分析线性代数5

1、1定义 设A,B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵U， 使得 ，则称A与B相似，记作AB . A一、相似矩阵的概念与性质 【注】单位矩阵 E 只与自己相似因为对任意可逆矩阵 U，数量矩阵 aE 只与自己相似例，取5.2 相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件 2. 相似矩阵的性质（1）基本性质 反身性，即AA，对称性，即AB，则BA传递性， 如果AB，BC，则AC（2）相似矩阵有相同的特征多项式 【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.反例1相同的特征值(包括重数),迹,行列式.（3）相似矩阵有相同的秩 【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.反例1推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩

2、阵也相似.（4）如果 AB，则 （k 为非负整数） 【注】逆命题不成立.反例2说明 性质(2)(4)不能用来判断矩阵相似,但可判断不相似.利用相似矩阵计算矩阵多项式若AB , 则利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式 .*两个常用公式* 二、矩阵相似于对角矩阵的条件定理1 数域 F 上的n 阶矩阵 A 相似于对角阵 A 有n 个线性无关的特征向量.【注】 若矩阵 A 相似于对角阵，则称 A可相似对角化.其中i 是属于特征值i 的特征向量.构成可逆矩阵U， ，则证明过程给出找与 A 相似的对角阵的方法： 即用 A 的n个线性无关的特征向量【注】矩阵U的列向量和对角阵中特征值的位置要 相互对应

3、.例1 判断 是否可以相似对角化.A的属于特征值5的特征向量为A的属于特征值 -1（二重） 的特征向量为 线性无关 ，A可以相似对角化例2 判断 是否可以相似对角化.解：解出A的特征值为 ，属于特征值-1的特征向量为属于特征值 1 的特征向量为因为仅有2个线性无关的特征向量所以，A不能相似于对角阵.定理2 矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.【推论】每个特征值的线性无关的特征向量（即相应齐次线性方程组的基础解系）构成的向量组线性无关.即：若1，2， m是 A 的不同的特征值，设属于i的线性无关的特征向量有si个:共 个向量是线性无关的.定理3 设 是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属

4、于的 线性无关的特征向量最多 k 个.设 A 的不同的特征值： 1，2， m重数分别为： k1，k2， km线性无关特征向量的个数： s1，s2， sm则有 si ki ， i=1,2,m，及 s1 s2 sm k1 k2 km n即定理1 数域 F 上的n 阶矩阵 A 相似于对角阵 A 有n 个线性无关的特征向量.定理2 矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关.定理3 设 是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属于 的线性无关的特征向量最多 k 个.n 阶矩阵 A的特征值为：所属无关特征向量个数为：特征值的重数为：A可以相似对角化.【推论】 (1)若n阶矩阵A在数域F上有n个不同的特征

5、值，A不能相似对角化.(2)(3)当 时(充分条件, 不必要)D选择题 如果( ), 则矩阵A与B相似.(C) A与B有相同的特征多项式(D) n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同(A) (B) 例3 已知三阶矩阵 A 的三个特征值1, 2, 3以及分别属于它们的特征向量（1）求矩阵 A;（2）求AT的特征值及所属的特征向量.【注】这是由特征值和特征向量求矩阵的问题， 是由矩阵求特征值和特征向量的反问题. 可对角化矩阵的应用1: 由特征值及特征向量反求矩阵解 （1）（2）AT与A有相同的特征值1，2，3则 的三个列向量分别是AT的属于1，2，3的特征向量. 因为则AT的属于1，2，3的特征向量分别为k1, k2, k3 均不为0.例4 已知 ， 求 。【解析】如果A ，则可以通过 简化计算.解特征值为2，3，可知 A 相似于对角阵 可对角化矩阵的应用2: 求方阵的幂例5 已知矩阵A可相似对角化，问矩阵 能否相似对角化？例6 判断两对角阵 与 相似否？ 可对角化矩阵的应用3: 判断矩阵是否相似【说明】例6说明当两对角阵对角线上元素相同,仅是元素顺序不同时,两对角阵相似.基本概念 矩阵相似基本理论 定理1 矩阵相似于对角阵的充分必要条件定理2 不同特征值下所属无关特征向量的关系定理3 k 重特