲前言常微分方程课程是数学与应用数学、信息与计算科学专业、统计学专业必修的专业基础课程常微分方程以学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题工作为逻辑起点，以全日制本科生为讲授对象，是集理论性与应用性为一体的学科设置本课程的目的是：使学习者在全面了解常微分方程历史、现状与发展趋势的基础上，系统掌握常微分方程的理论、方法、技术，具备在现代科学技术中分析和解决问题的实际技能，从而胜任在生产实践和科学技术中的工作学习本课程的要求是：学习者应熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯

2、一性定理和线性常微分方程的基本理论了解常微分方程稳定性理论和定性理论初步先修课程要求：数学分析（上、中），高等代数本课程计划72学时，4学分选用教材：王高雄、周之铭等，常微分方程（第二版）高教出版社），2002年教学手段：课堂讲授与习题讨论课结合考核方法：考试教学进程安排表4周次学时数教学主要内容教学方法备注141.1常微分方程模型1.2常微分方程的基本概念及发展史课堂讲授242.1变量分离方程与变量变换2.2线性微分方程与常数变易法课堂讲授342.2线性微分方程与常数变易法（续）2.3恰当微分方程与积分因子课堂讲授442.4一阶微分方程与参数表示课堂讲授与习题课543.1解的存在唯一性定理与

3、逐步逼近法课堂讲授643.2解的延拓 3.2解对初值的连续性与可微性课堂讲授73.2解对初值的连续性与可微性（续）课堂讲授与习题讨论课844.1线性微分方程的一般理论课堂讲授944.1线性微分方程的一般理论（续）4.2常系数线性微分方程的解法课堂讲授1044.2常系数线性微分方程的解法（续）课堂讲授1144.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法课堂讲授与讨论课1245.1线性微分方程组的存在唯一性定理课堂讲授与习题课1345.1线性微分方程组的存在唯一性定理（续）课堂讲授1445.2线性微分方程组的一般理论课堂讲授1545.3常系数线性微分方程组课堂讲授1645.3常系数线性微分方程组（续）课堂讲

4、授与习题讨论课1746.1非线性微分方程的稳定课堂讲授1846.2 V函数方法课堂讲授第一章绪论一、学习目的通过本章的学习，明确常微分方程研究对象，理解常微分方程的产生与发展过程，掌握常微分方程研究的基本概念绪论计划4学时二、课程内容第1节常微分方程模型（一）介绍物理力学、生物等方面的常微分方程模型（二）介绍建立常微分方程模型的方法第2节常微分方程的基本概念（一）介绍常微分方程的一些基本概念常微分方程与偏微分方程，微分方程的阶，隐式方程与显式方程，线性与非线性微分方程（二）介绍常微分方程解的知识常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线与方向场三、重点、难点提示和教学手段（一

5、）重点是理解常微分方程极其解的概念（二）难点是建立常微分方程模型的方法四、思考与练习本章课后习题第二章一阶微分方程的初等解法一、学习目的通过本章的学习，熟练掌握几类一阶常微分方程如：变量可分离方程，线性微分方程，恰当方程的解法，掌握常数变易法及简单积分因子的求法，掌握一阶隐式方程的参数解法本章计划12学时二、课程内容第1节变量分离方程与变量变换（一）变量分离方程变量分离方程可通过改写为两边积分的方法求得通解（二）可化为变量分离方程的方程主要介绍形如：的通解求法第2节线性微分方程与常数变易法（一）线性微分方程线性微分方程可通过第一节的方法求其通解（二）非线性微分方程非线性微分方程利用线性微分方程

6、解的形式通过常数变易法求通解，常数变易法是求解常微分方程的重要方法（三）伯努力方程伯努力方程通过变量变换变形为线性微分方程求其通解第3节 恰当方程与积分因子（一）恰当方程介绍恰当方程判断方法及通解求法（二）积分因子介绍不是恰当方程的微分方程可以通过寻找积分因子化为恰当方程求通解，主要介绍两种特殊情形第4节 一阶隐式微分方程与参数表示（三）可以解出（或）的方程介绍形如：及方程的通解参数表示（四）不显含（或）的方程介绍形如：及方程的通解参数表示三、重点、难点提示和教学手段（一）重点是掌握变量可分离方程，线性微分方程，恰当方程的解法，以及常数变易法，（二）难点是常数变易法及一阶隐式微分方程解的参数表

7、示四、思考与练习本章各节课后习题第三章一阶微分方程解的存在定理一、学习目的通过本章的学习，理解一阶常微分方程解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐步逼近法，了解解的延拓定理及条件，了解解对初值的连续性与可微性的条件和结论本章计划12学时二、课程内容第1节解的存在唯一性定理与逐步逼近法（一）解的存在唯一性定理与逐步逼近法主要介绍一阶微分方程解的存在唯一性定理内容，并分五个步骤完成对解的存在唯一性定理的证明，证明主要采用逐步逼近法（二）逐步逼近法求方程的近似解第2节 解的延拓简单介绍解的延拓定理的内容及它的一个有用的推论第3节 解对初值的连续性及可微性定理（一）解对初值的连续性定理讲解一

8、阶微分方程的解对初值的连续性（二）解对初值的可微性定理讲解一阶微分方程的解对初值的可微性，并给出的计算公式三、重点、难点提示和教学手段（一）重点是掌握解的存在唯一性定理、解对初值的连续性定理、解对初值的可微性定理内容及证明，（二）难点是逐步逼近法四、思考与练习本章各节课后习题第四章高阶微分方程一、学习目的通过本章的学习，掌握n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握求n阶常系数齐次线性微分方程的通解，n阶常系数非齐次线性微分方程的特解，了解欧拉方程和高阶方程的幂级数解法本章计划18学时二、课程内容第1节线性微分方程的一般理论（一）齐次线性微分方程的解的性质与结构主要介绍证明n阶齐次

9、线性微分方程一定有n个线性无关的解，其通解表示为，（为任意常数）（二）非齐次线性微分方程与常数变易法对非齐次线性微分方程可以利用它所对应的齐次线性微分方程的通解和前面提到的常数变易法来求其一个特解，并利用非齐次线性微分方程通解的结构写出通解第2节常系数线性微分方程的解法（一）常系数齐次线性微分方程的解主要在前一节理论的基础上，探讨如何求一组n个线性无关的解（二）常系数非齐次线性微分方程的解根据方程右边的类型讨论其特解所具有的形式，然后带入方程求特解，从而求出其通解第3节高阶微分方程的降阶和幂级数解法（一）可降阶的方程类型主要介绍不显含未知数的微分方程的解法（二）二阶线性微分方程的幂级数解法对这

10、类解法只作简单介绍，将有后续课程详细学习三、重点、难点提示和教学手段（一）重点是常系数齐次（非齐次）线性微分方程的解法,（二）难点是高阶线性微分方程的一般理论.四、思考与练习本章各节课后习题第五章线性微分方程组一、学习目的通过本章的学习，理解线性微分方程组的存在唯一性定理，掌握一阶齐次（非齐次）线性微分方程组解的性质与结构，了解n阶线性微分方程和一阶微分方程组的关系，理解常系数线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法本章计划18学时二、课程内容第1节 存在唯一性定理（一）记号和定义主要介绍证明一阶齐次线性微分方程组有关的一些记号和定义，有的是我们以前没有接触到的如，矩阵的连续性、可微

11、、可积及其范数的概念（二）存在唯一性定理对线性微分方程组存在唯一性定理的证明和第三章第一节一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明方法完全一样，只需强调不同之处第2节线性微分方程组的一般理论（一）齐次线性微分方程组的解与齐次线性微分方程类似的讨论，先讨论其解的性质，证明其至多有n个线性无关的解向量，写出其通解或者可写为（三）非齐次线性微分方程的解同样地，与非齐次线性微分方程类似的讨论其性质与解的结构，可用我们前面我们介绍的常数变易法计算其一个特解第3节常线性微分方程组（一）矩阵指数expA的定义和性质要求齐次常系数线性微分方程组的基解矩阵，必须先了解矩阵指数expA的定义和性质，实际上expAt既

12、为其一基解矩阵（二）基解矩阵expAt求法主要介绍如何通过矩阵A的特征值与特征向量来求expAt（三）非齐次常系数线性微分方程组用常数变易法计算的满足初始条件的解三、重点、难点提示和教学手段（一）重点是常系数齐次线性微分方程组的解法,（二）难点是线性微分方程组的一般理论.四、思考与练习本章各节课后习题第六章非线性微分方程一、学习目的通过本章的学习，理解非线性微分方程的存在唯一性定理，掌握Lyapunov稳定性定义，了解判断Lyapunov稳定性的V函数方法本章计划8学时二、课程内容第1节 稳定性（一）非线性常微分方程组的存在唯一性定理主要介绍与线性常微分方程组的存在唯一性定理类似的定理，可作简要介绍，有了前面的知识理解并不难（二）稳定性主要讲解零解稳定性、渐近稳定性、全局稳定性的概念，以及它们的区别与联系第2节V函数方法（一）Lyapunov定理讲解如何利用V函数极其导数来判断方程组零解稳定性，这就是Lyapunov定理（二）V函数的构造如何构造V函数是一个非常复杂的问题，我们主要讨论常系数线性常微分方程组利用二次型