大物第20讲简谐振动特征

1、波动篇Oscillation and Wave机械振动机械波波动光学内容：前言人们于按照物质的运动形态，把经典物理学分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。力学:机械振动和机械波,弹簧、单摆的振动，声波，水波等电学:电磁振荡和电磁波，光，无线电波等近代物理中，量子力学又称波动力学，这是微观理论的基石这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性了。尽管在物理学的各个分支学科里振动和波的具体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。所以机械振械波两章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物理学打基础。Simple Harmon

2、ic Oscillation(Simple Harmonic Motion)10-1振动与周期振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。振动分类线性振动非线性振动振动受迫振动振动与周期性运动广义地说，若描述运动状态的某个物理量，在某一量值附近反复变化，就称这个物理量在振动。如果这种变化有周期，那就是周期运动。许多效应是周期性的，例如，动物的心跳、钟摆的摆动、固体原子的振动、交流电电流、脉冲星体积和亮度的变化等等。从最宏大的范围来看，一些宇宙学家认为，整个宇宙可能在作周期为数百亿年的振动。10-2 简谐振动(simple ha

3、rmonic motion)一、简谐振动模型：物理学研究问题总是从最基本的模式入手，最简单的振动形式是简谐振动。研究表明，一切复杂的振动，都可以看成是由许多简谐振动的迭加。作简谐振动的系统，用一个专门的术语称呼，叫谐振系统。著名物理学家先生曾说，物理学只有两类问题平方反比律的力和谐振动可见谐振动在理论研究中的地位谐振系统是一种理想化模型。一台机床的振动、建筑工地一台浇灌混泥土的振动泵的振动，从理论上分析时，可以简化成这种形式：或系统的质量全部集中在物体上，弹簧无质量保守系统(无内摩擦、外摩擦)弹性力严格遵从线性假设(F = -kx)二、简谐振动微分方程例：弹簧振子弹簧物体系统物体可看作质点轻弹

4、簧质量忽略不计，形变满足定律平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置mkOxm受力分析kF kxOx2kx m dx运用定律dt 2d 2 x kx 0m改写方程dt 2令d 2 x 2x 0简谐振动微分方程dt 2三、微振动的简谐近似C复摆单摆TmgOfmghgl Jd 2 2 0很小时，振动微分方程dt 2四、简谐振动系统动力学特征系统受线性回复力（矩）作用，如F kxM C动力学方程为二阶线性常微分方程d 2 x 2x 0dt 2只要一个系统的动力学条件满足这两个特征之一，就可以认定它为简谐振动系统。这种系统有时简称谐振子分析一个实际振动系统双原子分子系统E分子间势能函数为E(r) 存在极小

5、值，该位置就是系统的稳定平衡位置r0 。r0r在平衡位置 r0 附近将势能函数按级数展开d2 EdE1E(r) E(r0 ) (r r0(r r202)dr)dr2r0r02 d 2 EdE1E(r) E(r0 ) (r r0 ) dr(r r ) 20dr 2r0r0dE 0由于在平衡点r(曲线切线的斜率)处0drr0对足够小的位移，略去三次以上的所有项d 2 E1E(r) E(r0 ) 2 (r r0 )2就有dr 2r0d 2 Ek 若把有效弹性系数等同于dr 2r0则F E(r) k(r r )相应的保守力0r完全符合简谐振动的动力学特征可见，任何实际的微振动系当作简谐系统处理。般都可

6、以五、简谐振动的运动学特征d 2 x 2x 0dt 2这是描写谐振动的动力学方程（二阶常系数齐次微分方程） ，就是振子的固有频率。微分方程的解与代数方程的解不同，代数方程的解是一组数，而微分方程的解是一组函数。x Acos(t )特解为谐和函数谐振动的运动学方程(简称振动方程)x Acos(t ) )v dx A sin(dt2a dv Acos( )dt可见谐振动的运动学特征：振子的位移、速度、加速度都按余弦（或正弦）规律作周期性变化。振子的速度与位移之间有/ 2的相位差加速度与位移有的相位差。六、简谐振动的能量特征分析弹簧振子的能量变化：简谐系统的能量 = 系统的动能Ek + 系统的势能E

7、p设在任一时刻t，振子位移为x，速度为v，则其弹性势能Ep 、动能EK分别为： 1 mA2 2 cos2 ( t )E 1 kx2p22 1 mA2 2 sin2 ( t )E 1 mv2k22E 1 kA2E Ekp2谐振系统的动能、势能交替变化，相互转换，而总能量不变。它还有一个特点，即一个周期内的平均动能等于一个周期内的平均势能，且为总能量的一半。 11 m 2 A2 sin2 ( t )dtTEkT20 m 2 A21414Tsin ( t )dtm A2222kA2T0 11 m 2 A2 cos2 ( t )dtTEpT20 m 2 A21414Tcos ( t )dt m 2 A

8、222kA2T0例题1 ：ab例题1 ：例题1 ：用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。例题1 ：求证：木块将作简谐振动。并求振动角频率。ab(a b)S g bS g 0证明：平衡时：sy0任a.x意位置cbx任意位置木块受到的合外力为： F (a b)S g (b x)S g Sgx合外力和位移成正比，方向和位移相反。所以木块作简谐振动。平a.0y衡b位c置 Sx F S gx由前面得到：d 2 xd 2 x S gx m (a b)S 由定律dt 2dt 2ggd 2 x (a b) x 0 dt 2(a b)ab例题2 ：解：从动力学进行分析以球心为坐标原点作 ox 轴当质点位于 x 时受力F G M mx2式中M半径为 x 的部分地球质量若地球质量密度为，则M 4 x334 x3m 4 Gm xF G 3 kx所以x23k 4 Gm3质点作简谐振动例