计算工具的发展

1、计算工具的发展计算工具Calculating Devices 是计算时所用的器具或辅助计算的实物。 人们从数学产生之日，便不断寻求能方便进行和加速计算的工具。因此，计算 和计算工具是息息相关的。由于时代的限制，不发达的交通阻碍了东西方文化的交流。因此计算工具 在东西方的发展也相对独立。计算工具在东方的发展基本是中国计算工具的发 展中国古代最早的记数方法是结绳。所谓结绳记数，就是在一根绳子上打结来 表示事物的多少。比结绳记数稍晚一些，古代的先民又发明了契刻记数的方法， 即在骨片、木片或竹片上用刀刻上口子，以此来表示数目的多少。在中国历史上，结绳记数和契刻记数的方法大约使用了几千年时间，到新 石器

2、时代的晚期，才逐渐地被数字符号和文字记数所代替。最晚到商朝时，我 国古代已经有了比较完备的文字系统，同时也有了比较完备的文字记数系统。 在商代的甲骨文中，已经有了一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、 千、万这13个记数单字，而有了这13个记数单字，就可以记录十万以内的 任何自然数。中国春秋时代就出现了”算筹”根据史书的记载和考古材料的发 现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13-14cm， 径粗0.20.3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制 成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要 记数和计算的时候，就把它们取出

3、来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看 这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分 别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的 算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用 横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循十进位制。那么为什幺又要有 纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。按照中国古代 的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵 式，千位再用横式，万位再用纵式这样从右到左，纵横相间，以此类推， 就可以用

4、算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每 一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。算筹的出现年代已经不可考，但据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战 国初年（公元前722年公元前221年），一直到算盘发明推广之前都是中国最 重要的计算工具。人们发明了算盘，并在15世纪得到普遍采用，取代了算筹。 它是在算筹基础上发明的，比算筹更加方便实用，同时还把算法口诀化，从而 加快了计算速度。古代算筹记数的摆法纵 式II III IIIIIIIIITT1nn横_一一11式MM 1| 23456789算盘是一种计算工具，在阿拉伯数字出现前广为使用的计算工具。现存的算盘 形状不一、材质

5、各异。一般的算盘多为木制（或塑料制品），矩形木框内排列一 串串等数目的算珠，中有一道横梁把珠分隔上下两部分，上部代每算珠代表5, 下半部代表1，其形式有二：-上半部两算珠、下半部五算株（传统“一斤十六两”进制）-上半部一算珠，下半部四算株（才会使用十进制）用算盘计算称珠算，珠算有对应四则运算的相应法则，统称珠算法则。相对一 般运算来看，熟练的珠算不逊于计数机，尤其在加减法方面。根据珠算演变而来的珠心算成了速算技术的一种。中国算盘是从算筹发展而来的。随着手工业、商业的发展，数学计算日益复杂， 拨珠的速度远比摆算筹方便快捷多了，于是人们发明了珠算。汉末三国时期徐 岳撰的数术记遗中有述：“珠算，控带

6、四时，经纬三才”，这是对珠算的最 早的文字记载。最早的算盘图见北宋画家张择端（1085-1145）的清明上河图长卷，卷左赵太丞家 药铺柜台上帐本左手左边，有一个15档算盘珠算盘是中国首创的，并流传到了朝鲜、日本、越南等亚洲国家，后来又经一 此商旅传到了西方。算盘一类的计算工具很多文明古国都出现过，例如古罗马算盘没有位值概念， 被淘汰，俄罗斯算每柱十个算珠，计算麻烦。现在很多国家流行的是中国式的 算盘。指法 算盘一般只用拇指、食指和中指拨珠（亦有极少数非常熟练的人五个手指都用 上的），三个手指的基本分工是：-拇指拨下珠向上靠梁。-食指拨下珠向下离梁。-中指拨上珠靠梁和离梁。至于上一下四的算盘、两

7、个手指的基本分工是：-食指拨上珠向下靠梁。-食指拨上珠向上离梁。-食指拨下珠向下离梁。-拇指拨下珠向上靠梁。乘法口诀就是“九九歌”，同时要结合加法进行计算。除法口诀可以是“九九歌”，同时结合减法计算。别有源自筹算的“九归诀”如下：二一添作五，逢二进一；三一三一，三二六十二，逢三进一；四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进一；五一添作二，五二添作四，五三添作六，五四添作八，逢五进一。六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六进一;七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十 四，逢七进一；八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八六七十四

8、，八五六十 二，八七八十六，逢八进一；九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加 六，九七下加七，九八下加八，逢九进一。撞归口诀撞一:见一无除作九一；-撞二:见二无除作九二；撞三:见三无除作九三；撞四:见四无除作九四； 撞五:见五无除作九五；撞六:见六无除作九六；撞七:见七无除作九七；撞八:见八无除作九八；撞九:见九无除作九九;有的文明古国也出现过算盘一类的计算工具，有的国家从中国传入算盘以后, 对算盘的形态作了改变。罗马算盘古罗马曾出现过一种带槽的金属算盘，槽中放着石子，上下移动石子进行计 算。当时罗马人不用十进制，也没有数位的概念，罗马算盘运算笨拙，最终 未能流行

9、。古罗马人博伊斯的几何学中亦记载了一种罗马算盘的构造及 用法，这种算盘不用石子做算盘子，用的是标有数字的状似锥体的圆台做算 子，将算子放入算盘不同的档中进行计算。日本算盘日本算盘是从中国传入的，形态与中国算盘相似，只是横梁上方只有一颗算 珠。现代日本算盘则改为上一下四。用商除法而不用归除法。同时为了使乘 除位数一致改用隔位乘。俄罗斯算盘俄罗斯算盘单纯采用十进制，与中国算盘相比，没有中间的横梁，每档有十 颗算珠，每个算珠表示一个单位。俄罗斯算盘拨珠速度没有中国算盘快，计 算速度较慢，实用性较小，但它比较直观，没有专门口诀，容易上手。现在， 俄罗斯算盘常用作儿童算术启蒙教育的教具。应该说算盘使中国

10、计算工具一个伟大发明，甚至至今，然而，计算工具的发展 从此停滞不前。与西方繁多的计算工具相比，不禁令国人叹息。西方计算工具的发展除中国外，其它的国家亦有各式各样的计算工具发明，例如罗马人的算 盘，古希腊人的算板，印度人的沙盘，及英国人的刻齿本片等。这 些计算工具的原理基本上是相同的，同样是透过某种具体的物体来代表数，并 利用对物件的机械操作来进行运算。简述一张西方计算工具的发展时间表纳皮尔筹：15世纪后，格子算法通行于中亚细亚及欧洲，纳皮尔筹便是 根据了格子算法的原理，但与格子算法不同的是它把格子和数字刻在筹 长条竹片或木片上，这便可根据需要拼凑起来计算。计算尺：计算尺发明于大约1620 -

11、1630年，在约翰纳皮尔对数概念发表后不久。 牛津的埃德蒙甘特(Edmund Gunter )发明了一种使用单个对数刻度的计算工 具，当和另外的测量工具配合使用时，可以用来做乘除法。1630年，剑桥的William Oughtred发明了圆算尺，1632年，他组合两把甘特式计算尺，用手合 起来成为可以视为现代的计算尺的设备。1722年,Warner引入了2-和3-十进刻 度，1755年Everard导入倒数刻度；包含所有这些刻度的算尺通常称为“多相 算尺。第二次世界大战中，需要进行快速计算的轰炸者和航行者经常使用专用算尺。美国海军的一个办公室实际上设计了一个通用算尺底盘,它由一个铝主 体和塑料

12、游标，可以把赛璐珞卡片（两面印刷）插到里面以进行特定的计算。这 个过程被发明来用于计算射程，燃料使用和飞行器高度，然后适用到很多其他 目的。从1950年代到1960年代，计算尺是工程师身份的象征，如同显微镜代表 了医学行业一样。有些工程系的学生和工程师常把10-英寸算尺别在皮带上，或 者把一把10-或20-英寸算尺安放在家中或办公室里做精确运算用（当然,再精确 运算,计算尺就不行了,需要一本厚厚的八位对数表），而随身携带一把5-英寸袖 珍算尺。所有这一切在1970年代告终，因为微型计算器顿使算尺过时。袖珍科 学计算器（即带有三角和对数函数的计算器）的诞生为计算尺敲响了最后的丧 钟。1972年的

13、惠普HP-35是最早的科学计算器。机械计算机：机械式计算机是与计算尺同时出现的，是计算工具上的一大发明。席卡德 1623是最早构思出机械式计算机，他在给天文学家J.开普勒的信】1623, 1624 上描述了他发明的四则计算机，但并没有成功制成。而能成功创制第一 部能计算加减法的计算机是B,帕斯卡1642，在1671年，G.W.莱布尼茨发明 了一种能作四则运算的手摇计算机，是长1米的大盒子。自此以后，经过人们 在这方面多年的研究，特别是经过L.H.托马斯，W.奥德内尔等人的改良后，出 现了多种多样的手摇计算机，并风行全世界。于17世纪末，这种计算机传入了 中国，并由中国人制造了 12位数的手摇计

14、算机，独创出一种算筹式手摇计算机。电子计算机：一种能依照一定的程序自动控制的计算机。19世纪初，法国的J.M.雅 卡尔发明了用穿孔卡片来控制的纺织机，1822年，英国的C.巴贝奇便根据同一 原理制成了一部能执行计算程序的差分机，并于1834年，设计了一部完全程序 控制的分析机，可惜碍于当时的机械技术所限制而没有制成，但已包含了现代 计算的基本思想和主要的组成部分了。此后，由于电力技术有了很大的发展， 电动式计算机便慢慢取代以人工为动力的计算机。在1880年，美国的H.霍勒里 斯与J.S.比林斯发明了电动穿孔卡片式计算机，能机械化地处理数据。后来他 们更开创了第一家制造电子计算机的公司一一国际商

15、业机器公司简称IBM。 20世纪以来，电子技术与数学得到充分的发展，电子技术的改进，为计算机提 供了物质上的基础，而数学的发展对设计及研制新型的计算机有很大的帮助。 1941年，德国的楚泽采用了继电器，制成了第一部通用程序控制计算机，实现 了 100多年前巴贝奇的理想。1944年，美国的艾肯亦以同一方法制成了一台程 序控制自动数字计算机。20世纪初，电子管的出现，使计算机的改革有了新的 发展，并由于二次大战的迫切的军事需要，美国宾夕法尼亚大学和有关单位在 1946年制成了第一台计算机外国算筹纳皮尔的骨头是一种用来计算乘法与除法，类似算盘的工具。由一个底座 及九根圆柱（方柱）组成，可以把乘法运算

16、转为加法，也可以把除法运算转为 减法。更为进阶的用法也可以开平方根。E 72 =7 7 =7x4 =7 -3 -76 -77 -7wy pL-3rJ_?lI.L-，T-LASLT Of H油A乘法运算 举例说明如何用纳皮尔的骨头进行乘法运算。46785399 乘以 7把编号4,6,7,8,5,3,9,9的圆柱依序放入底座。如下图将结果相加即得到乘积（记得要进位）。46785399 乘以 96431把编号4,6,7,8,5,3,9,9的圆柱依序放入底座。将46785399乘以9,6,4,3,1分别用上述方法一条一条算出来。接着用直式加法把数字加起来。除法运算同样举例说明。46785399 除以

17、96431把除数(96431)编号的柱子摆入底座。如下图所示把96431乘以1-9的结果写出来。46785399从左边六位开始看，下面写上小于467853最大的96431k。用467853减96431k(此例中k=4)，得到的数字写下面。把上面的数字移下来，如同长除法般重复进行此动作。最后得到一个比96431还小的数，为余数。如有需要，可以一直进行除法工作以得到小数点位数。1964312%必3初X4%必5%6%X7彩必0%9为96431192S6229S2933S57244S215557S5S667501777144SS67S7946785399 |9643, 3857244858212999

18、 771448 498519 482155 16364利用纳皮尔的计算工具甚至可以开平方 计算尺基本概念 在其最基本的形式中，算尺用两个对数标度来作乘法除法，这些在纸上进行时 既费时又易出错的常见运算。用户通过估计决定小数点在结果中的位置。在包 含加减乘除的计算中，加减在纸上进行，而耳非算尺上。滑竿上的游标实际上，就是最基本的学生用算尺也远远不止两个标度。多数算尺由三个直条 组成，平行对齐，互相锁定，使得中间的条能够沿长度方向相对于其他两条滑 动。外侧的两条是固定的，使得它们的相对位置不变。有些算尺(双面型)在 尺和滑杆的两面都由刻度，有些在外条的单面和滑杆的两面有刻度，其余的只 有一面有刻度

19、(单面型)。一个滑动标记有一个或多个竖直的对齐线用于在任 何一个刻度上记录中间结果，也可用来找出不相邻的刻度上的对应点。更复杂的算尺可以进行其他计算，例如平方根，指数，对数，和三角函数。通常，数学计算通过把滑动杆上的记号和其他固定杆上的的记号对齐来进行， 结果通过观察杆子上的其他记号的相对位置来读出。乘法下图显示了一把有两个对数刻度的简化算尺。也就是说，一个数字X印在每把 尺的离索引(用数字1标记)的距离和logx成正比的地方。i|i|i|i|MWI* i4 1|娜卅叫洲吨|6 |T aG r7 B 9对数把乘法和除法操作变为加法和减法，这要感谢log(xy) = log(x) + log(y

20、) 和log(x / y) = log(x) log(y)这两个法则。把顶部刻度向右滑动log(x) 的距离把每个数字y (位于顶部刻度log(y)的位置)和底部刻度log(x) + log(y) 位置对齐了。因为log(x) + log(y) = log(xy),底部刻度的这个位置标记为 xy,也就是x和y的积。下面的图示显示了 2乘其它任何数字。上面刻度的索引 和下面刻度的2对齐 了。这把整个上刻度右移了 log(2)的距离。上刻度的数字(乘数)和下刻度上的 乘积对应。例如，上刻度的3.5和下刻度的乘积7对齐，而4和8对齐，等等，如 图所示：yy | | |ijf隔3川|11呵和叫1啊|岬

21、0咿：岫血山川盅岛操作可能会超出范围。例如上图显示上刻度的7没有任何下刻度的数字对齐， 所以它没有给出己x的答案。在这种情况下，使用者可以把上刻度往左移一点， 乘以02而不是2,如下图所示：= L LJ J11j 11-lllJllljkllJllll-lil l.i 1；lbLljl-Ail_:T| i |T|T j h 11 *T|卜| 111 E|l 寸|111|1顷! Il |1|股11|这里，算尺的使用者必须记得相应的调整小数点以得到最后答案。我们要找到X，但是我们实际上计算了 U -2； = 14。所以真正的答案是14而不是1.4.除法下图显示了 5.5/2的计算。顶部刻度的2放在

22、底部刻度5.5的上面。顶部的1就在 商2.75的上面。A 111山器,以!1；11禅.山川1%Mi流血思1：11井山博 | 丁叩巧叩中山矿唧1.卜i户工I山|拽11 j叫；，r 丁 |* *|其他运算除了对数刻度，有些算尺还有其他数学函数刻录在辅助刻度上。最常见的有三 角函数，通常有正弦和正切，常用对数(log10)(用于取一个乘数刻度上的值的 对数)，自然对数(ln)和指数函数(ex)刻度。有些尺包含一个毕达格拉斯刻度，用 来算三角形的边，还有一个算圆的刻度。其它的有计算双曲函数的刻度。在直 尺上，刻度和它们的标示是高度标准化的，主要的变化在于哪些刻度被包括进 来以及出现的次序。A, B双-

23、十对数刻度C, D单-十对数刻度K三-十对数刻度CF, DF从丸而不是1开始的C和D刻度CI, DI, DIF倒数刻度，从右到左S用于在D刻度上找正弦和余弦T用于在D和DI刻度上找正切ST用于小角度的正弦和正切L线性刻度，和C及D刻度配合使用来找基数为10的 对数和10的幂LLn一套对数的对数刻度，用于找自然对数和指数t出州时廿川瞄、LL02 L I iiii iIh - iln-iJ!LL03邕高血仙I心u酒QF I* I* l|MHj?ill|llH 口 j p |!lll|rlllii!*l|rill l| II i|-H-ir|ll1iniG r| i iii nibhiii-iBFi

24、iiiii|ihp|s;i r | tW%. lliJTWV”炉叫”州:mn|iiiiOiii|niL|LL3 /心山叩俱了可而Wildiyilili lil iMiiili 1 Ji l.kL|?tal|11|114|11|-)111|11；|1114 .,jiiiuiiui-l-i i|H iij-i；A dllli:|llll ilnijlijlili.nlJlJ 、一把K&E 4081-3算尺的正面和反面。求根和幕有单-十（CandD）,双-十（AandB）,和三-十（K）刻度。例如，要计算x2,我 们可以在D上找到x,从A上读出它的平方。把这个过程反过来，我们可以计算 平方根，同样3

25、, 1/3, 2/3,和3/2次幂都可以这样算。在刻度上找底x的时候 必须小心，有时候会有不只一个地方出现x。例如，A刻度上有两个9,要找9的 平方根，我们必须使用第一个9；用第二个9就会给出90的平方根。三角函数对于5.7到90度之间的角度，正弦可以通过比较S刻度和C或D找到。S刻度有 第二套角度（有时会用不同的颜色），从反方向增大，这是用来算余弦的。正切 可以通过比较T刻度和C, D刻度,或者，对于大于45的角，可以比较CI刻度。小于5.7度的角的正弦和正切可以使用ST刻度找到。反三角函数可以用相反的 过程找。对数和指数以10为底的对数和指数可以用L刻度找到，它是线性的。底是e的时候要用L

26、L 刻度。圆算尺圆算尺有两种基本类型，一种有两个游标，另外一种有一个活动圆盘和一个 游标。圆算尺的基本优点在于最长的尺寸缩小到大约3倍（也就是n倍）。例如， 一把10 cm圆算尺和一把30 cm普通算尺的精度相当。圆算尺也消除了 越界 计算，因为刻度被设计为环绕的;它们从不需要在结果接近1.0的时候重定向 一尺子总是在界内的。圆算尺在机械方面更为强壮，活动更平滑而且比直算尺更精确，因为他们只依 赖于一个中央轴承。中央支撑很少脱开。轴承也避免了划伤表面和游标。只有 最昂贵的直算尺才提供这些特性。最高精度的刻度放在最外环。高端的圆算尺不用割裂式刻度，而是对比较困 难的刻度（如双对数刻度）采用螺线刻度。一个八英寸高级圆算尺可以有一个50英寸双对数刻度！技术上来讲，圆算尺的真正缺点在于不那幺重要的刻度离中心比较近，所以精 度较差。历史上，圆算尺的主要缺点只是它们不是标准的。多数学