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1、第三节 研究有限差分格式稳定性的Fourier方法3.1 Fourier方法以一维对流方程为例：左偏差分格式：1在节点上：2等式两边分别用Fourier积分表示：由此可得:3因此实际上，我们就是用增长因子来判断稳定性的4假设：Parseval等式由假设Parseval等式5说明：增长因子的任意次幂有界保证了差分格式的 稳定性，以上推导步步可逆，即由差分格式 的稳定性可以得出增长因子的任意次幂是有 界的。结论：差分格式（1.2）稳定的充分必要条件是：存在6如果对于线性方程组，或多层格式，离散的形式为差分方程组：利用Fourier积分得到此时7稳定性条件：补充：注：所以对于增长矩阵通过矩阵的特征值

2、来得到稳定 性的条件，增长因子是特殊的增长矩阵。我们给出下面关于稳定性判别的结论83.2 判别准则(*)注：条件(*)被称为Von Neumann条件，Von Neumann条件是稳定性的必要条件，其重要性在于很多情况下，这个条件也是稳定性的充分条件。9注:判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。103.3 例子Fourier方法在具体应用时，可以采取离散的形式，直接从差分方程入手。不必要扩充、Fourier积分的烦琐步骤。具体是：以左偏格式为例：11代入差分方程整理得： 增长因子为：实际应用时，我们常用更严格的控制条件，即12例. 考虑扩散方程的隐式格式的稳定性.解. 先把差分格式变形为13例. 考虑扩散方程的Richardson格式的稳定性.这是一个三层格式,一般先化为等价的二层差分方程组.解. 先把差分格式变形为14增长矩阵为15增长矩阵为其特征值为显然不满足von Neumann条件,格式不稳定.16稳定性的分类：1、条件稳定：稳定性对时间、空间步长有限制的。如：对流方程的左偏显示格式。2、无条件稳定（绝对稳定）：稳定性对时间、 空间步长没有有限制的。如：隐式格式。3、无条件不稳定（绝对不稳定）：对任何时间、 空间步长格式不稳定。如：扩散方程的Richardson格式。17作业P44 1. 3.18练习：对一维对流方程1、写出右偏差分格

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