统计学数据图表展示

1、关于统计学数据的图表展示第一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月学习目标了解数据预处理的内容和目的掌握分类和顺序数据的整理与显示方法掌握数值型数据的整理与显示方法用Excel作频数分布表和图形合理使用图表第二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 重点 1.分类、顺序、数值型数据的整理 2.分类、顺序、数值型数据的展示方法 难点利用Excel做频数分布表和形图和合理使用统计表 本章教学重点与难点第三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月3.1 数据的预处理3.1.1 数据审核3.1.2 数据筛选3.1.3 数据排序3.1.4 数据透视表第四张，PPT共一百零三页，创作于20

2、22年6月数据的预处理数据审核检查数据中的错误数据筛选找出符合条件的数据数据排序升序和降序寻找数据的基本特征数据透视按需要汇总第五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据审核第六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据审核原始数据(raw data)完整性审核应调查的单位或个体是否有遗漏所有的调查项目或变量是否填写齐全准确性审核数据是否真实反映实际情况，内容是否符合实际数据是否有错误，计算是否正确等第七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据的审核二手数据(second hand data)适用性审核弄清楚数据的来源、数据的口径以及有关的背景材料确定数据是否符合自己分析

3、研究的需要时效性审核尽可能使用最新的数据确认是否有必要做进一步的加工整理第八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据筛选与排序第九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据筛选(data filter)当数据中的错误不能予以纠正，或者有些数据不符合调查的要求而又无法弥补时，需要对数据进行筛选数据筛选的内容将某些不符合要求的数据或有明显错误的数据予以剔除将符合某种特定条件的数据筛选出来，而不符合特定条件的数据予以剔除第十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月用Excel进行数据筛选 8名学生的考试成绩数据 数据筛选(data filter)第十一张，PPT共一百零三页，创作于

4、2022年6月数据排序 (data rank)按一定顺序将数据排列，以发现一些明显的特征或趋势，找到解决问题的线索排序有助于对数据检查纠错，以及为重新归类或分组等提供依据在某些场合，排序本身就是分析的目的之一排序可借助于计算机完成第十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据排序 (方法)分类数据的排序字母型数据，排序有升序降序之分，但习惯上用升序汉字型数据，可按汉字的首位拼音字母排列，也可按笔画排序，其中也有笔画多少的升序降序之分2. 数值型数据的排序递增排序：设一组数据为x1，x2，xn，递增排序后可表示为：x(1)x(2)x(2)x(n)第十三张，PPT共一百零三页，创作于202

5、2年6月数据透视表第十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据透视表(pivot table )可以从复杂的数据中提取有用的信息可以对数据表的重要信息按使用者的习惯或分析要求进行汇总和作图形成一个符合需要的交叉表(列联表)在利用数据透视表时，数据源表中的首行必须有列标题第十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据透视表(用Excel创建数据透视表)第1步：在Excel工作表中建立数据清单第2步：选中数据清单中的任意单元格，并选择【数据】菜单中的【数据透视表和数据透视图】第3步：确定数据源区域第4步：在【向导3步骤之3】中选择数据透视表的输出位置。然后选择【布局】第5步：在【

6、向导布局】对话框中，依次将”分类变量“拖至左边的“行”区域，上边的“列”区域，将需要汇总的“变量” 拖至“数据区域”第6步：然后单击【确定】，自动返回【向导3步骤之3】对话框。然后单击【完成】，即可输出数据透视表 第十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月3.2 品质数据的整理与展示3.2.1 分类数据的整理与图示3.2.2 顺序数据的整理与图示第十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据的整理与显示(基本问题)要弄清所面对的数据类型不同类型的数据，采取不同的处理方式和方法对分类数据和顺序数据主要是作分类整理对数值型数据则主要是作分组整理适合于低层次数据的整理和显示方法也适合

7、于高层次的数据；但适合于高层次数据的整理和显示方法并不适合于低层次的数据第十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的整理与图示第十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的整理(基本过程)1.列出各类别2.计算各类别的频数3. 制作频数分布表4.用图形显示数据分类频数比例百分比比率ABCDE第二十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的整理(可计算的统计量)频数(frequency) ：落在各类别中的数据个数比例(proportion) ：某一类别数据个数占全部数据个数的比值百分比(percentage) ：将对比的基数作为100而计算的比值比率(r

8、atio) ：不同类别数值个数的比值第二十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据整理频数分布表 (例题分析)【例】一家市场调查公司为研究不同品牌饮料的市场占有率，对随机抽取的一家超市进行了调查。调查员在某天对50名顾客购买饮料的品牌进行了记录，如果一个顾客购买某一品牌的饮料，就将这一饮料的品牌名字记录一次 。右边就是记录的原始数据用Excel制作频数分布表绿色健康饮品第二十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月使用Excel数据透视表数计数 (pivot table)第1步：选择【数据】菜单中的【数据透视表和数据透视图】第2步：确定数据源区域第3步：在【向导3步骤之3】

9、中选择数据透视表的输出位置。然后选择【布局】第4步：在【向导布局】对话框中，依次将“分类变量“(这里是饮料类型)连续拖放两次：一次拖至左边的“行”区域 ，一次拖至 “数据”区域，将“顾客性别”拖至 “列”区域第5步：然后单击【确定】，自动返回【向导3步骤之3】对话框。然后单击【完成】，即可输出数据透视表第二十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月生成频数分布表(定性数据)不同类型饮料的频数分布 第二十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的图示条形图(bar Chart)用宽度相同的条形的高度或长短来表示各类别数据的图形有单式条形图、复式条形图等形式主要用于反映分类数据

10、的频数分布绘制时，各类别可以放在纵轴，称为条形图，也可以放在横轴，称为柱形图(column chart) 第二十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的图示条形图(例题分析)第二十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的图示对比条形图(side-by-side bar chart )分类变量在不同时间或不同空间上有多个取值对比分类变量的取值在不同时间或不同空间上的差异或变化趋势电脑品牌一季度二季度联想256468IBM285397康柏247328戴尔563688第二十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的图示对比条形图 (例题分析)第二十八张，

11、PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的图示帕累托图(pareto chart)按各类别数据出现的频数多少排序后绘制的柱形图 主要用于展示分类数据的分布第二十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的图示饼图(pie Chart)也称圆形图，是用圆形及圆内扇形的角度来表示数值大小的图形主要用于表示样本或总体中各组成部分所占的比例，用于研究结构性问题绘制圆形图时，样本或总体中各部分所占的百分比用圆内的各个扇形角度表示，这些扇形的中心角度，按各部分数据百分比乘以3600确定第三十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分类数据的图示饼图 (例题分析)第三十一张，PPT共

12、一百零三页，创作于2022年6月环形图(doughnut chart)环形图中间有一个“空洞”，样本或总体中的每一部分数据用环中的一段表示与饼图类似，但又有区别饼图只能显示一个总体各部分所占的比例环形图则可以同时绘制多个样本或总体的数据系列，每一个样本或总体的数据系列为一个环用于结构比较研究 第三十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月环形图(doughnut chart)【例】2006年北京、上海和天津地区按收入法计算的地区生产总值(按当年价格计算)数据。绘制环形图比较三个地区的生产总值构成 第三十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月环形图 (doughnut chart

13、)北京、上海和天津地区按收入法计算的地区生产总值第三十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月顺序数据的整理与图示第三十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月顺序数据的整理(可计算的统计量)1. 累积频数(cumulative frequencies)：各类别频数的逐级累加2. 累积频率(cumulative percentages)：各类别频率(百分比)的逐级累加 第三十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月顺序数据的频数分布表(例题分析)【例】在一项城市住房问题的研究中，研究人员在甲乙两个城市各抽样调查300户，其中的一个问题是：“您对您家庭目前的住房状况是否满意？”

14、1非常不满意；2不满意；3一般；4满意；5非常满意。 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)向上累积 向下累积 户数(户)百分比(%)户数(户)百分比(%) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 836311510 24132225270300 8.0 44.0 75.0 90.0100.0300276168 75 30100.092562510合计300100.0第三十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月顺序数据的频数分布表 (例题分析)乙城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别乙城市户数(户)百分比(%)向上累积

15、向下累积 户数(户)百分比(%)户数(户)百分比(%) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2199786438 7.033.026.021.312.7 21120198262300 7.0 40.0 66.0 87.3100.0300279180102 38100.0 93.0 60.0 34.0 12.7合计300100.0第三十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月顺序数据的图示累计频数分布图 (例题分析)243001322252700100200300400 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意累积户数（户）(a)向上累积276168303007501002003004

16、00 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意累积户数（户）(b)向下累积甲城市家庭对住房状况评价的累积频数分布第三十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月环形图 (例题分析)8%36%31%15%7%33%26%21%13%10% 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲乙两城市家庭对住房状况的评价第四十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月3.3 数值型数据的整理与展示3.3.1 数据分组3.3.2 数值型数据的图示第四十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月一、数据分组第四十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分组方法分组方法等距分组异距分组单变量值分

17、组组距分组第四十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月单变量值分组(要点)1. 将一个变量值作为一组2. 适合于离散变量3. 适合于变量值较少的情况第四十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月组距分组 (要点)将变量值的一个区间作为一组适合于连续变量适合于变量值较多的情况需要遵循“不重不漏”的原则可采用等距分组，也可采用不等距分组 第四十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月组距分组的步骤1.将原始数据进行排序2.确定组数3.确定各组的组距4.确定各组的组限5.统计出各组的频数下面举例说明。第四十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月确定组数1、分组的目的之一是

18、为了观察数据的特征和规律。2、组数的多少应适中。不宜过多也不宜过少，一般 515 组3、组数的确定，应以能够显示数据的分布特征和规律为目的。第四十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月第四十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月确定各组组距组限：一个组的最小值称为“下限”；一个组的最大值称为“上限”。组距：是一个组的上限与下限之差。=（全部数据的最大值-全部数据的最小值）组数通常，组距宜取5或10的倍数，且第一组的下限应小于最小变量值，最后一组的上限要大于最大的变量值。第四十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月组距分组应注意的问题一定要遵循“不重不漏”的原则。解决“不

19、重”的问题，连续型变量的各相邻组的组限必须重叠,习惯上规定“上组限不在内”。当一组数据悬殊较大时，为避免出现空白组或极个别极端值被遗漏，一般应采用“以下”及“以上”,称谓开口组。第五十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月组距分组(几个概念)1. 下限(lower limit) ：一个组的最小值2. 上限(upper limit) ：一个组的最大值3. 组距(class width) ：上限与下限之差4. 组中值(class midpoint) ：下限与上限之间的中点值下限值+上限值2组中值 =第五十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月频数分布表的编制(例题分析)【例】某电脑公

20、司2005年前四个月各天的销售量数据(单位：台)。试对数据进行分组第五十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月频数分布表的编制(步骤)1.确定组数：根据 Sturges 提出的经验公式得组数K为：确定各组的组距： 组距( 237 - 141) 10=9.6 10统计出各组的频数。每个组的数据满足a xb(上限值不在内)第五十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月等距分组表(上下组限重叠)第五十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月等距分组表(上下组限间断)第五十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月等距分组表(使用开口组)第五十六张，PPT共一百零三页，创作于2

21、022年6月统计函数创建频数分布表(FREQUENCY)使用统计函数【FREQUENCY】创建频数分布表和直方图可解决这一问题。具体步骤是1、选择与接受区域相临近的单元格区域，作为频数分布表输出的区域2、选择统计函数中的【FREQUENCY】函数3、在对话框【Date-array】后输入数据区域，在【Bins-array】后输入接受区域4、同时按下“ctrl-shift-Enter”组合键，即得到频数分布第五十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月利用工具菜单中的【直方图】创建频数分布表利用工具菜单中的【直方图】来创建频数分布表的步骤：第 1步：选择【工具】下拉菜单,并选择【数据分析】

22、项第 2步：在【数据分析】项对话框中选择【直方图】命令第3步：当出现对话框时： 在【输入区域】方框内键入数据区域 在【接收区域】方框内键入创建分组的上限值区域 在【输出区域】方框内键入结果输出的区域第五十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月二、数值型数据的图示Excel分组数据直方图和折线图未分组数据茎叶图和箱线图时间序列数据线图多变量数据的图示第五十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分组数据直方图(histogram)用于展示分组数据分布的一种图形用矩形的宽度和高度来表示频数分布本质上是用矩形的面积来表示频数分布在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组

23、与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图第六十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分组数据的图示(直方图的绘制)140150210某电脑公司销售量分布的直方图我一眼就看出来了，销售量在170180之间的天数最多!190200180160170频数(天)25201510530220230240第六十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分组数据直方图(直方图与条形图的区别)条形图是用条形的长度(横置时)表示各类别频数的多少，其宽度(表示类别)则是固定的直方图是用面积表示各组频数的多少，矩形的高度表示每一组的频数或百分比，宽度则表示各组的组距，其高度与宽度均有意义直方图的各矩形通常是

24、连续排列，条形图则是分开排列条形图主要用于展示分类数据，直方图则主要用于展示数值型数据第六十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分组数据折线图(frequency polygon)折线图也称频数多边形图是在直方图的基础上，把直方图顶部的中点(组中值)用直线连接起来，再把原来的直方图抹掉折线图的两个终点要与横轴相交，具体的做法是第一个矩形的顶部中点通过竖边中点（即该组频数一半的位置）连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边中点连接到横轴折线图下所围成的面积与直方图的面积相等，二者所表示的频数分布是一致的第六十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分组数据的图示(折线图的绘制)折

25、线图与直方图下的面积相等！140150210某电脑公司销售量分布的折线图190200180160170220230240频数(天)25201510530第六十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数值型数据的图示STATISTICA未分组数据茎叶图和箱线图第六十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月未分组数据茎叶图(stem-and-leaf display)用于显示未分组的原始数据的分布由“茎”和“叶”两部分构成，其图形是由数字组成的以该组数据的高位数值作树茎，低位数字作树叶树叶上只保留最后一位数字茎叶图类似于横置的直方图，但又有区别直方图可观察一组数据的分布状况，但没有给出

26、具体的数值茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，保留了原始数据的信息直方图适用于大批量数据，茎叶图适用于小批量数据第六十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月未分组数据茎叶图(例题分析)某电脑公司销售量分布的茎叶图第六十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月未分组数据箱线图(box plot)用于显示未分组的原始数据的分布由一组数据的5个特征值绘制而成，它由一个箱子和两条线段组成绘制方法首先找出一组数据的5个特征值，即最大值、最小值、中位数Me和两个四分位数(下四分位数QL和上四分位数QU)连接两个四分位数画出箱子，再将两个极值点与箱子相连接该箱线图也称为Med

27、ian/Quart./Range箱线图 第六十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月未分组数据单批数据箱线图(箱线图的构成)中位数4681012QUQLX最大值X最小值Median/Quart./Range箱线图第六十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月未分组数据单批数据箱线图(例题分析)最小值141最大值237中位数182下四分位数170.25上四分位数197140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240某电脑公司销售量数据的Median/Quart./Rang箱线图第七十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月分布的形状与箱线图

28、 不同分布的箱线图左偏分布Q L中位数 QULeft-skewed distribution右偏分布QL 中位数 QURight-skewed distribution对称分布QL中位数 QUBell-shaped distribution第七十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月未分组数据多批数据箱线图 (例题分析)【例】 从某大学经济管理专业二年级学生中随机抽取11人，对8门主要课程的考试成绩进行调查，所得结果如表。试绘制各科考试成绩的批比较箱线图，并分析各科考试成绩的分布特征11名学生各科的考试成绩数据课程名称学生编号1234567891011英语经济数学西方经济学市场营销学财

29、务管理基础会计学统计学计算机应用基础76659374687055859095818775739178975176857092688171748869846573957078669073788470936379806087816786918377769070828382928481706972787578918866948085718674687962818155787075687177第七十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月未分组数据多批数据箱线图(例题分析Median/Quart./Range)8门课程考试成绩的Median/Quart./Range箱线图第七十三张，PPT共一百

30、零三页，创作于2022年6月11名学生8门课程考试成绩的Median/Quart./Range箱线图min-max25%-75%median value455565758595105学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7学生8学生9学生10学生11未分组数据多批数据箱线图 (例题分析Median/Quart./Range)第七十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数值型数据的图示时间序列数据线图Excel第七十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月时间序列数据线图(line plot)表示时间序列数据趋势的图形时间一般绘在横轴，数据绘在纵轴图形的长宽比例大致为10 : 7

31、一般情况下，纵轴数据下端应从“0”开始，以便于比较。数据与“0”之间的间距过大时，可以采取折断的符号将纵轴折断第七十六张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月时间序列数据线图 (例题分析)【例】我国19912003年城乡居民家庭的人均收入数据如表。试绘制线图￥ 19912003年城乡居民家庭人均收入年份城镇居民(元)农村居民(元)19911992199319941995199619971998199920002001200220031700.62026.62577.43496.24283.04838.95160.35425.15854.06280.06859.07702.88472.2 7

32、08.6 784.0 921.61221.01577.71926.12091.12162.02210.32253.42366.42475.62622.2第七十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月时间序列数据线图 (例题分析)第七十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月数值型数据的图示多变量数据的图示Excel第七十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月两个变量间的关系二维散点图(2D Scatterplots)展示两个变量之间的关系用横轴代表变量x，纵轴代表变量y，每组数据(xi ， yi)在坐标系中用一个点表示，n组数据在坐标系中形成的n个点称为散点，由坐标及其散点

33、形成的二维数据图温度 / 0C降雨量/mm产量/kg/hm262522508403450105845001368575014110580016987500211208250第八十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月两个变量间的关系二维散点图(2D Scatterplots)第八十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月三个变量间的关系气泡图(bubble chart)显示三个变量之间的关系图中数据点的大小依赖于第三个变量第八十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月也称为蜘蛛图(spider chart)显示多个变量的图示方法在显示或对比各变量的数值总和时十分有用假定各变量

34、的取值具有相同的正负号，总的绝对值与图形所围成的区域成正比可用于研究多个样本之间的相似程度多变量数据雷达图(radar chart)第八十三张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月 设有n组样本S1，S2， , Sn，每个样本测得P个变量X1，X2 ， , XP，要绘制这P个变量的雷达图，其具体做法是多变量数据雷达图(雷达图的制作) 先做一个圆，然后将圆P等分，得到P个点，令这P个点分别对应P个变量，在将这P个点与圆心连线，得到P个幅射状的半径，这P个半径分别作为P个变量的坐标轴，每个变量值的大小由半径上的点到圆心的距离表示 将同一样本的值在P个坐标上的点连线。这样，n个样本形成的n个多边

35、形就是一个雷达图第八十四张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月多变量数据雷达图 (例题分析)【例】2003年我国城乡居民家庭平均每人各项生活消费支出构成数据如表。试绘制雷达图今天的主食是面包2003年城乡居民家庭平均每人生活消费支出构成(%)项 目城镇居民农村居民 食品 衣着 家庭设备用品及服务 医疗保健 交通通讯 娱乐教育文化服务 居住 杂项商品与服务37.129.796.307.3111.0814.3510.743.30 45.595.674.205.968.3612.1315.872.21第八十五张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月多变量数据雷达图 (例题分析)第八十六张，

36、PPT共一百零三页，创作于2022年6月数据类型及图示 (小结)数据类型品质数据数值型数据汇总表原始数据分组数据时序数据多元数据条形图饼图茎叶图箱线图直方图折线图线图散点图气泡图雷达图环形图第八十七张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月三、频数分布的类型第八十八张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月次数分布的类型次数分布的类型：正态分布、偏态分布、J型分布、U型分布。第八十九张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月正态分布正态分布：是一种对称的钟型分布。它成“两头小，中间大”的形状。有许多现象均服从正态分布。如农作物的单位面积产量、学生的考试成绩、零件的公差、纤维的强度等均服从正态分布。正态分布第九十张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月正偏（右偏）分布正偏分布：是相对于“正态分布”而言的，表现为一组数据中多数数据偏低，少数数据偏高，有极大值出现。此时，全部数据的均值会高于中位数。右偏分布第九十一张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月负偏（左偏）分布负偏分布：也是相对于“正态分布”而言的，表现为一组数据中，多数数据偏高，少数数据偏低，有极小值出现。此时，全部数据的均值会低于中位数左偏分布第九十二张，PPT共一百零三页，创作于2022年6月正J型分布正J分布：即