信号分析基础

1、第三章 信号分析基础 本章是信号分析与信息处理的一个重点内容，主要讨论信号分析的主要方法，包括： 1. 信号的分类 2. 信号的时域分析方法 时域幅值分析方法 3. 信号的频域分析方法 4. 信号的其他分析方法1第三章 信号分析基础3-1 信号的分类 为了深入了解信号的物理实质，应将其分类, 不同的类型有不同的特点，采用不同的方法进行研究。下面讨论几种比较常见的分类方法。一、确定性信号与非确定性信号 1. 确定性信号 特征：可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。 分类：可分为周期信号、非周期信号与准周期信号。 （1） 周期信号：是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件 (3-1)式

2、中，T 表示周期 ， 表示基频；n = 0 ， ，。例如，机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往是一种周期性运动。 2第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类一、确定性信号与非确定性信号 1. 确定性信号（2）非周期信号：无周期性，有时具有瞬变性，但可用数学关系式描述。如图31所示， 图 31 瞬变非周期信号 (a) 锤子敲击力；(b) 承载缆绳断裂时的应力；(c) 热电偶插入炉中时的温度变化 3第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类一、确定性信号与非确定性信号 1. 确定性信号（3）准周期信号：是周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期信号合成的，但各周期信号的频率相互间不是公倍关系，其合

3、成信号不满足周期条件，例如： 这是两个正弦信号的合成，其频率比不是有理数，不成谐波关系。这种信号往往出现在通信、振动系统，应用于机械转子振动分析，齿轮噪声分析，语音分析等。 4第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类一、确定性信号与非确定性信号 2.非确定性信号（随机信号） 特征：非确定性信号不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化是不可预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。 例如：汽车在路面上行驶时所产生的振动；飞机在大气流中的浮动；树叶随风飘荡；环境的噪声等。 说明：实际物理过程往往是很复杂的，既无理想的确定性，也无理想的非确定性，而是相互掺杂的。因此，在机械信号测试中，我们往往把所测得的

4、信号笼统地说成是非确定性信号或随机信号。 5第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类 一、确定性信号与非确定性信号 2.非确定性信号 分类： 根据其统计特性的不同，可将随机信号分为： 平稳随机信号：统计特性不随时间起点的变化而改变的一类信号；如果信号的各阶矩都不随时间的变化而改变，则称此信号是严平稳(强平稳)；如果信号的统计特性中只有均值和方差不随时间的变化而改变，则称此信号是宽平稳(弱平稳)的。 非平稳随机信号：统计特性随时间起点的变 化而改变的一类信号。 说明：在大多数情况下，机械工程中所测得的信号一般都属于平稳随机信号的范畴。实际工作中，我们往往事先假定所测信号为平稳随机信号。 6第三章

5、 信号分析基础 3-1 信号的分类一、确定性信号与非确定性信号 2.非确定性信号 各态历经信号：是最重要的一种平稳随机信号。 特点：信号的总体集合统计量与其样本的时间统计量对应相等。 重要意义：可用样本来研究信号的总体特性。 各态历经：stx(t)= stx1(t)= stx2(t)=.= stxn(t) 平稳信号：stx(t)=stx (t1)= stx (t2)=.= stx (tn) 7第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类二、能量信号与功率信号1. 能量信号 定义：在所分析的区间(-，), 能量为有限值的信号称为能量信号，又称为能量有限信号。满足条件： （32）能量的解释：对于电信号

6、，通常是电压或电流，在已知时间 内消耗在电阻上的能量。 对于电压： 对于电流： （33） （34） 在上面每一种情况下，能量都是正比于信号幅值平方的积分。若规定R=1时，上述两式具有如下相同形式：举例：矩形脉冲、减幅正弦波、衰减指数等信号。8第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类二、能量信号与功率信号 2. 功率信号 问题的提出：有许多信号，如周期信号、随机信号等，它们在区间(-，) 内能量不是有限值，在这种情况下，研究信号的平均功率更为合适。定义：在所分析的区间(-，) 内, 信号具有有限的平均功率。 在区间 内 ，信号的平均功率 （3-5） 若区间变为无穷大时，功率信号满足条件： （3-

7、6） 一个功率信号在所分析的区间(-，) 内具有无限大能量。而一个能量信号, 则具有零平均功率。9第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类三、时限与频限信号 时域有限信号： 定义：是在有限区间 内定义，而其外恒等于零。 举例：矩形脉冲、 函数、三角脉冲等。 时域无限信号： 定义：是在无限区间 内定义。 举例：正弦信号、周期信号等。 频域有限信号： 定义：是指信号经过傅里叶变换，在频域内占据一定带宽 ， 其外恒等于零。 举例：正弦信号、周期信号等。 频域无限信号： 定义：是指信号经过傅里叶变换，在频域内带宽无限。 举例：矩形脉冲、 函数、三角脉冲等。 10第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类

8、三、时限与频限信号 说明：时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远。由时、频域对称性可推论，一个具有有限带宽的信号，必然在时间轴上延伸至无限远处。显然， 一个信号不能够在时域和频域都是有限的。 定理：一个严格的频域有限信号，不能同时又是时间有限信号，反之亦然。11第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类四、连续时间信号与离散时间信号按照时间函数取值的连续性与离散性，分为连续时间信号与离散时间信号。1.连续时间信号 定义：在所讨论的时间间隔内，对于任意时刻 ，除若干个第一类间断点外，都可给出确定的函数值，此类信号称为连续时间信号或模拟信号。 第一类间断点应满足的条件：函数在间断点处左极限与

9、右极限存在，且左极限与右极限不等 ， 即：间断点收敛于左极限与右极限函数值的中点。 例如：正弦、直流、阶跃、锯齿波、矩形脉冲、截断信号等，都称为连续时间信号，如图32所示。12第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类四、连续时间信号与离散时间信号2. 离散时间信号 定义：在所讨论的时间区间，仅在所规定的不连续的瞬时给出函数值。离散时间信号又称为时域离散信号或时间序列。 离散时间信号可分为两种情况：时间离散而幅值连续时，称为采样信号；时间离散而幅值量化时，则称为数字信号。 离散时间信号获得方法：可以从试验中直接得到，也可以从连续时间信号中经采样而得到。 13第三章 信号分析基础 3-1 信号的分

10、类四、连续时间信号与离散时间信号 2. 离散时间信号 典型离散时间信号举例：可将连续时间信号的变量 t 变为 n单位采样序列：用 表示（图3-3a)，定义为 单位采样序列又称为克罗内克(Kronecker) 函数或单位样值函数。单位延时 和 k 延时 分别如图33(b）和(c)所示。14第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类四、连续时间信号与离散时间信号2. 离散时间信号 (1) 单位采样序列 此序列在 n = 0 处取单位值1，其余点上都为零(图33(a)。单位采样序列又称为克罗内克(Kronecker) 函数或单位样值函数，它在离散时间系统中的作用，类似于连续时间系统中的单位脉冲函数 。

11、但是，应注意它们之间的区别， 可理解为在t=0 点脉冲宽度趋于零，幅度为无限大的信号；而 在 n=0 点取有限值，等于1。单位延时 和 k 延时 分别如图33(b)和(c)所示。 15第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类四、连续时间信号与离散时间信号 2. 离散时间信号 举例： (2) 单位阶跃序列：定义为单位阶跃序列 u(n)、单位延时 u(n-1)、k 延时 u(n-k)，分别如图34(a)、(b)、(c)所示。单位阶跃序列与单位采样序列之间的关系为 或16第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类四、连续时间信号与离散时间信号 2. 离散时间信号 举例： (3) 实指数序列：值为 任意

12、序列(图35(a)，此处a为实数。(4) 正弦序列：具有 形式( 图35(b) 。（5）周期序列：如果对所有n 都满足x(n)=x(n+N)，则定义x(n) 为周期序列，其周期为 N ，是满足关系式的最小正整数。17第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类四、连续时间信号与离散时间信号 2. 离散时间信号 举例： (6)复指数序列：其函数形式及其展开式为 讨论：复指数序列和正弦序列的周期性 若 为一整数，则 的复指数序列和正弦序列是周期性序列，其周期为 ； 若 不为整数，则正弦序列仍是周期性的，但其周期大于 ； 若 不是有理数，则正弦序列和复指数序列都不是周期性的。 正弦序列18第三章 信号分

13、析基础 3-1 信号的分类四、连续时间信号与离散时间信号 2. 离散时间信号例3-1-l 试求 之周期，并给出此序列之图形。 解 N 为有理数，故为周期序列。可化为整数的最小倍数为 3，周期为14，该序列如图36所示。19第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类四、连续时间信号与离散时间信号 2. 离散时间信号 说明：任意序列都可以表示为延迟单位采样序列的幅值加权和，即 例如，图37表示的序列，可用下式表示20第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类五、物理可实现信号 特征：物理可实现信号又称为单边信号，满足条件： 时， ， 即在时刻小于零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。分析：对

14、于物理系统，当激发脉冲作用于系统之前，系统是不会有响应的。换句话说，在零时刻之前，没有脉冲输入，则输出为零，这种性质反映了物理上的因果关系。因此，一个信号要通过一个物理系统来实现，就必须满足 。 同理，对于离散信号而言，满足 条件的序列，即称为因果序列。举例：在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，例如，切削过程中，可以把机床、刀具、工件构成的工艺系统作为一个物理系统，把工件上的硬质点或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉冲，仅仅在该脉冲作用于系统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。 21第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数 1. 函数 函数表示一瞬间的脉冲

15、，称之脉冲函数。在信号分析中非常重要。 1) 函数的涵义 如果在某一理想条件下，如图38所示，在 时间内，激发出一个方波 ，并且设方波面积为 1，则有 当 时，方波的极限就 称为单位脉冲函数。22第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数 1. 函数1) 函数的涵义讨论： 从函数的极限角度看： 从面积角度看： 从物理意义上看： 函数是一个理想函数，是一种物理不可实现的信号。因为，当用任何工具产生冲激力时，其延续时间不可能为零。 函数在原点为无穷大，表示了当冲激时间 时，其冲激力为无穷大； 函数的单位为 1 (亦可以是任意数)，则表示了冲激能量为有限值。23第三章 信号分析

16、基础 3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数 1. 函数2) 函数的性质（1）乘积( 抽样 )特性( 图39(a) （310） (2) 积分( 筛选 )特性( 图39(b) （3-11） (3) 卷积特性( 图39(c) （3-12） 24第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数 1. 函数 2) 函数的性质25第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数1. 函数 3) 函数的变换 （1）拉氏变换 (2) 傅氏变换26第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数 2. sinc(t)函数 sinc(t)函数又称为闸门(或抽样

17、)函数、滤波函数或内插函数，在许多场合下频繁出现。其定义为 或 27第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数 2. sinc(t) 函数 如图310所示，它是一个偶函数，在 t 的正、负方向幅值逐渐衰减，当t = 、2、n时，函数值为零； t = 0 时，函数值为 1。 sinc(t) 函数所以称为闸门(或抽样)函数，是因为矩形脉冲的频谱为sinc(t) 函数；所以称为滤波函数，是因为任意信号与sinc(t) 函数进行时域卷积时，实现低通滤波；所以称为内插函数，是因为采样信号复原时，在时域由许多sinc(t) 函数叠加而成，构成非采样点的波形。28第三章 信号分析基础

18、3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数 3.复指数函数 复指数函数表达式： ，又称永存指数，在信号分析中占 有特殊地位。其指数 ，是一个复数，依据取值不同，函 数 可以概括信号分析中所遇到的多种波形。例如：（1） 当 s 为实数，即 时，如果 ，则表示升、降指数函数； 时，则表示直流信号。（2）当 s 为虚数，即 , 时， 实部 表示余弦; 虚部 表示正弦。 （3） 当 s 为复数，即 ， 时， 实部 表示余弦指数; 虚部 表示正弦指数.29第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数 3.复指数函数复指数函数的图形：将上述各种情况表示在 s 平面上，如图311所示。可

19、以看出，s 平面上的每一点都和一定的函数模式相对应。(说明见教材P36）30第三章 信号分析基础 3-1 信号的分类六、信号分析中的常用函数 3.复指数函数 复指数函数的一些重要性质 (1) 根据函数的傅里叶级数与傅里叶变换可知，实际中遇到的任何时间函数，总可以表示成为复指数函数的离散和与连续和。表明其通用性。离散和 ； 连续和 (2) 复指数函数 的微分、积分或通过线性系统时，总会存在于所分析的函数之中，即 微分 ；积分 通过线性系统 式中， 表示系统传递函数。这表明了 函数的永存性质。 31第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析 信号的时域统计分析，可以求得信号的均值、均方值、方

20、差以及概率密度函数等。 一、均值：均值 表示集合平均值或数学期望值。对于随机过程的各态历经信号，可用时间间隔T 内的幅值平均值表示，即均值 x 表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量、静态量。 二、均方值：信号x(t) 的均方值 ，或称平均功率 ，其表达式为 值表达了信号的强度，其正平方根称为均方根值，又称有效值 ，也是信号的平均能量的一种表达。32第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析三、方差：信号x( t )的方差定义为 或 S 称为均方差或标准差，描述了信号的波动量。 可以证明， 具有下述关系： 33第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析 四、概率密度函数 定义：

21、 随机信号的概率密度函数定义为 对于各态历经过程，有式中， 表示瞬时值落在增量 范围内可能出现的概 率； 表示信号瞬时值落在区间的时间；T 表示分析时间。所求得的概率密度函数 P(x) 是信号 x(t) 的幅值x 的函数。图312中，(a)表示了信号 x(t) 的时域图形；(b) 则表示了P(x)x 关系，横坐标为幅值x ，故而有时将信号的概率密度函数分析也称之为幅值域分析。34第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析 四、概率密度函数 定义： 正常工作的机械设备在随机干扰作用下，其性能参数的变化按正态分布。35第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析 四、概率密度函数用概率密

22、度函数表示均值、均方值及方差：根据概率论关于矩函数计算，有：一阶原点矩 （317） 二阶原点矩 （318）二阶中心矩 （319） 讨论：均值 是信号x(t)在所有幅值 x 上的加权线性和；均方值 是在 值上的加权线性和；方差则是在 值上的加权线性和。权函数是幅值 x 在微小区间 内出现的概率。 36第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析五、概率分布函数定义：概率分布函数是信号幅值 x 小于或等于某值R 的概率，其表达式为 （3-20） 概率分布函数又称累积概率，表示了落在某一区间的概率，亦可写成37第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析例 3-2-l 已知正弦信号 ， 试求

23、其概率密度函数 p（x），概率分布函数F(x)，均值 ，均方值 ，方差 。 解: 现在研究一个周期(T =2/0)内的情况，如图313所示。 （0 t +）= arc sin(x/A) 38第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析 例 3-2-1 39第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析例 3-2-1 因为 x = 0，所以 。40第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析五、概率分布函数 典型信号的概率密度函数及概率分布函数如图314所示。 41第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析六. 信号分析其他常用指标 1. 偏态指标K3和峭度指标K4：用来检验信号

24、偏离正态分布的程度 偏态指标K3： 其离散化计算公式为： 采用立方运算是对非对称性进行加权处理，用5、7等奇数次方均可，但运算量较大。 K3绝对值愈大，偏斜程度愈大。 42第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析六. 信号分析其他常用指标 1. 偏态指标K3和峭度指标K4峭度指标K4 ： 其离散化计算公式为： 采用4次方运算，是对(x -x)进行加权处理，用6、8等偶数次方运算亦可。 K4愈大p(x)曲线愈陡。（高斯信号的峭度指标 K4 = 3） 43第三章 信号分析基础 3-2 信号的时域统计分析六. 信号分析其他常用指标 1. 偏态指标K3和峭度指标K4 若信号x(t)为反映机械状态的参量，则K3、K4的绝对值愈大，说明机器愈偏离其正常状态，因此，偏态指标K3和峭度指标K4均可用于机械设备的故障诊断。 44第