信号与系统：第四章-傅里叶变换和系统的频域分析2

1、第四章 傅里叶变换和系统的频域分析时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf (t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号e jt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析本章主要内容：第四章 傅里叶变换和系统的频域分析信号分解为正交函数傅里叶级数周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换的性质能量谱和功率谱周期信号的傅里叶变换LTI系统的频域分析4.1 信号分解为正交函数一、矢量正交与矢量分解矢量Vx = ( vx1,

2、 vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：其内积为0，即第四章 傅里叶变换和系统的频域分析矢量正交矢量分解将相互正交的单位矢量组成一个 “正交矢量集”，则任意矢量都可用该集合的分量组合表示。4.1 信号分解为正交函数举 例如二维平面矢量A ，可表示为：为二维“正交矢量集”如三维空间矢量B ，可表示为：为三维“正交矢量集”二、信号正交与正交函数集4.1 信号分解为正交函数信号正交定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足 (两函数的内积为0)则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 正交函数集若n个函数 1(t)， 2(t)

3、， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。 (Ki为常数)4.1 信号分解为正交函数完备正交函数集如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足 则称此函数集为完备正交函数集。( i =1，2，n)举 例(完备正交函数集)1. 三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,2. 沃尔什（Walsh）函数3. 复函数集ejnt，n=0，1，2，(t0，t0+T)(T=2/)(0，1)(t0，t0+T)(T=2/)三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,举 例（续

4、）4.1 信号分解为正交函数(t0，t0+T)(T=2/)= 0= 0= 0三、信号的正交分解4.1 信号分解为正交函数设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为讨 论：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?通常使误差的均方值(均方误差)最小。 4.1 信号分解为正交函数 最小均方误差均方误差定义为： 为使上式最小，有：展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为 误 差 4.1 信号分解为正交函数即： 所以系数代入均方误差表达式，得最小均

5、方误差（推导过程见教材）巴塞瓦尔公式4.1 信号分解为正交函数信号的能量各正交分量的能量和第j个正交分量的能量Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和当 ，有最小均方误差为零， ，则4.2 傅里叶级数在（-，）区间，每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号称为周期信号，表示为：f(t) = f(t+mT)周 期频 率tf(t)0T2T-T1/T一、傅里叶级数的三角形式第四章 傅里叶变换和系统的频域分析4.2 傅里叶级数设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，

6、当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数三角形式 傅里叶系数是n的偶函数由Ci表达式确定是n的奇函数。4.2 傅里叶级数将上式同频率项合并，可写为上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n次谐波，其频率是基波的n倍。n的偶函数n的奇函数4.2 傅里叶级数例 题 将图中所示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。 f(t)0T2Tt解：首先确定傅里叶系数4.2 傅里叶级数则方波信号的傅里叶级数展开式为：4.2 傅里叶级数方波信号的傅

7、里叶级数展开式：特 点频率较低的谐波，振幅较大，是组成方波的主体；合成波形所包含的谐波分量越多，越接近于原方波信号；即使n，间断点处仍有误差，称为吉布斯（Gibbs）现象。基波+三次谐波基波+三、五、七、九次谐波 4.2 傅里叶级数 复 习信号的正交分解巴塞瓦尔公式的含义傅里叶级数三角形式第四章 傅里叶变换和系统的频域分析4.2 傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性1 .f(t)为偶函数对称纵坐标bn =0，展开为余弦级数。2 .f(t)为奇函数对称于原点an =0，展开为正弦级数。 实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于

8、f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以 4.2 傅里叶级数3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2) 此时，其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：a0=a2=b2=b4=0 4 .f(t)为偶谐函数f(t) = f(tT/2) 此时，其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0 4.2 傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 令n = -

9、nA n=An， n= n4.2 傅里叶级数A0=A0ej0ej0t0=0 所以令复数称复傅里叶系数则，傅里叶级数的指数形式：表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。n=0,1, 2,4.2 傅里叶级数复傅里叶系数Fn复系数Fn的求解公式n=0,1, 2,bnan4.2 傅里叶级数例 题 周期锯齿波信号如图所示，求该信号的指数形式傅里叶级数。 解： f(t) 在一个周期内的表达式为：其指数形式傅里叶系数为：f(t)0Tt1-14.2 傅里叶级数所以 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号

10、中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|和n的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。4.3 周期信号的频谱及特点第四章 傅里叶变换和系统的频域分析一、周期信号的频谱信号的幅度/相位随信号频率变化的关系，称为信号的幅度/相位频谱。An0A0/2谱 线包络线-24.3 周期信号的频谱4.3 周期信号的频谱二、周期矩形脉冲的频谱举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示，求频谱。 复傅里叶系数： n = 0 ,1，2， 4.3 周期

11、信号的频谱周期脉冲序列的幅度频谱（T=4）令：n = 0 ,1，2， 有：特点：周期矩形脉冲信号的频谱都是离散的，谱线位置是基频的整数倍；一般具有收敛性，总趋势减小。零点位置：4.3 周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系T一定，变小，此时（谱线间隔）不变，两零点之间的谱线数目增多，幅度减小；一定，T增大，间隔减小，频谱变密，幅度减小；T（非周期信号），谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。n = 0 ,1，2， 复 习傅里叶级数三角、指数形式周期信号的幅度谱、相位谱概念周期信号幅度谱特点（以周期方波为例）第四章 傅里叶变换和系统的频域分析第四章 傅里叶变换和系

12、统的频域分析4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换一、傅里叶变换为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度函数的概念，简称频谱函数，即 (单位频率上的频谱） 根据傅里叶级数指数形式的公式：4.4 非周期信号的频谱有：由于：T，无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量） 所以当T时，有：傅里叶(正反)变换4.4 非周期信号的频谱亦可简记为：或 f(t) F(j) F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)频谱密度函数F(j)一般是复函数，写为：F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 模相 位实 部虚 部函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(在无限区间内绝

13、对可积） 4.4 非周期信号的频谱二、常用函数的傅里叶变换1. 门函数(矩形脉冲)4.4 非周期信号的频谱2. 单边指数函数f(t) = et(t)， 0实数3. 双边指数函数f(t) = et , 0 4.4 非周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱4. 冲激函数(t)、(t)物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。4.4 非周期信号的频谱5. 单位直流信号直接利用定义式不好求解，则构造 f(t)=e-t ， 0冲激函数强度：因此， 12()4.4 非周期信号的频谱6. 符号函数构造 函数 f(t)：所以：4.4 非周期

14、信号的频谱7. 阶跃函数(t)将单位阶跃函数(t)表示为：直流信号符号函数4.4 非周期信号的频谱归纳记忆：1. F 变换对2. 常用函数 F 变换对：(t)(t) e -t (t) g(t) sgn (t) e |t| 1 12() 复 习傅里叶正反变换（FT）常用信号的傅里叶变换门函数单边指数双边指数冲激函数及其导数单位直流信号符号函数阶跃信号第四章 傅里叶变换和系统的频域分析4.5 傅里叶变换的性质一、线性(Linear Property)证 明:= a F1(j) + b F2(j)f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)若：a f1(t) + b f2(t) a F1(j)

15、+ b F2(j)则：F a f1(t) + b f2(t)a、b为任意常数4.5 傅里叶变换的性质信号f(t)如图所示，求其频谱 F(j)。解: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - 2Sa()-举 例4.5 傅里叶变换的性质二、奇偶性 (Parity) R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()如果信号f(t)是时间t的实函数，则因此：(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,

16、then R() = 0, F(j) = jX()4.5 傅里叶变换的性质f(-t)的傅里叶变换为考虑到R()是的偶函数，X()是的奇函数，故4.5 傅里叶变换的性质如果信号f(t)是时间t的虚函数，则 R()= - R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()因此：(2) f(-t) F(-j)= - F*(j)4.5 傅里叶变换的性质三、对称性质(Symmetrical Property)f (t) F (j)若：F( jt ) 2f ()则：证 明:t - tt t整 理：即：F( jt ) 2f ()4.5 傅里叶变换的性质例 如4.5 傅里叶

17、变换的性质举 例已知信号 求其频谱 F(j)。解:若根据对称性，有：所 以：4.5 傅里叶变换的性质四、时移性质(Timeshifting Property)F f (t t0 ) f (t) F(j)若：则：t0为任意常数证 明:4.5 傅里叶变换的性质f1(t) = g6(t - 5) f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =+信号f(t)如图所示，求其频谱F(j)。举 例解:4.5 傅里叶变换的性质五、频移性质(Frequency Shifting Property)0为常数f (t) F(j)若：则：证 明:举 例f(t) = ej3t

18、F(j) = 2(-3)4.5 傅里叶变换的性质频谱搬移4.5 傅里叶变换的性质六、尺度变换性质(Scaling Transform Property)f (t) F (j)若：则：证 明:a为实常数4.5 傅里叶变换的性质说明：信号在时域中压缩（a1）等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展（a0)解:设宽度为2a的门函数 其傅里叶变换为 由傅里叶逆变换 ，有4.5 傅里叶变换的性质十、相关定理 (Correlation Theorem)若：f 1(t) F1 (j)f 2(t) F2 (j)则：相关定理：两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一个信号傅里叶变换的共轭

19、之积。证明：4.5 傅里叶变换的性质对于自相关函数4.5 傅里叶变换的性质综合举例1求函数 的傅里叶变换。解:4.5 傅里叶变换的性质综合举例2解:4.5 傅里叶变换的性质 复 习傅里叶变换性质线性性质奇偶性对称性时移性质频移性质尺度变换性质卷积性质时域的微分和积分频域的微分和积分相关性质4.6 能量谱和功率谱4.6 能量谱和功率谱一、能量谱1. 信号能量的定义：时间（-, ）区间上信号的能量。 信号(电压或电流)f(t)在1电阻上的瞬时功率为|f(t)|2,在区间（-T, T）的能量为 如果信号能量有限，即0E，信号称为能量有限信号，简称能量信号。例如门函数，三角形脉冲，单边或双边指数衰减信

20、号等。证明:4.6 能量谱和功率谱2. 帕斯瓦尔方程（能量方程）：4.6 能量谱和功率谱 在频带df内信号的能量为E () df，因而信号在整个频率区间（-, ）的总能量为： 上式与帕斯瓦尔公式进行比较可知，能量密度谱E () 为：3. 能量密度谱E ()： (Energy-density Spectrum) 为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助于密度的概念，定义一个能量密度函数，简称为能量频谱或能量谱。 能量频谱E ()定义为单位频率的信号能量。例1：计算信号的能量 解:4.6 能量谱和功率谱由相关定理：信号的能量谱E () 与自相关函数R()是一对傅里叶变换 信号的能量谱E () 是的

21、偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位：Js。4.6 能量谱和功率谱二、功率谱 由信号能量和功率的定义可知，若信号能量E有限，则P=0；若信号功率P有限，则E=。1. 信号功率：定义为时间（-, ）区间上信号f(t)的 平均功率，用P表示。 如果信号功率有限，即0P，信号称为功率有限信号，简称功率信号。如阶跃信号，周期信号等。如果f(t)为实函数，则4.6 能量谱和功率谱功率有限信号的能量趋于无穷大，即 从f(t)中截取|t|T/2的一段，得到一个截尾函数fT(t)，它可以表示为：如果T是有限值，则fT(t)的能量也是有限的。令fT(t)的能量ET可表示为：由于4.6 能量谱和功

22、率谱f(t)的平均功率为： 当T增加时，fT(t)的能量增加，|FT(j) |2也增加。当T时， fT(t) f(t) ，此时|FT(j) |2 /T可能趋于一极限。比较得：2. 功率密度谱：类似于能量密度谱，定义功率密度谱 函数P () 为单位频率的信号功率。从而平均功率：4.6 能量谱和功率谱 信号的功率谱P () 是的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位：Ws。自相关函数：3. 功率密度谱与自相关函数的关系： 若f1(t)和f2(t)是功率有限信号，此时相关函数的定义为：4.6 能量谱和功率谱两边取傅里叶变换，得：比较前面推导：功率有限信号的功率谱函数P () 与自相关函

23、数R()是一对傅里叶变换。第四章 傅里叶变换和系统的频域分析4.7 周期信号的傅里叶变换一、 正、余弦函数的傅里叶变换 12()由频移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )4.7 周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换周期函数fT (t)，展成指数形式的傅里叶级数：对周期函数fT (t)取傅里叶变换，得：说明：周期信号的傅里叶变换由无穷多个冲激函数组成，位置为 处，强度为相应Fn的 倍。4

24、.7 周期信号的傅里叶变换举 例例：求周期为T的单位冲激周期函数的傅里叶变换。解：T(t)的傅里叶系数为令4.7 周期信号的傅里叶变换三、傅里叶系数与傅里叶变换傅里叶系数：周期信号fT(t)中截取一个周期（-T/2T/2），定义为信号f0(t)，其傅里叶变换：结 论：周期信号的傅里叶系数Fn等于F0(j)在频率为n处的值乘以1/T。Fn的另一种求解方法第四章 傅里叶变换和系统的频域分析4.8 LTI系统的频域分析基本信号: 虚指数函数傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。对周期信号：对非周期信号：4.8 LTI系统的频域分析一、基本信号ej t作用于LTI系统的响应说明

25、：频域分析中，信号定义域为(,)，而t=总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，记为y(t)。 y(t) = h(t)* ej t即：h(t)的傅里叶变换 H(j ) y(t) = H(j ) ej t所以：系统的频率响应函数包含y(t)的幅度和相位信息LTI系统h(t)y(t)ej t4.8 LTI系统的频域分析二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej tH(j ) ej tF(j ) ej t d F(j )H(j ) ej t d 齐次性可加性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )LTI系统h(t)y(t)ej t4.8 L

26、TI系统的频域分析LTI系统h(t)f(t)y(t)FT FT IFT 时域分析法频域分析法三、频域分析法4.8 LTI系统的频域分析频率响应函数H(j)称为幅频特性（幅频响应），是的偶函数；()称为相频特性（相频响应），是的奇函数。 频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即4.8 LTI系统的频域分析举 例例1 ：某LTI系统的H(j)和()如图，求系统的响应，已知f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)。解：取f(t)的傅里叶变换 F(j) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y

27、(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5)+ 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) = 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j) = 2 + 2sin(5t)4.8 LTI系统的频域分析例2：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = f(t)求f(t) = e-t(t)时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换jY(j) + 2Y(j) = F(j) 系统的频率响应函数单边指数函数输出y(t)的频谱则输出y(t)为：4.8 LTI系统的频域分析根据题意，计算

28、出响应的傅里叶变换；利用傅里叶反变换计算得出系统的响应。LTI系统频域分析方法的思路 复 习正弦、余弦信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换形式频率响应函数的概念基本信号作用于LTI系统的响应一般信号作用于系统的响应LTI系统频域分析方法思路4.8 LTI系统的频域分析四、无失真传输与滤波1、失真的概念 系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。4.8 LTI系统的频域分析2、无失真传输 所谓无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度大小和出现时间的不同，而没有波形上的变化。即y(t) = K f (ttd)Y(j)=Ke jtdF(j) 设输出信号y(t)的频

29、谱为Y(j)，输入信号f(t)的频谱为F(j)，则输入与输出之间无失真传输的频谱关系为：4.8 LTI系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统H(j)、h(t)的要求是对h(t)的要求：h(t)=K(t td)H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd其幅频特性和相频特性分别为：对H(j)的要求：H(j) = K () = td 上述是信号无失真传输的理想条件，可适当放宽。如，在传输有限带宽信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。无失真传输条件4.8 LTI系统的频域分析系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)、(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生

30、失真的是(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)举 例(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)3、理想低通滤波器 4.8 LTI系统的频域分析具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。该滤波器将低于c的信号无失真地传送，而阻止角频率高于c的信号通过。信号能通过的频率范围称为通带；阻止信号通过的频率范围为阻带。阻带通带阻带无失真传输通带内：截止角频率4.8 LTI系统的频域分析冲激响应t0时，h(t) 0，说明系统是非因果系统，物理不可实现。4.7 LTI系统的频域分

31、析g(t)=h(t)*(t)= 经推导，可得称为正弦积分特点：有明显失真，只要c，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。gmax=0.5+Si()/=1.0895阶跃响应4、物理可实现系统的条件 时域条件因果条件频域条件佩利维纳准则并且必要条件例如：理想低通滤波器违反了佩利维纳准则 ，则系统不可实现。4.8 LTI系统的频域分析4.9 取样定理第四章 傅里叶变换和系统的频域分析取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一

32、座桥梁，为其互为转换提供了理论依据。 一、信号的取样利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程，称为“取样”。这样得到的离散信号称为取样信号。4.9 取样定理已知一连续信号f(t)如图所示，用取样脉冲序列s(t)(开关函数）进行取样。得取样信号 fS(t) = f(t)s(t)取样信号fS(t)的频谱函数为 FS(j)=(1/2)F(j)*S(j)取样间隔：TS取样频率： fS =1/TS4.9 取样定理冲激取样若s(t)是周期为Ts的单位冲激函数序列Ts(t)，则称为冲激取样。 得取样信号 取样信号fS(t)的频谱函数为4.9 取样定理=*=4.9 取样定理二

33、、时域取样定理当S 2m 时，将取样信号通过下面的低通滤波器其截止角频率C取m C S -m 。即可恢复原信号。由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t) H(j) h(t) =为方便，选C = 0.5S ,则TsC /=1 4.9 取样定理所以根据f(t)=fS(t)*h(t) ，有只要已知各取样值f(nTs),就出唯一地确定出原信号f(t)。 时域取样定理： 一个频谱在区间（-m，m)以外为0的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔Ts Ts2fm，或者说，取样间隔不能太大，必须Ts1/(2fm);否则将发生混叠。 通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特（Nyquist

34、)频率，把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。 频域取样定理：根据时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理。 一个在时域区间（-tm,tm)以外为0的时限信号f(t)的频谱函数F(j)，可唯一地由其在均匀频率间隔fsfs1/(2tm)上的样值点F( jns)确定。 4.9 取样定理例1 有限频带信号f1(t)的最高频率为m1( fm1 ) ，f2(t)的最高频率为m2 ( fm2 ) ，对下列信号进行时域抽样，试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率fs与奈奎斯特间隔Ts。4.9 取样定理4.9 取样定理解：所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：4.9 取样定理所以，奈奎斯特频率为

35、：奈奎斯特周期为：4.9 取样定理所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：4.9 取样定理所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：4.9 取样定理所以，奈奎斯特频率为：奈奎斯特周期为：例24.9 取样定理解：4.9 取样定理由对称性可知：所以：此外：4.9 取样定理所以：第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 常用信号的傅里叶变换（8个） 傅里叶变换的性质（十条） LTI系统频域分析法（频率响应函数、无失真传输、低通滤波器，及求解系统响应） 时域取样定理（含义及应用）小 结第四章 傅里叶变换和系统的频域分析练习题1. 求下列信号的指数形式Fourier级数展开式。 2. 求下图所示非周期信号的频谱函数

36、。0t1212-2-1第四章 傅里叶变换和系统的频域分析3. 试求下列频谱函数对应的信号f(t)。第四章 傅里叶变换和系统的频域分析4. 已知一个LTI连续系统的频率特性为：求在输入f(t)=(t)的激励下，系统的零状态响应。5. 已知信号f(t)，当对该信号取样时，试求能恢复原信号的最大取样周期TS。4.10 序列的傅里叶分析4.10 序列的傅里叶分析一、周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 具有周期性的离散时间信号可以表示为fN(k),其下标N表示其周期为N，即有 对于连续时间信号，周期信号fT(t) 可以分解为一系列角频率为n(n=1, 1, 2, ) 的虚指数e jnt (其中=2/T为

37、基波角频率)之和。 类似地，周期为N的序列fN(k)也可展开为许多虚指数e jnk=e jn（2/N）k （其中=2/N 为基波数字角频率）之和。4.10 序列的傅里叶分析需要注意的是，这些虚指数序列满足即它们也是周期为N的周期序列。因此，周期序列fN(k)的傅里叶级数展开式仅为有限项（N项），若取其第一个周期n=0,1,2,N-1，则fN(k) 的展开式可写为4.10 序列的傅里叶分析称为离散傅里叶系数。称为周期序列的离散傅里叶级数。为书写方便，令并用DFS表示离散傅里叶系数（正变换），以IDFS表示离散傅里叶级数展开式（逆变换），则有4.10 序列的傅里叶分析例1：求图示周期脉冲序列的离散

38、傅里叶级数展开式。解：取求和范围为0,34.10 序列的傅里叶分析所以，离散傅里叶级数展开式为4.10 序列的傅里叶分析二、非周期序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 与连续时间信号类似，周期序列fN(k)在周期N时，将变成非周期序列f(k),同时FN(n)的谱线间隔(2 /N)趋于无穷小，成为连续谱。 当N时，n n( 2/N)趋于连续变量(数字角频率,单位为rad)。定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform, DTFT) 为: 可见，非周期序列的离散时间傅里叶变换F(e j)是的连续周期函数，周期为2。通常它是复函数，可表

39、示为：4.10 序列的傅里叶分析定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶逆变换为: (Inverse Discrete Time Fourier Transform, IDTFT) 通常用以下符号表示对序列f(k)求离散时间傅里叶正变换和逆变换:离散时间傅里叶变换存在的充分条件是f(k)要满足绝对可和，即4.10 序列的傅里叶分析例2：求下列序列的离散时间傅里叶变换。解：4.10 序列的傅里叶分析幅频特性和相频特性分别为4.10 序列的傅里叶分析f2(k)的频率特性为:4.11 离散傅里叶变换及其性质4.11 离散傅里叶变换及其性质 离散信号分析和处理的主要手段是利用计算机去实现，然而序列f(k

40、)的离散时间傅里叶变换(DTFT)是连续函数，而其逆运算为积分运算。因此，无法直接用计算机实现。显然，要在数字计算机上实现这些变换，必须把连续函数改换为离散数据，同时，把求和范围从无限宽收缩到一个有限区间。 离散傅里叶级数变换(DFS)无论在时域还是在频域，只对N项求和，故可以用数字计算机进行计算。可以借助离散傅里叶级数的概念，把有限长序列作为周期性离散信号的一个周期来处理，从而定义了离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。4.11 离散傅里叶变换及其性质一、离散傅里叶变换（DFT） 设长度为N的有限长序列f(k)的区间为0,N-1，其余各处皆为零。即

41、为了引用周期序列的有关概念，我们将有限长序列f(k)延拓乘周期为N的周期序列fN(k)，即 或者把有限长序列f(k)看成周期序列fN(k)的一个周期，即4.11 离散傅里叶变换及其性质 对于周期序列fN(k)，其第一个周期k=0到N-1的范围定义为“主值区间”，故f(k)可以看成fN(k)的主值区间序列。 设有限长序列的长度为N(在k=0到N-1的范围)，则f(k)的离散傅里叶变换及其逆变换定义分别为4.11 离散傅里叶变换及其性质写成矩阵形式，即简记为其中，4.11 离散傅里叶变换及其性质二、F(n)(DFT)与FN(n) (DFS)的关系 若将f(k)，F(n)分别理解为fN(k)，FN(n)的主值序列，那么DFT变换对和DFS变换对的表达形式完全相同。实际上，DFS是按照傅里叶分析严格定义的，而有限长序列的离散傅里叶变换F