13-第13讲闭区间上连续函数的性质

1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一）第十三讲 闭区间上连续函数的性质脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第三章 函数的极限与连续性本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限

2、。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章 函数的极限与连续性第九节 闭区间上 连续函数的性质一.最大值和最小值定理二.介值定理三. 函数的一致连续性 最大值和最小值定理设 f (x) C ( a, b ), 则 (i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时 aObxyaObxyOabxyOabxyy = f (x) a, b , y = f (x) a, b , 此时, 函数 f (x) 恰好在 a, b 的 端

3、点 a 和 b 处取到最大值和最小值.则则 (ii) y = f (x) 为一般的连续函数时xyaa1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O(最大值和最小值定理)若 f (x) C ( a, b ) , 则它在该闭区间上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 . 在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大值和最小值.定理若 f (x)C( a, b ), 则 f (x) 在 a, b 上有界. xyaa1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O 看图就知道如何证明了. 推论f (x) 在 a, b 上可取到它的

4、最大值 M 和 f (x)C ( a, b )故 m f (x) M , xa, b,| f (x) | M* , xa, b,令 M* = max |m|, | M| , 则即 f (x) 在 a, b 上有界.最小值 m ,证二.介值定理axyy = f (x)f (a)bf (b)Of (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0, f ( )0.先看一个图 描述一下这个现象(根存在定理或零点定理)则至少存在一点 (a, b), 使得 f ( )0.设 f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,axyy = f (x)f (a)bf (b)O 如何证明

5、？定理1 证明的思想方法 区间套法将区间 a, b 等分为 a, a1 和 a1, b , 在这两个区间中, 选择与 a, b 性质相同的一个, 例如, 若 f (a1) f (b) 0 , 则选取区间如此下去, 小区间的长度趋于零, 并且a1, b, 然后, 对 a1, b 进行等分, 并进行选择, 又得一个新的小区间.总保持函数区间端点值反号的性质, 由函数的连续性, 这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值, 就是要求的 (a, b).f (a) =Af (b) =Byy = f (x)f ( ) = C下面看看, 坐标平移会产生什么效果.xxxxOabx如何描述这个现象?(介值定理

6、)设 f (x)C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C, 至少存在一点 (a, b), 使得 f () = C.定理2令 (x) = f (x) C 故由根存在定理, 至少存在一点 (a, b) 使 则 (x)C ( a, b ) C 在 A, B 之间 (a) (b) = ( f (a) C )( f (b) C )= ( A C ) ( B C ) 0yBCAOabbx证 ( )= 0, 即 f ( ) = C .最大、最小值定理介质定理？ 引入设 f (x) C ( a, b ), 则 f (x) 取得值 m 之间的任何

7、一个值. 推论介于其在 a, b 上的最大值 M 和最小设 f (x)C ( a, b ), 证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得例1a x1 x2 xn b,证由介值定理, 至少存在一点 ( x1 , xn ), 使证明方程 x5 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,则 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0, b 0 )设 f (x) = x a sin x b , x 0, a + b ,则 f (x)C( 0, a + b ),而 f (0) = 0 a sin 0 b = b 0, 则 f (0) f (a + b) 0, 由根存在综上所述, 方程在 ( 0, a + b 上至少有一个根,例4证三*. 函数的一致连续性设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义. , 若 , 当 | x x0 | 时, 有成立, 则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续