计量第三章答案

1、第三章一元经典线性回归模型的基本假设与检验问题3.1 TSS,RSS,ESS的自由度如何计算？直观含义是什么？答：对于一元回归模型，残差平方和RSS的自由度是（n - 2），它表示独立观察值的个数。对于既定的自变量和估计量& 1和 2，n个残差 JL匕u = Y我一但Xi i i 2 i必须满足正规方程组。因此，n个残差中只有（n- 2）个可以“自由取值”，其余两个随之确定。所以RSS的自由度是（n 2）。TSS的自由度是（n -1） : n个离差之和等于0，这意味着，n个数受到一个约束。由于TSS=ESS+RSS，回归平方和ESS的自由度是1。3.2为什么做单边检验时，犯第一类错误的概率的评

2、估会下调一半？答：选定显著性水平a之后，对应的临界值记为，力，则双边检验的拒绝区域为111 t 。o/2a/2单边检验时，对参数的符号有先验估计，拒绝区域变为t t或t -t ，故对犯第I类错 a/2a/2误的概率的评估下下降一半。3.3常常把高斯-马尔科夫定理简述为：OLS估计量具有BULE性质，其含义是什么？答：含义是： （1）它是线性的（linear）： OLS估计量是因变量的线性函数。（2）它是无偏的（unbiased）：估计量的均值或数学期望等于真实的参数。比如 一 挪2) = 2。（3）它是最优的或有效的（Best or efficient）:如果存在其它线性无偏的估计量，其方差必

3、 定大于OLS估计量的方差。3.4做显著性检验时，针对的是总体回归函数（PRF）的系数还是样本回归函数（SRF）的 系数？为什么？答：做显著性检验时，针对的是总体回归函数（SRF）的系数。总体回归函数是未知的，也 是研究者所关心的，所以只能利用样本回归函数来推测总体回归函数，后者是利用样本数据 计算所得，是已知的，无需检验。（习题）3.5以下陈述正确吗？不论正确与否，请说明理由。（1）X值越接近样本均值，斜率的OLS估计值就越精确。答：错误。因为Se（2）|E U 2n _ 2，当X值越接近样本均值时气=XX将会变小，则E X2也将变小，这将会导致se（吗）变大。标准差的变大致使 i=1OLS

4、估计值波动更大，OLS估计值也变得更不精确了。（2）如果误差项u与自变量X相关，则估计量仍然是无偏的。答：错误。在证明估计量是无偏性的时候，我们假定自变量是给定的，否则E（叩=P2+E kE（u）=P2的第一个等式不成立。（3）仅当误差项服从正态分布时，估计量才具有BLUE性质。答：错误，在证明高斯-马尔科夫定理时，无需假设误差项服从正态分布。（4）如果误差项不服从正态分布，则不能进行检验和F检验。答：正确。在证明相关统计量服从学生分布和F分布时，需要假设误差项服从正态分布。（5）如果误差项的方差较大，则置信区间较宽。答：正确。因为当误差项变大时，置信区间的表达式：p _&e（p）-1 8 1

5、3.63） = 9.6845E -06这说明，在一次抽样中，统计量绝对值大于等于13.63的概率非常非常小，几乎不会发生。所以，我们拒绝原假设：H0： & 2 = 0，则说明价格影响供给。（4）由置信区间公式：& - 3（3 ） -1 V。V&+ Se（E ） -1 11 a/2111 a/2这里a = 5%，对于本题，自由度为n - 2 = 6，则ta/2 = 2-447 .已知&；= 6.99,据（）=1.786，故2.6197 & 1 td/2陀E+抑，可得：0.7186 p 1的前提下，检验H0 : 3 2 = 1的虚拟假设（零假设）。你 使用什么检验？为什么？（3）假设1968年的L

6、FPR为0.58 （或58%），基于上述回归结果，1972年的LFPR的均值 的估计值是多少？构造其真实均值的95%的置信区间。（4）如何检验总体回归误差项服从正态分布的虚拟假设？答：（1）由可决系数0.397可知，两个年度的劳动参与率有一定程度的相关性，但相关程度 不是很高。直观地说，劳动力参与率存在一定的惯性。（2）使用t检验。假设：H0: & 2 = L则&-T&T （&） 口，而对于当刖样本，se（&）, 22利用单边检验，接受原假设。使用单边检验是因为我们有先验判断：& 2 - 1人八 一 一 一一一(3)E(Y)的估计值 Y = 0.2033 + 0.6560X = 0.2033

7、+ 0.6560 x0.58 = 0.5738由总体方差未知，则Y - Se(Y)t E(Y) Y + Se(Y)t，a/2a/2H 加竺=。 054+4 00誓8 00 5 可 得：0.5633 Y 0.5844 n -11 9- 1由此得到Y的置信度为95%的置信区间为0.5633,0.5844（4）有三种方法可以检验总体回归误差项服从正态分布的虚拟假设：（1）残差直方图：用频率描述随机变量概率密度函数的图示法。（2）正态分位图：把一组数据标准化之后与标准正态分布比较（3）雅克-贝拉检验。如果残差服从正态分布，雅克和贝拉证明了 JB统计量服从自由度为2的穴2分布。如果JB统计量对应的P值很

8、小就拒绝残差服从正态分布的零假设，否则就不能拒绝正态分布假设。3.10考虑双变量模型模型1:Y = & +P X + ui 12 i i模型 II： Y =% +a2(X. X) + u其中X =（X X.）/n，n是样本容量。I. . 交.（1）它们的OLS估计量是否相同（&与1七与以2）？（2）OLS估计量的方差是否相同？你认为那个模型更好?答：（1）K与&一相同，耽与a不相同。& 2- Zn xy=1 i iXi=1 iX (x -x) ya =卞1 i =2 乙(X - x )2i，a = Y-a2(2) se( 31)=bse( |3 )=A4c则可知se(P )。se(a ),se

9、(P ) = se(a )22因为，ZX； = Z（x + Zx；+屏卫号所以第二个模型比较好。3.11数据DATA3-1给出了美国在1960-2005年间商业和非农商业部门的小时产出指数（X ） 和实际工资（Y）的数据，基年（1992）指数为100,且指数经过了季节调整。（1）分别就两个部门将Y对X描点。（2）这两个变量之间关系的背后有什么经济理论？散点图支持该理论吗?（3）估计Y对X的回归方程。答：（1）下图是商业部门的小时产出指数与实际工资散点图:180 -160 -140 -120 -100 -Y80 -60 -40 -20 -0 -406080100120140下图是非农商业部门的小

10、时产出指数与实际工资散点图：180 -160 -140 -120 -100 -Y80 -60 -40 -20 -0 -406080100120140（2）效率工资理论认为实际工资水平与经济增长是正相关的。该散点图支持该理论。（3）对于商业部门可以从eviews6.0得出以下回归结果：Y = 1.992435X -102.3662对于非商业部门得到如下分析结果:AY = 2.075734X -111.64073.12 蒙特卡罗试验：给定 10 个 X 的值：80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260。变量丫的生成机制是回归方程：Y = 20 +

11、 0.6Xz +七，其中匕 N（0,9）。生成100个样本，求出100个样本回归方程的系数估计值，对这些估计值描图。你有什么发现？计算 每个回归方程的残差平方和除以（10-2=8）的商，考察100个商的平均值。你有何发现？ 答：用eviews6.0输出结果我们可以看出系数的平均值等于0.6004.这些系数的估计值都在一条直线附近。由结果我们可以发现，这些估计值的均值无限接近0.6004，可以说明估计量具有无偏性。3.13*下列模型中，那些可以化为线性回归模型来处理:（1）Y =心2X +u，（3）Y = p + e-P2（X-2） + uY = 1（5）1 =P1 + P2 e2 x+x 2

12、+ uY =1（2）1 = z_z1 + e P1+P2X+u（4）Y = P + P；X + u答：（1），（2），（5）可以转化为线性回归模型来处理。3.14考虑过原点的回归方程:Y =p X + ui 2 i iCLRM的假设仍然成立。c*八（1）求系数估计量p 2及其方差var（p 2）。（2）求var（ui）的估计量及var（p2）的估计量。（3）TSS = ESS + RSS仍然成立吗？如果不成立，如何合理定义拟合优度？答：（1）u. = Y -Y. = Y -X.，残差平方和RSS=Su2 =E（Y -X.）2，口 ： iiii 2 i，ii 2 i ，:两边对p 2求导数，并令其为零：S XY2S （Y“2Xi）（-Xi）=0，求得=i从而- ZxY Zx2